求逆矩阵的方法.doc

求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与A是等价的.iji （下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“ ， ”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“ + k”. ， 例如，矩阵 A = k +k （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即( A , I )( I , ) 例1 设矩阵 A = 求逆矩阵 . 解 因为+(-1)+(-2)A , I = +(-1)+(-1) + (1/2)+ 所以 = 所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确. 对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵 A , I 进行初等行变换的过程中，如果 A , I 中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果 A , I 中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的. 例2 设矩阵 A = ，问A是否可逆？ 解 因为 A , I = A , I 中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆. （下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.） 例3 解矩阵方程AX = B，其中 A =，B = 解 思路 如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘，可得AX = B， X = B 因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X . 因为 A , I = 所以 A可逆，且 = X = B = = 三、矩阵的秩 前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一矩阵的秩来判别方阵A的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式. 定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式. 例4 设矩阵 A=取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式 称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式. 定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A ) . 规定：零矩阵O的秩为零，即= 0. 例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 = 2 . 例5 设A为n阶非奇异矩阵，求. 解 由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式，所以A有n阶非零子式，故 = n . 例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若= n，则A必为非奇异的. 因此n阶方阵A为非奇异的等价于= n. 称= n的n阶方阵为满秩矩阵. 用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的. 定理2.10 设A为矩阵，则= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵. 例如，阶梯阵A =， B =因为A的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A的秩等于2，B 的秩等于3，即= 2，= 3. 那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点. 定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材） 定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩. 例6 设矩阵A =， B = 求，. 解 因为 A = 所以 = 2 因为 B = 所以 = 3 因为 AB = = AB = 所以 = 2 由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