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第五章 高程控制测量 2005版 控制测量学讲稿第五章 高程控制测量1 精密水准仪、水准尺及其检验一、水准仪分类根据1km往返测高差中数中误差的大小，我国的水准仪系列可分为：S05，S1，S3，S10，其中S05，S1为精密水准仪，S3，S10为普通水准仪。（参见P223，表5-1）二、精密水准仪的特点特点：能够精密地整平视线和精确地读取读数。为此在结构上应满足：1.水准器具有较高的灵敏度精密水准仪水准器的格值为10/2mm。为此精密水准仪上有用于精确整平仪器（视准轴与水准轴）的微倾螺旋， 微倾螺旋上有分划线，可通过读定格数，确定视线倾角的微小变化（主要用于跨越障碍精密水准），规范规定：只有符合水准气泡两端影像分离量小于1cm时，才允许使用微倾螺旋精确整平视准轴。原因：c不在垂直轴中心位置而在物镜一端，旋转微倾螺旋使视线高度发生微小变化（参见P226 图5-12）。 物镜 平板玻璃 150 十字丝 z 148 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1462.具有测微装置测微装置工作原理如图： 物镜 平板玻璃 150 十字丝 148 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 146 读数：1485mm平板玻璃与测微尺联动测定z。测微分划尺最大量：N3为1cm，S1为5mm；测微尺上有100个分格；N3每分格对应0.1mm，估读0.01mm； S1仪器每分格对应0.05mm（但注记0.1mm，该尺测得的高差须除以2）。平行玻璃板竖直时，测微尺读数不是0而是5，所以读数中实际上都附加了“5mm”这一常数。在高差中，由于前后视都附加了这一常数，对其无影响。但在单向观测时，要减去这一常数。3.望远镜具有良好的光学性能精密水准仪放大倍率大，应在40倍以上，以保证照准精度。为了保证构像有足够的亮度，物镜有效孔径应在50mm以上。十字丝横丝刻制成楔形，有利于精确照准水准尺上的刻划。4.视准轴与水准轴之间联系相对稳定，受外界条件变化影响小。一般为铟钢结构联接，并封闭起来。三、精密水准仪的检验新购置的仪器和刚修理完的仪器应进行全面检验，共10项。每期作业的始前，应进行下列检验：圆水准器的检验与校正（参见测量学）；光学测微器效用的正确性和分划值的确定；视准轴与水准轴相互关系（交叉误差与i角）的检验与校正（参见测量学）。 分划尺上读得l1格 0 1 d=8mm 分划尺上读得l2格 2 d=8mm 平行玻璃板 30m一级线纹米尺 精确测定作业开始后，第一个星期内应每天上、下午各检校i角一次，若i角稳定，以后每隔15天检校一次。此处将几个主要项目讲述如下：1.视准轴与水准轴相互关系（j 角、i角）的检验与校正（见测量学）2.光学测微器效用的正确性和分划值的确定分划尺格值的测定测定原理如图：分划尺的格值gd/(l1l2)格分化尺的格值g与名义格值（0.1mm）相差不应大于0.0010mm。光学测微器效用的正确性的检验往测时，测微器螺旋顺时针旋进，分划尺上读数li；返测时，测微器螺旋逆时针旋出，分划尺上读数li。若lili很大（其中数超过一个分划），则光学测微器的效用不正确。规范规定：读数时，最后切准为旋进方向。3.微倾螺旋格值的测定（同时测定微倾螺旋效用的正确性）l1a Ll2S A3050m B测定原理如图：微倾螺旋由A旋至B，读数由l1变至l2。Ll1l2aL/S微倾螺旋的格值a /(BA)格设第i次照准水准尺旋进照准时读数为ai，旋出照准时读数为bi，五个测回称为一组观测。有a0ai/5，b0bi/5，若（a0b0）2，则微倾螺旋效用不正确。精密符合水准气泡时，只准旋进微倾螺旋。 20m 30m 40m10m 2 3 0m 1 4 0 5 30m A4.调焦透镜运行正确性的检验观测方法：在A点安置水准仪，观测各点。按1、2、3、4、5往测，再依相反的次序返测，构成一个测回，共测四个测回；测回间用脚螺旋变动仪器高，四测回中不能调焦。