江苏省苏州市第五中学高中数学 第三章 空间向量与立体几何学案（无答案）苏教版选修21.doc

第3章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议空间向量的概念了解空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解空间向量共线、共面的充分必要条件理解共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同空间向量的加法、减法及数乘运算理解掌握空间向量的加法、减法和数乘运算利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律空间向量的坐标表示理解空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广 空间向量的数量积理解掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式 空间向量的共线与垂直理解能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直二、预习指导1预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题 2预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：平面向量的基本要素是什么? 平面向量是如何表示的?特殊的平面向量有那些? 什么是平行向量(共线向量)?什么是相等向量? 什么是相反向量?平面向量共线定理是什么? 平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：对平面内任意的四点a，b，c，d，则 ；设，则c、d的坐标分别是_；已知，若，则 ；若三点共线，则 _；已知正方形的边长为1，则的模等于_；已知向量，且三点共线，则 ； 等腰中，=；已知，则的值= _；，则与的夹角是_；已知是两个非零向量，且的夹角= _(3)研读教材p71p833典型例题例1 如图，已知四面体，分别是棱的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解： 点评：若变题为已知，求则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组知例2 设空间任意一点和不共线的三点，若点满足向量关系(其中)试问：四点是否共面?解：由可以得到(见教材p75)由三点不共线，可知与不共线，所以，共面且具有公共起点从而四点共面点评：若三点不共线，则空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对使得：，或对空间任意一点有：例3 已知空间四边形，为的中点，为中点，求证：证明：(法一)如图，两式相加得：，所以，得证(法二)如图，在平面上任取一点，作、，点评：若表示向量，的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便例4 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值分析：与的夹角即为与的夹角，可根据夹角公式求解解：， ，所以，与的夹角的余弦值为点评：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成 例5 已知三角形的顶点是，试求这个三角形的面积分析：可用公式来求面积解：，例6 已知，求满足，的点的坐标分析：已知条件，也即，可用向量共线的充要条件处理解：设点，又，设，所以，点坐标为点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法4自我检测(1)已知点，则点关于轴的对称点的坐标为_(2)设，则与平行的单位向量的坐标为 (3)已知，则的最小值是 (4)如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=a，=b，=c则= (用a，b，c表示)(5)已知四边形为平行四边形，且，则点的坐标为 (6)设向量，若，则 ， (7)已知，则向量与的夹角是 三、课后巩固练习a组1已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：(1)； (2)； (3)2平行六面体中，设=，=，=，e、f分别是ad1、bd中点，试用、表示下列向量：(1)；(2)；(3)；(4)3正方体中，= ，=，=，=，=，=，设=，则= 4设、不共面，判断、是否共面5已知空间四边形，点在上，且，为中点，试用表示b组6已知三点不共线，为空间任意一点，若，试证：点与共面7证明四点在同一平面上8已知，若，且垂直于轴，求9已知、是两两垂直的单位向量，求：(1)； (2)； (3)10已知直角坐标系内的、的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以它们为三邻边所作的平行六面体的表面积： (1)；(2)11已知为夹角，求12已知 (1)求与夹角余弦值的大小； (2)若，且分别与垂直，求13. 平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求的长14已知，求：(1)的面积； (2)的边上的高15空间两个不同的单位向量，都与成角(1)分别求出和的值；(2)若为锐角，求知识点题号注意点空间向量的线性运算1，2，3，5类比平面向量空间向量的数量积8，9，11，12，13类比平面向量空间向量基本定理4，6，7，空间向量基本定理的应用四、学习心得五、拓展视野n维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标“没人确切的知道宇宙是怎么开始的有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗-这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的”宇宙， 是一个空间概念 它包括行星， 星系等实体宇宙同时也是一个时间概念 现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇， 古往来今谓之宙” “四方上下”概括了所有空间， 古往来今则概括了部分的时间为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天 这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来如果我们把时间用一个变量 t 表示那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-， 0，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来对于无限的空间的定义(即，时间 t 从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-， )那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样)，而是生活在一个类似于球体的物体上这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面这样一个3维空间由三个坐标轴 x， y， z 