高考数学一轮总复习 9.2 双曲线教案 理 新人教A版.doc

9.2双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆e与圆a：(x4)2y22外切，与圆b：(x4)2y22内切，求动圆圆心e的轨迹方程.【解析】设动圆e的半径为r，则由已知|ae|r，|be|r，所以|ae|be|2，又a(4,0)，b(4,0)，所以|ab|8,2|ab|.根据双曲线定义知，点e的轨迹是以a、b为焦点的双曲线的右支.因为a，c4，所以b2c2a214，故点e的轨迹方程是1(x).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出e点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】p为双曲线1的右支上一点，m，n分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|pm|pn|的最大值为()a.6b.7c.8d.9【解析】选d.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线c：1(a0，b0)的右顶点为a，x轴上有一点q(2a,0)，若c上存在一点p，使0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设p(x，y)，则由0，得appq，则p在以aq为直径的圆上，即 (x)2y2()2，又p在双曲线上，得1，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，当xa时，p与a重合，不符合题意，舍去；当x时，满足题意的点p存在，需xa，化简得a22b2，即3a22c2，所以离心率的取值范围是(1，).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线c：1(a0，b0)的右焦点为f，直线l过焦点f，且斜率为k，则直线l与双曲线c的左、右两支都相交的充要条件是()a.k2e21b.k2e21c.e2k21d.e2k21【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足k，即k2e21，故选c.题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2013广东模拟)已知双曲线y21的左、右顶点分别为a1、a2，点p(x1，y1)，q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程；(2)若过点h(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹e都只有一个交点，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|，a1(，0)，a2(，0)，则有直线a1p的方程为y(x)，直线a2q的方程为y(x).方法一：联立解得交点坐标为x，y，即x1，y1，则x0，|x|.而点p(x1，y1)在双曲线y21上，所以y1.将代入上式，整理得所求轨迹e的方程为y21，x0且x.方法二：设点m(x，y)是a1p与a2q的交点，得y2(x22).又点p(x1，y1)在双曲线上，因此y1，即y1.代入式整理得y21.因为点p，q是双曲线上的不同两点，所以它们与点a1，a2均不重合.故点a1和a2均不在轨迹e上.过点(0,1)及a2(，0)的直线l的方程为xy0.解方程组得x，y0.所以直线l与双曲线只有唯一交点a2.故轨迹e不过点(0,1).同理轨迹e也不过点(0，1).综上分析，轨迹e的方程为y21，x0且x.(2)设过点h(0，h)的直线为ykxh(h1)，联立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1，k2.由于l1l2，则k1k21，故h.过点a1，a2分别引直线l1，l2通过y轴上的点h(0，h)，且使l1l2，因此a1ha2h，由()1，得h.此时，l1，l2的方程分别为yx与yx，它们与轨迹e分别仅有一个交点(，)与(，).所以，符合条件的h的值为或.【变式训练3】双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为e，过f2的直线与双曲线的右支交于a，b两点，若f1ab是以a为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()a.12b.32c.42d.52【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.据题意设|af1|x，则|ab|x，|bf1|x.由双曲线定义有|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a(|af1|bf1|)(|af2|bf2|)(1)xx4a，即x2a|af1|.故在rtaf1f2中可求得|af2|.又由定义可得|af2|af1|2a2a2a，即22a，两边平方整理得c2a2(52)e252，故选d.总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当|pf1|pf2|2a|f1f2|时，p的轨迹是双曲线；当|pf1|pf2|2a|f1f2|时，p的轨迹是以f1或f2为端点的射线；当|pf1|pf2|2a|f1f2|时，p无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图