在0点安置水准仪，按1、2、3、4、5的顺序往测，再依相反的次序返测，构成一个测回，共测四个测回；测回间用脚螺旋变动仪器高，每次照准要仔细调焦。计算方法：计算各点对0点的高差HiL0Li（参见武测、同济合编版P292表5-7，表中二大行最下面小行）计算0点的视线高度hiHiMi（ Mi为仪器在0点测其它点读数平均值）计算0点仪器视线平均高度hmhi/5解算hihm（及后面的计算原理详见下面注）将S以10、20、30、40、50代入KS/1000， 解算K解算（30-S）K（倒数第二行）解算vi（倒数第一行）规范规定：用于一、二等水准测量的仪器，v值均应小于0.5mm。 用于三、四等水准测量的仪器，v值均应小于1mm。（注：上述解算原理，可参见教材，亦可参见下述推导：差数i由三部分组成：1）i角的影响。当距离为Si时，其误差为tani.Si或写成K.Si2）观测误差和其它误差的影响。设其为3）调焦透镜运行不正确而产生的误差的影响。设为vi因此有iK.Si+vi （i=1，2，5）组成误差方程有vi- K.Sii 组成法方程S2KSS 0SK50解法方程（顾及到 0）得KS/1000-30K （将10、20、30、40、50代入S）将代入误差方程得vii（30Si）K ）四、精密水准尺的特点精密水准用尺应保证：长度刻划正确精密，分划的偶然误差和系统误差都很小；长度稳定（当温度变化时）；直而不弯曲，不扭曲；附有圆水准器，使尺保持垂直，配有扶尺环，以便扶尺稳定；底部不易磨损其构造（见P224 图5-7）：在铟钢带上进行刻划（10mm、5mm两种），铟钢带引张在木质尺身沟槽内，注记在木质尺面上；基本分划一轴助分划基辅量（尺常数）301.55cm五、水准尺的检验与校正新水准尺应进行六项检验（P242），每期作业开始前应检验其中1）、2）、3）、4）、6）项。本教程讲述这五项检验：1.检视水准标尺各部分是否牢固无损2.水准标尺上圆水准器的检验与校正距水准仪50m处立尺尺面对向仪器，使十字丝竖丝与尺边重合，调整气泡居中；尺侧对向仪器，使十字丝竖丝与尺面重合，调整气泡使其居中。如此反复操作至合格3.水准标尺分划面弯曲差（矢距）的测定弯曲差（矢距）的测定如图：对铟瓦合金尺，矢距不能大于4mm，对木质标尺，矢距不能大于8mm，否则加改正数如下： 矢距l-8f 2/3l式中：l 由矢距引起的读数改正数f 矢距l标尺上的读数 4.水准标尺分划线每米分划间隔真长的测定目的和方法目的：测定水准标尺的实际长度与名义长度之差。方法：用双频激光干涉仪检测，作业中可用一级线纹米尺对水准尺进行监测。一级线纹米尺参见P243，其尺长方程式如：L=1000mm-0.01mm+0.018（t-20）mm其中：1000mm是一级线纹米尺的名义长度，0.01mm是尺长改正数，0.018是膨胀系数，t是检定水准尺时的温度。1m间隔平均真长误差f一对水准标尺1m间隔平均真长1m。（若f绝对值大于0.02mm，应对观测高差施加每米真长改正）一级线纹米尺比长的缺陷1）一级线纹米尺的热膨胀系数为16.618.5微米/度米，而水准尺铟瓦带的温度膨胀系数为12微米/度米；另，一级线纹米尺本身的检定误差为0.01mm，用它检定水准尺，精度不能再高。2）水准尺是直立使用，而此种方法检验时将水准尺水平放置。据分析，可造成尺子长度0.01mm的差异。目前，我国已建成或进口较为先进的检定设备，用计算机辅助激光干涉比长仪精确测定水准尺上每个分划的误差。5.一对水准标尺零点差及基辅分划读数差常数的测定零点误差和零点差的定义零点误差：由标尺底面至一分米刻划的实际长度与名义长度之差。零点差：一对水准标尺的零点误差之差。检定方法在距水准仪2030m处打三个木桩，顶面依次相差1020cm。依次在桩顶立尺，每立尺读基本分划、辅助分划各三次（立完1号尺立2号尺）。上述为一测回，共测3个测回，测回间变动仪器高（木质尺观测2测回）。取两尺差常数的中数，作为一对尺基辅分划差常数，一对尺基辅分划差常数与名义值之差：1）对铟瓦尺应0.05mm，否则采用测得值；2）对木质尺应0.1mm。练习及作业：阅读1.