组成在这样一个3维空间中，任何一个位置p都可以用三个数(x， y， z)表示，x为位置p在x轴上的取值(也是投影)，同理，y和z也是同时，这三条坐标轴是正交的何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直在这个3维空间中，我们有两点(可能是伦敦)和(可能是巴黎)，从到之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为d=|-|=sqrt(-)2(-)2(-)2)在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了31=4维的了那么宇宙就可以描述为，有了四条正交的坐标轴比如说事件a为表示，事件a发生在地点，发生在t时间在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”跳出我们仅仅对宇宙作为时间空间的定义如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间空间不能来完整来表示比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西显然，我们需要更多的坐标轴如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy，相反，当e取正值，越远离坐标原点，说明我越happy如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多这也反过来说明了宇宙的包容一切所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n维空间(n=)，其存在n条正交的坐标轴无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)每个元素是一个向量v， v = v1， v2， v3， ， vn， n =，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)无数个向量组成的空间叫做向量空间向量空间的维度就是坐标轴的个数宇宙就是一个n维向量空间32 空间向量的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议直线的方向向量与平面的法向量理解理解直线的方向向量与平面的法向量；会用待定系数法求平面的法向量空间线面关系的判定理解将空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程，应在明确方向向量和法向量含义的基础上，借助图形自己“翻译”完成空间的角的计算理解能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用二、预习指导1预习目标(1)理解直线的方向向量与平面的法向量；(2)会用待定系数法求平面的法向量；(3)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； (4)能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；(5)能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系；(6)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题2预习提纲(1)直线的方向向量：我们把直线上的非零向量以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量(2)平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量(3)用向量描述空间线面关系：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则有如下结论：平 行垂 直与与与(4)空间的角的计算：两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补；法向量在求线面角中的应用原理：设平面的斜线与平面所的角为1，斜线与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余；法向量在求面面角中的应用原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补3典型例题例1 如图，在正方体中，分别是的中点，求证：分析：用向量方法处理，只要证明，建立空间直角坐标系，得出的坐标后，用向量数量积的坐标运算证明证明：设已知正方体棱长为个单位，以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则，所以，点评：建立空间直角坐标系后，确定点的坐标是关键例2 棱长为的正方体中，在棱上是否存在一点，使面?解：以为原点建立如图所示的坐标系，设点，要使面， 只要，且，即， ，即点与重合点与重合时，面点评：用向量法证明垂直问题，只要计算两向量的数量积为零例3 在三棱锥中， 求与所成角的余弦值解：如图，取为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则有，得，设与所成的角为，即与所成角的余弦值为例4 如图，已知是上、下底边长分别为2、2，高为的等腰梯形，且、成等比数列，将此梯形沿对称轴折成直二面角，(1)证明：；abcdoo1aboco1d(2)设二面角的平面角为当时，求的值aboco1dxyz解：(1)证明：oaoo1，oboo1aob是所折成的直二面角的平面角，oaob以o为原点，oa、ob、oo1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(，0，0)，b(0，0)，c(0，)o1(0，0，)，、，acbo1(2)bo1oc，acbo1，bo1平面oac，是平面oac的一个法向量设是平面o1ac的一个法向量，由得 得，cos，=点评：利用向量求二面角的大小方法：方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向)如图：二面角的大小为，则方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角如图：已知二面角，在内取一点， pabl过作，及，连，则成立，就是二面角的平面角 用向量可求出及，然后解三角形求出方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角如图：为二面角内一点，作，则与二面角的平面角互补 例5 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面求二面角的余弦值解：以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图面面，在的中点， 设平面的一个法向量为，则解得令得是平面的一个法向量又平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则=，二面角的余弦值为例6 如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，(1)求证：面；(2)求二面角的大小的余弦值解： 以为原点，所在直线分别为 轴，轴，轴，建立直角坐标系，则，分别是的中点(1)， 取，显然面， ，又面 面(2)过作，交于，取的中点，则设，则，又，由，及在直线上，可得： 解得， ， 即，与所夹的角等于二面角的大小，acdbpo，故二面角的大小的余弦值为例7 如图，在三棱锥，点分别是的中点，底面(1)若，试求异面直线与所成角余弦值的大小；(2)当取何值时，二面角的大小为?acdbpoxyz解：连结底面，又， 从 而，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系(1)设，则， 则 则异面直线与所成角的余弦值的大小为 (2)设，平面，为平面的一个法向量不妨设平面的一个法向量为， 由，不妨令，则，即， 则，而，当，二面角的大小为4自我检测(1)在正方体中，求证：是平面的法向量(2)在正方体中，求证：(3)在正方体中，是的中点，求对角线与所成角的余弦值(4)在正方体中，是底面的中心，是的中点求证：是平面的法向量；求二面角的大小(5)在正方体中，是的中点 求证：； 求与所成的角；求与平面所成的角三、课后巩固练习a组1已知点是平行四边形所在平面外一点，若，(1)求证：是平面的法向量；(2)求平行四边形面积2如图，长方体中，点分别是的中点，求异面直线与所成的角3如图，平面，且，求异面直线与所成角的正切值 4如图，正四棱柱中，求异面直线所成角的余弦值b组5正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，求这个棱柱的侧面对角线与所成的角6如图，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段点在上，在上，(1)证明；(2)若，求与平面所成角的余弦值7正方体中，求：(1)与平面所成角大小；(2)与平面所成角的正切值8正三棱锥中，底面边长等于1，侧棱，分别为中点，求：(1)异面直线与所成角的余弦值；(2)与平面所成角的正弦值9在底面是菱形的四棱锥中，点在上，且：= 2：1，在棱上是否存在一点， 使平面?