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第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4 1拉普拉斯变换4 2拉普拉斯变换的性质与定理4 3拉普拉斯反变换4 4LTI系统的拉普拉斯变换分析法4 5系统函数与复频域分析法4 6连续时间系统的模拟及信号流图4 7LTI连续系统的稳定性 4 1拉普拉斯变换 4 1 1单边拉普拉斯变换 1 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正 反变换为 傅氏变换对于一些指数函数处理不方便 主要原因是这类函数不收敛 例如阶跃函数u t 为了使函数收敛 我们在进行变换时让原函数f t 乘以e t 使得f t e t是一个收敛速度足够快的函数 即有f1 t f t e t式中 e t为收敛 衰减 因子 且f1 t 满足绝对可积条件 则 4 1 1 令 j s 式 4 1 1 可表示为 4 1 2 F1 的傅氏反变换为 4 1 3 式 4 1 3 两边同乘e t e t不是 的函数 可放入积分号里 由此得到 4 1 4 已知s j ds d j 为常量 ds jd 代入式 4 1 4 且积分上 下限也做相应改变 式 4 1 4 可写作 4 1 5 因为e t的作用 式 4 1 2 与 4 1 5 是适合指数阶函数的变换 又由于式 4 1 2 中的f t 是t 0时为零的因果信号 故称 单边 变换 将两式重新表示在一起 单边拉氏变换定义为 4 1 6 式中称s j 为复频率 F s 为象函数 f t 为原函数 图4 1 1复平面 象函数与原函数的关系还可以表示为 4 1 7 s j 可以用直角坐标的复平面 s平面 表示 是实轴 j 是虚轴 如图4 1 1所示 由以上分析 并比较式 4 1 6 与傅里叶变换对关系式 以及式 4 1 2 的推导 可见拉氏变换的基本信号元为est 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽 不需要信号满足绝对可积 但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决 2 单边拉氏变换收敛区 收敛区是使f t e t满足可积的 取值范围 或是使f t 的单边拉氏变换存在的 取值范围 由式 4 1 3 的推导可见 因为e t的作用 使得f t e t在一定条件下收敛 即有 4 1 8 式中 0叫做收敛坐标 是实轴上的一个点 穿过 0并与虚轴j 平行的直线叫做收敛边界 收敛轴的右边为收敛区 收敛区不包括收敛轴 一旦 0确定 f t 的拉氏变换的收敛区就确定了 满足式 4 1 8 的函数 称为指数阶函数 这类函数若发散 借助指数函数的衰减可以被压下去 指数阶函数的单边拉氏变换一定存在 其收敛区由收敛坐标 0确定 0的取值与f t 有关 具体数值由式 4 1 8 计算 以f t 随时间变化的趋势 收敛区的大致范围为 若f t 是随时间衰减的 00 的 0 a 其拉氏变换的收敛区如图4 1 2 a 所示 f t 是随时间不变的 0 0 例如u t sin 0tu t 其拉氏变换的收敛区如图4 1 2 b 所示 f t 是随时间增长的 0 0 例如eatu t a 0 的 0 a 其拉氏变换的收敛区如图4 1 2 c 所示 图4 1 2收敛区示意图 当 00时收敛区不包含虚轴j 函数的傅氏变换不存在 当 0 0时 收敛区虽不包含虚轴j 但函数的傅氏变换存在 不过有冲激项 因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在 所以一般可以不标明收敛区 4 1 3常用函数的单边拉普拉斯变换 我们通过求常用函数的象函数 掌握单边拉氏变换的基本方法 1 单位阶跃函数u t 2 t的指数函数e atu t a为任意常数 3 t的正幂函数 即 依此类推 特别地 冲激函数 通常的拉氏变换的下限都采用 P130表5 1 4 2拉普拉斯变换的性质与定理 1 线性 若f1 t F1 s f2 t F2 s 则 k1f1 t k2f2 t k1F1 s k2F2 s k1 k2为任意常数 4 2 1 证 线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一 例如 2 时延 移位 延时 特性 若f t u t F s 则 f t t0 u t t0 4 2 2 证 令t t0 x t x t0 代入上式得 3 频率平移 s域 若f t F s 则 4 2 4 4 尺度变换 若f t F s 则 其中a 0 4 2 5 证 令 代入上式得 5 时域微分 若f t F s 则 4 2 6 式中 f 0 是f t 在t 0 时的值 可以将式 4 2 6 推广到高阶导数 4 2 7 式中 f 0 以及f r 0 分别为t 0 时f t 以及时的值 证 同理 令 则 依此类推 可以得到高阶导数的L变换 特别地 当f t 为有始函数 即t 0 f t 0时 我们有 f 0 f 0 f n 1 0 0 则式 4 2 6 4 2 7 可分别化简为 4 2 8a 4 2 8b 式中 s为微分因子 6 复频域微分 若L f t F s 则 4 2 14 证 变换运算次序 可以推广至复频域的高阶导数 利用这一性质可证明t的正幂函数的象函数 7 时域积分 若f t u t F s 则 4 2 9 式中 f 1 t 表示积分运算 证 利用任意函数与阶跃卷积 其中 4 2 10 4 2 11 4 2 12 特别的 如果f t 为因果信号 则 特别的 如果f t 为因果信号 则 式 4 2 9 为 4 2 13 式中 1 s为积分因子 8 时域卷积定理 若f1 t F1 s f2 t F2 s 则 f1 t f2 t F1 s F2 s 4 2 18 证因为f1 t f2 t 为有始函数 所以 交换积分次序 利用延时特性 9 初值定理 设有f t f t 且L f t L f t 存在 则 4 2 16 初值定理只适用f t 在原点处没有冲激的函数 证由时域微分性质我们有 比较等式左 右两边得 交换积分与取极限次序 10 终值定理 设有f t f t 且L f t L f t 存在 则f t 的终值 4 2 17 终值适用的条件是sF s 的所有极点在s平面的左半面 F s 可有在原点处的单极点 证利用上面的结果 令s 0 两边取极限得 4 3拉普拉斯反变换 拉普拉斯反 逆 变换是将象函数F s 变换为原函数f t 的运算 式 4 1 6 给出为 部分分式展开法 设 1 s 0的