教材5.32.测量实验下篇，实验十二，实验十四，实验十七3.试说明精密水准仪与普通水准仪的主要不同点2 精密水准测量的主要误差来源及其影响一、仪器误差1.i角误差及其影响a b i i a b SR SVi角视准轴与水准轴不平行在铅垂面上投影的交角i角的影响无i角时hABab有i角时hABab i角的影响hABhABhAB (aa)(bb) iSRiSV i(SRSV) 减弱i角影响的措施1）由上式知，若令SRSV ，则hAB0。事实上不可能做到SRSV，所以对不同等级的水准测量，对SR与SV之差及其累积差有一定限制。（参见P253表5-4）2）由上式知，只有前后视读数时i不变，才能满足SRSV时hAB 等于零。因此规范规定，各等级水准测量，一测站内，不得重新调焦。2.交叉误差j及其影响j 角视准轴与水准轴不平行，在垂直于仪器竖轴的平面上的投影。j 角的影响仪器处于铅垂位置时，j 无影响。仪器竖轴倾斜时，j 引起i角。如图所示： i(j) SV ba SR i(j)正确高差hABab受j 影响hAB（aiSR）(biSV) (ab)i(SRSV)hAB2iS 因气泡位置不可能绝对正确，所以仪器在气泡居中时纵轴仍有倾斜，残余j 角引起的i(j)影响如上式，其影响为系统性的。减弱其影响的措施规范规定：精密水准测量交错安置仪器气泡位置（盯人法），且路线布设成偶数站，每对站S相等（二等以上），使2S i正负相抵，消弱其对路线高差的影响。3.水准标尺每米长度误差的影响水准标尺每米长度误差的影响设：1号尺每米长度误差为f1，则读数误差为af1；2号尺每米长度误差为f2，则读数误差为bf2。因f定义：1m平均间隔真长1m（改正数概念）故正确高差h正确(aaf1)(bbf2) (ab)(af1bf2) hhf式中 h测得名义高差 f1对标尺平均真长误差减弱其影响的措施规范规定：作业前对水准标尺进行检定。若一对标尺每米平均真长误差大于0.02mm，则在高差中加改正数hf 。4.两水准标尺零点差对高差的影响 1尺 2尺 1尺a2 b2a1 b1 1 1 2 2 3 1 设观测高差h12a1b1正确高差h12(a11)(b12) a1b112 h1212 同理h23h2321 故有h13h12h23 h12h231122h12h23减弱其影响的措施将路线布设成偶数站，否则加入零点差改正。二、外界因素影响所产生的误差1.i角变化对高差的影响影响 a2 i4 i3 b2 i1 i2 a1 b1 i角变化不均匀，且有时发生突变，情况很复杂。此处仅讨论温度变化时，i角与时间成比例变化对高差的影响。h12(a1Si1)(b1Si2) (a1b1)(Si2Si1) (a1b1)S (i2i1) h23(a2Si4)(b2Si3) (a2b2)S (i4i3) 故h13h12h23(a1b1)(a2b2) S (i2i1) S (i4i3)若S在、站都相等，且(i2i1) (i4i3)i的变化与时间成比例, 则：h13(a1b1)(a2b2) 减弱其影响的措施1）作业前使仪器与环境温度趋于一致，作业时打伞避免日光照射仪器；2）路线布设成偶数站，且每对站S相等。 3）观测程序： 单数站：后前（基本分划）前后（辅助分划）；双数站：前后（基本分划）后前（辅助分划）。基本分划读数在两站中顺序为：后前前后，i的影响：(i2i1) (i4i3) 辅助分划读数在两站中顺序为：前后后前，i的影响：-(i2i1) -(i4i3) 2.大气折光对高差的影响影响：若地面平坦，且SRSVS，则垂直折光影响在高差中小到可以忽略不计，但：1）在长坡上测量，则总高差中可显示出系统性的折光影响；2）日出和日落一段时间，地面由于吸热、散热，大气密度和折光单向变化且变化迅速，形成系统性的影响。减弱其影响的措施1）视线离开地面一定高度（参见P253表5-4）；2）前后视距相等3）选取有利的观测时间（避开日出，日落，阳光强烈、目标不稳定的中午）；4）每测段往返测分别在上午和下午。3.仪器和标尺垂直位移的影响影响脚架和尺垫压入地下后，在观测过程中有时有弹性回升，有时在自重作用下沉降，影响测得高差的正确性。