证明你的结论10是正方形所在平面外一点，若分别在上，且(1)求证：平面；(2)求与所成角的大小11如图，四面体中，分别是的中点，(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小的余弦值12如图，为直角梯形，是平面外一点，平面，若，(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值大小13在如图所示的几何体中，平面，平面，是的中点(1)求证：；(2)求与平面所成的角14如图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为已知，(1)设点是的中点，证明：平面；(2)求二面角的大小15如图所示，分别是、的直径与两圆所在的平面均垂直，是的直径，(1)求二面角的大小；(2)求直线与所成角的大小的余弦值16如图，在直三棱柱中，(1)证明：；(2)求二面角的大小17如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点(1)求证：面；(2)求二面角的大小的余弦值abcdefoph18如图，是边长为1的正六边形所在平面外一点，在平面内的射影为的中点(1)证明；(2)求面与面所成二面角的大小的余弦值adpcb19如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，(1)求证：平面；(2)求二面角的大小的余弦值20正方体中，(1)求二面角的大小；(2)分别为与中点，求平面和底面所成角的余弦值21如图，在长方体，中，点在棱上移动(1)证明：；(2)等于何值时，二面角的大小为22如图，平面平面是正三角形，求二面角的正切值23如图，在直四棱柱中， ，垂足为(1)求二面角的大小；(2)求异面直线与所成角的大小的余弦值24如图，在四棱锥中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad底面abcd(1)证明ab平面vad；(2)求面vad与面vdb所成的二面角的大小的余弦值25如图，四边形是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60建立如图空间直角坐标系(1)求二面角的大小的余弦值；(2)求三棱锥的体积26已知斜三棱柱的底面是直角三角形，且，侧棱与底面成角，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系(1)证明：平面；(2)求此三棱柱的体积27如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，为的中点 (1)求直线与所成角的余弦值；(2)在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离28如图，在三棱锥中，底面，是的中点，且，(1)求证：平面平面 ；(2)当角变化时，求直线与平面所成的角的取值范围29 如图1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de=2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图，2(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直?说明理由30 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离知识点题号注意点求角230注意线线角，线面角和二面角所定义的范围，要分清是两向量的夹角还是其补角求点到面的距离27，30合理运用求体积25，26关键还是求点面得距离，记忆多面体的体积公式证明平行与垂直1，6，1014，1621，28，30注意运用平面的法向量四、学习心得五、拓展视野运用空间向量计算距离(1)向量法在求异面直线间的距离的运用：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模(2)向量法在求点到平面的距离中的运用：设分别以平面外一点与平面内一点为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则到平面的距离等于在方向上正射影向量的模先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点到平面的距离d为：例1 直三棱柱的侧棱，底面中，求点到平面的距离解法一：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：，设平面的一个法向量为，则，即所以，点到平面的距离解法二： 建系设点同上(略)，设平面的方程为，把点三点坐标分别代入平面方程得，平面的方程为，又，设点到平面的距离为，则例2 (2010年江苏高考)如图，四棱锥中，平面，(1) 求证：(2) 求点到平面的距离解析：(1)因为pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc由bcd=，得bcdc，又pddc=d，pd平面pcd，dc平面pcd，所以bc平面pcd因为pc平面pcd，故pcbc(2)连结ac设点a到平面pbc的距离为h因为abdc，bcd=，所以abc=从而由ab=2，bc=1，得的面积由pd平面abcd及pd=1，得三棱锥p-abc的体积 因为pd平面abcd，dc平面abcd，所以pddc又，所以由，得的面积由，得，故点到平面的距离为单元复习一、知识点梳理设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：1设直线所成的角为，则：2设直线与平面所成的角为，则：3设平面所成的二面角的大小为则：若，若，二、学法指导1 平面法向量的基本概念法向量是指与已知平面垂直的向量，它可以根据选取的坐标不同有无数多个，但一般取其中较为方便计算的2 平面法向量的基本计算根据图形建立合适的坐标系，设出已知平面的法向量为(x，y，z)，在已知平面内寻找两条相交直线a，b，并用向量表示它们由于法向量垂直于平面，则必然垂直这两条直线，利用垂直向量点乘为零列出方程组由于有三个未知数x，y，z，一般是设其中一个为特殊值，求出另外两个3 平面法向量的基本应用在求出法向量后，如要证明线面垂直，只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角，只需求出直线和法向量所成的角(利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值，它和所求的线面角互余)；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角(同样利用点乘公式求出这个角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互补，然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可)4 关