这是精密水准测量误差的重要来源。减弱其影响的措施1）采用“后前前后”或“前后后前”的观测程序，可消除仪器垂直位移的影响及标尺垂直位移的部分影响（假定升降量与时间成正比）；2）取往返测高差之平均值，可消除标尺垂直位移的影响；3）观测迅速而有节奏；4）选择良好的立尺点，司尺员动作应正确。三、观测误差主要有：气泡居中的误差，照准误差，读数误差。这些误差由于精密水准仪的构造，可控制在对每站高差的影响不到0.1mm，这些误差属于偶然误差。练习及作业：1.阅读5.62.叙述精密水准测量的主要误差来源，并分别叙述削弱其影响的措施。3 水准测量的作业及限差一、二三四等水准测量的一般规定1.观测方法与施测要求二等：光学测微法。每区段划分成若干2030km的分段，每分段按作业情况分成若干测段；每分段中，先连续进行所有测段的往测，然后连续进行所有测段的返测。每测段的往测和返测应分别在上午和下午进行；分段内，往返测同在上午或下午的测段数，不能超过总数的30%。三等：S1光学测微法，可单程双转点（两仪器或变动仪器高）； S3中丝法，按测段往返测。四等：中丝法，附合或闭合路线，可单程；支线应往返测。2.一测站观测程序二等：往测：单数站：后前前后；双数站： 前后后前； 返测：单数站：前后后前；双数站： 后前前后。三等：后前前后四等：后后前前3.一测站操作步骤，手簿的纪录与计算参见P251，P252，表5-24.测站观测限差参见P253，表 5-4二、闭合差限值及制定方法（阅读）为了保证水准测量的精度，及时发现粗差，规范规定了有关限差如下表：水准测量限差表 单位：mm等级mm检测已知测段闭合差路线往返测不符值左右路线高差不符值附合路线闭合差环线闭合差计算值采用值计算、采用值计算值采用值计算值采用值计算、采用值二1.02.0三3.06.0四5.010.0上述限差制定方法如下：1.往返测不符值的限差高差中数 (h往h返)/2 （1） 往返测高差不符值 h(h往h返) （2） 若每千米高差中数中误差为m，则由（1）式知，每千米单程高差中误差为m。由（2）式知，每千米往返测不符值中误差mhm2 m，取2倍中误差为限差，则一千米往返测不符值之限差限4 m。对R千米测段式中 限不符值之限差 m每千米高差中数的偶然中误差（相应等级数值有规定） R测段长度，单位：千米2.环线闭合差的限差环线一般较长（一等：10002000千米，二等：500750千米，三等：300千米），应顾及系统误差影响，所以按全中误差制定限差。设每千米高差中数的全中误差为m，则F千米高差中数的全中误差为m，取2倍中误差作为闭合差的限差式中 m每千米高差中数的全中误差（相应等级有规定）F环线全长，单位：千米3.单程双转点，左右路线不符值的限差由于左右路线同时进行，所受系统误差影响基本相同，因此规定此项限差时，只考虑偶然误差的影响。故，取每千米高差中数中误差为m。又因左右路线为相继观测，与往返测不同的是，标尺下沉等系统误差在不符值里反映不出来。设这部分系统误差与偶然误差及其余系统误差等影响，比对往返测不符值中误差mh2m,可得左右路线不符值的中误差取2倍中误差为限差，则有4.附合路线闭合差的限差附和路线的不符值 Wh测h已则 若路线为L千米，取2倍中误差为限差式中 m测新测水准路线的mm已高级点之mL新测路线千米数（采用全中误差m，是因为新旧路线系统差变化较大，且已构成闭合环）5.检测已知测段高差的限值检测高差闭合差 Wh单程检测h已 则 即 对K千米测段并取2倍中误差为限差，则：式中 m采用每千米高差中数全中误差，是因为检测与已测间隔的时间较长，应考虑进系统误差。三、精度鉴定水准测量作业结束后，要对高差观测值的精度做出鉴定。鉴定方法是计算每千米高差中数的偶然中误差m和全中误差m，计算公式推导如下。在短距离（如一测段，几千米）的往返高差不符值里，系统误差的影响成分相对小一些，所以常用其计算每千米高差中数的偶然中误差。在长路线上（如一个闭合环），系统误差的影响则反映出来，环闭合差表现有真误差的性质，可以用它来估算含有偶然误差和系统误差的所谓全中误差。1.高差中数的每千米偶然中误差m长度为R的测段往返测，看成长度为2R的测段单程观测；往返测的不符值，看成是单程观测的真误差；取2R=1千米的观测为单位权观测，其的权为1；对于n个测段，有 P112P222Pnn212 （权与误差的平方成反比）即 n2/2R122/2R2n2/2Rn2 （权与距离成反比）根据中误差定义，每千米单程高差的偶然中误差故往返测高差中数的偶然中误差式中 测段往返测高差不符值 R测段长，单位：千米 n测段数2.高差中数的每千米全中误差环线闭合差W，看成环周长F千米水准路线高差中数的真误差。设闭合差Wi的权为1/F,当有N个水准环时，根据中误差定义（注： 因各环相关，故各W不独立，此式为近似式）规范规定：等级水准测量结束后，每条水准路线均应计算m，当构成20个以上水准环时，还须计算m。练习及作业：1.阅读 5-5测量实验下篇，实验十二，实验十三2.熟记表5-2表5-4表5-43.实验 三等水准测量（光学测微法） 二等水准测量（光学测微法）4 跨河水准1.跨河水准应解决的问题前后视距相差悬殊；i角；球气差的影响严重；视距长，远尺如何照准。2.解决问题的措施为解决远尺照准，可特制觇板（P256图5-45）采用光学测微法观测；可特制觇板（P257图5-46）采用微倾螺旋法观测；可特制觇板（P257图5-47）采用经纬仪倾角法。为解决前后视距悬殊带来的问题，可采用两岸对称观测法。 b2 b2 b2 B B B b1 b1 b1 (A) (B) (C) a2 a2 a2 A A A a1 a1 a1图（A），先行测得hA，hB；在站测得hAB(a1b1)hB；在站测得hAB(a2b2)hA；则hABhABhAB/2。注：1）从长视线上两岸观测折光等影响的一致性考虑，图（A）最好，依次为（C） 、（B）；2）选取观测和立尺点时，应选择：a.河面窄；b.两岸覆盖相同；c.视线距水面远；3）水准仪过河应迅速，不调焦。练习及作业：1.阅读5.82.思考跨河水准测量应解决哪些问题? 如何解决?5 水准面的不平行性和高程系统一、水准面的不平行性1.有关概念物理概念 mF S如图：力做功WFS 物体具有了位能AFS据牛顿第二定律Fma 故物体的位能AmaSaS（m1时）重力测量的概念1）重力场：空间任一物体都受到重力作用（而具有位能），空间即为重力场。2）重力位能：物体受到重力产生的位能。3）重力等位面：各点重力位能相等的面，例如水准面。2.水准面的不平行性W+W hA hBW A B设在两水准面（重力等位面）间不同 点A、B，将单位质量移动如图，则所作的功相等WgAhAgBhB因纬度及地下物质密度分布不同，gAgB，所以hAhB。N结论：各水准面不平行；（仅考虑纬度）各水准面向两极收敛。3.几何水准测量高程的多值性由大地水准面上O点，沿OAB、ONB两条几何水准路线测量B点高程，分别得： B A N h h H h h H h C O HBh HBh因： hh故： HBHB由上可知：几何水准测得之HB与路线有关，不是唯一的（几何水准测量的多值性）。由路线不同产生的闭合差，称理论闭合差（若路线长，高差大，则差异可达米级）。二、高程系统的概念1.正高高程系统定义：正高系统以大地水准面作为高程基准面，点的正高为：点沿铅垂方向到大地水准面的距离。故B点之正高又：ghgBH，当两水准面无限接近时：gdhgBdH，则dH(g/gB) dh式中 g水准路线上相应于dh处的重力加速度 gB 沿B点铅垂线上相应于dH处的重力加速度故有取BC方向上gB的平均值gmB代替gB，则有：结论：点的正高是唯一的（：过B点水准面与大地水准面之间的位能差，是常量）；g可实测，gB随高度及地下物质密度分布不同而不同，不能实测，亦不能推算得到。故点的正高高程不能精确测定。因正高不能精确求得，通常求取其近似值，称近似正高：各点处重力值g不同，可分为：1）规则的变化随点所处纬度j 不同而不同；2）不规则的变化与点的高度及地质物理因素有关。若不考虑2）只顾及1），以正常重力值r（纬度j 的函数）代替重力值g，则有近似正高式中 rr45(1a cos2) r45纬度45处的正常重力值 a 常数，约为0.0026 j 点所处的纬度可知：点的近似正高是唯一的（消除了理论闭合差）；其基准面是一个理想的椭球曲面；在重力异常地区（重力异常gr较大），高程受到较大歪曲。2.正常高高程系统若以沿水准路线实测之g代替上式中正常重力r，则可得正常高：结论：正常高可以精确测定，且是唯一的；正常高的基准面是似大地水准面；当dh0，H正H正常0，即在平均海水面上，大地水准面与似大地水准面重合。我国的高程系统采用正常高高程系统，因：点的正高（点到大地水准面的距离）无法精确测定，点到参考椭球面的距离也就无法测定。而点到似大地水准面的距离可以精确测定，似大地水准面到参考椭球面的距离（高程异常或高程差异），亦可通过天文重力水准测量确定。所以，采用正常高可以确定点到参考椭球面的距离，进而将地面上的观测元素精确地归化到参考椭球面上。三、关于水准面不平行性的改正1.近似正高改正数（亦称正高改正，正常位水准面不平行的改正）我国虽采用正常高系统，但在非重力异常（gr不大）地区，正高与正常高相差不大（差异不过几个厘米），故可对几何水准仅进行近似正高改正。这一改正，只对三等以上水准进行。一般在概算时进行。因近似正高：H近似BH近似A（H测BH测A）AB故，近似正高改正数i-AjHi 式中 i第i测段的近似正高改正数A常系数：A2 a Sin2 j m/a0.0026，3438，j m水准路线上的平均纬度Hi第i测段始末点高程的平均值j以分为单位的末始点纬度差j 2j 1AB-AHij2.重力异常改正数对于重力异常地区，正常高与正高差距（大地水准面与似大地水准面差距）可达米级，在高山区可达2m，故不能以近似正高代替正常高了。这时对几何水准测量成果，除了进行近似正高改正，还要进行重力异常改正。H常BH常A（H测BH测A）（）AB(gr)h/rm式中 AB重力异常改正rm 测段正常重力平均值 (gr)重力异常值。其中g须根据实测得到 h测段始末点之高差练习及作业：1.阅读5.92.自学5.9 5.9.4动高高程系统6 水准测量的概算和平差一、水准测量的概算1.检查和计算外业手簿按有关记录、记簿的要求，以及测站检核、路线检核规定，严格检查。总检核(后前)黑(后前)红/2负高差正高差2.计算观测高差的各项改正数在计算表格内进行以下计算水准尺每米平均真长误差的改正当一对尺每米平均真长误差大于0.02mm时，进行此项改正。改正数fh 式中 f1m读数的改正数 h往测或返测的高差值近似正高改正改正数 AB-AHi重力异常改正重力异常地区进行此项改正。改正数AB(gr)h/rm 水准路（环）线闭合差的改正闭合差按测段长度比例分配。改正数vi(Ri/R)式中 R测段长度(h)(H始H终)闭合差H始、H终起、终点高程（环线H始H终）h尺长改正后的高差3.概略高程的计算（表格内计算）i点高程 4.精度鉴定计算每千米高差中数的偶然中误差M和全中误差M。（公式及推导见3）二、水准网的平差（按间接平差结点法平差） 1.基本原理设三个待求点N1、N2、N3之高程为x1、x2、x3；列误差方程 权 组成法方程 BTPBXBTPl0即 NXU0解出未知数 X-N1U注意：结点法的特点：不列误差方程和组成法方程，而是直接写出求未知数最或是值的公式；根据略图，以结点为单位，找出与结点有联系的各条水准路线，写出该结点高程加权平均值的表达式。对上表达式的权加以改化，使形式更简单。对改化的检核Px11；Px21；Px31 用逐渐趋进法解算X（为使收敛速度更快，可采用异步迭代法，如赛德尔迭代法。例如：求x1用x20、x30代入；求x2用x1、x30代入；求x3用x1、x2代入；求x1用x2、x3代入；求x2用x1、x3代入；）。2.结点法平差示例（另图）练习及作业：1.阅读教材 5.10 5.10.1孔祥元，梅是义主编 控制测量学5-102.若讲结点法平差，应抄下挂图内容7 三角高程测量 M N v P a12 S0 C i E 2 1在水准测量困难地区，可在一定密度水准点控制下，布设三角高程网，求得各平面控制点的高程。一、高差计算基本公式h12MEMNiv MCCEMNiv式中 i1点的仪器高 v2点的觇标高 CE地球弯曲差 MN大气折光差 MCS0tana12 (PCMO) 设球气差的联合影响CEMN(1K)S02/2RC12S02式中 S01、2点间观测水平之平距 K大气垂直折光系数 C12球气差系数故h12S0tana12C12S02iv二、高差计算的实用公式1.单向观测高差计算的实用公式计算中，由平面控制网提供的边长为高斯平面上的边长D ，而不是观测平面上的边长S0，S0与D的关系式为：S0D(1Hm/RAym2/2Rm2) 式中 S0平均高程水准面上的距离D高斯平面上的距离Hm平均高程水准面与参考椭球面的差距，即A、B两点对椭球面的大地高平均值ymA、B两点在高斯平面上横坐标的平均值RA两点间（大地方位角为A）法截弧的曲率半径，可近似取RRm两点平均曲率半径中数，可近似取RR平均曲率半径将S0代入基本公式h12Dtana12(1Hm/Rym2/2R2)C12D2ivDtana12C12D2ivDtana12(Hm/Rym2/2R2) 令距离改化引起的改正h12Dtana12(Hm/Rym2/2R2) 得单向观测高差计算公式h12Dtana12C12D2i1v2h12h21Dtana21C21D2i2v1h21h12是一个很小的数值，一般不计算此项。只有在高山区（Hm较大），Dtana较大，或测区距中央子午线很远（ym较大）时，才进行此项计算。如果计算时采用两点间椭球面上的距离，则上式应为 h12Stana12(1Hm/R)CS2i1v2 2.对向观测高差计算的实用公式因h12-h21，故h对(h12h21)/2D (tana12-tana21)/2+(C12-C21)D2/2+(i1+v1)/2-(i2+v2)/2+(h12-h21)/2设C12C21 ，近似地h12-h21 ；则可得对向观测高差计算实用公式 h对D (tana12tana21)/2(i1v1)/2(i2v2)/2h12 Dtan（a12a21）/2）(i1v1)/2(i2v2)/2h12（式中第一项化简见武测、同济合编控制教材P339）式中 h12(Hm/Rym2/2R2)Dtan(（a12a21）/2)结论：由上式知，对向观测可以大大减弱球气差的影响。为此三角高程测量要求对向观测。用单向公式算，取直反觇平均值，与用对向公式计算精度一致。后者简便一些，但不利于检核。所以规范规定：三角高程对向观测，按单向计算，取直反觇平均值。三、大气垂直折光及折光系数的确定1.大气垂直折光及减弱其影响的措施大气层的密度，在重力作用下按上疏下密分布；在温度影响下，按热疏冷密分布；在不同地区、地形条件、地表覆盖物、季节、天气、时刻，视线的不同高度，大气层的密度分布不同，导致垂直折光的影响有很大差异。折光系数K的变化是非常复杂的。为减弱垂直折光的影响，除尽可能正确测定K值外，还可以采取以下措施：每条传算边尽可能对向观测；选择有利的观测时间（中午前后1016点大气折光变化最小，K值小且稳定）；视线高出地面障碍物一定高度，避免地面热辐射干扰；尽可能用短边传算高程（折光的影响S2/2R，与距离的平方成反比）。2.垂直折光系数K的测定因球气差系数C（1K）/2R，所以实际作业中往往是测定C值。几何水准与三角高程联合测定C值 几何水准测得两点间的高差：H2H1三角高程测得两点间的高差：h12 有H2H1h12D tana 12i1v2h12CD2h120CD2故C(H2H1h120)/D2用此方法一般应测45条边，取中数CC/n。两点间同时对向观测确定C值 对向观测（同一时间），认为C12C21C 则h12h120CD2h21h210CD2两式相加，顾及到h12-h21，有h120h210CD20可解得C-（h120h210）/2D2用此方法一般应测20条边，取中数CC/n。根据我国一些地区大量三角高程资料分析，参考经验数据如下：地区类型沙漠平原与山地森林沼泽水网与湖泊井下K值0.0950.1150.1430.1480.1570.160观测时间：10：0015：00（井下除外）四、垂直角的观测方法1.垂直角和指标差计算公式（参见教材P274，表5-10）2.垂直角的观测方法中丝法（P273，图5-55）