空间向量与立体几何.doc

高中数学复习点睛空间向量与立体几何（一）一、考点（限考）概要：1、空间向量及其运算 （1）空间向量的基本知识： 定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 空间向量基本定理： 定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。 正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。 共线向量（平行向量）： 定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。规定：零向量与任意向量共线； 共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数，使。 共面向量：定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。 向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在内，则说向量平行于平面，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。 共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。 空间的三个向量共面的条件：当、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。 共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。 空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。 两个向量的数量积： 定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。 数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影（其中为向量和的夹角）。 即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。 基本性质： 运算律： （2）空间向量的线性运算： 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下： 加法： 减法： 数乘向量： 运算律： 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律：二、复习点睛： 1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：。高中数学复习点睛空间向量与立体几何（二）一、考点（限考）概要：2、空间向量的坐标表示： （1）空间直角坐标系： 空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向； 构成元素：点（原点）、线（x、y、z轴）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）； 空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使xOy=135(或45),yOz=90，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的一半；（2）空间向量的坐标表示：已知空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量（如图）， 由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作。 在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，x=OA，y=OB，z=OC，当与的方向相同时，x0，当与的方向相反时，x0，同理可确y、z（如图）。 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设， 则： （3）空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离：； 空间线段的中点M（x，y，z）的坐标：； 球面方程：二、复习点睛： 4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）；统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。 5、空间直角坐标系中的特殊点: （1）点（原点）的坐标：(0,0,0)； （2）线（坐标轴）上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z)； （3）面（xOy平面、yOz平面、zOx平面）内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z) 6、要使向量与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量与哪一个坐标轴垂直，只要向量的相应坐标为0即可。 7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面； 8、只要将和代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样； 9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。高中数学复习点睛空间向量与立体几何（三）一、考点（限考）概要：3、空间向量的应用： （1）直线的方向向量： 定义：直线l 上的非零向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量。 每条直线都有无数条的方向向量； 设直线l 若l 的斜率不存在，则所有的向量都是它的方向向量； 若斜率存在，设直线方程y=kx+b，任意取两点，其方向向量； 即所有与向量共线的向量都是直线的方向向量。 空间直线的向量参数式：如果l 为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l 上的充要条件是：存在实数t，满足等式，其中向量叫做直线l 的方向向量。若在l 上取，则或。当时，点P是线段AB的中点,则. 每条直线有无数条的法向量： 若其斜率不存在，则所有的向量为其法向量； 若果斜率存在，设直线方程y=kx+b，由此可知其方向向量为，那么所有与垂直的向量都是其法向量 可设其法向量，则，即，所有与向量共线的向量都是其法向量。 （2）平面的法向量： 定义：如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作，此时，把向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 即如果，那么向量叫做平面的法向量。 任何一个关于一次x、y、z方程的空间图形是平面；反之，空间表示任何一个平面的方程是关于x、y、z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0（A、B、C不同时为0），称为空间平面的一般方程。其法向量为：。 若平面与三个坐标轴的交点分别为，则其平面方程为：，并称此方程为平面的截距式方程。 已知平面的法向量为，且过点N（x，y，z）和，则其平面方程为：。 平面法向量的求法： 最常用方法是待定系数法（也称为内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 也可设为，或，或，在平面内任找两个不共线的向量，由定义，建立方程组得：，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组，取其中一个解得法向量为。 由已知平面方程Ax+By+Cz+D=0（A、B、C不同时为0），求法向量为：。 由已知平面的截距式方程，化为一般式后，可求得法向量为：。 外积法: 设为空间中两个不平行的非零向量，其外积为：长度等于（为两向量的夹角，0）且与皆垂直的向量，即。按“右手定则”，右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向，。 若设，则。 （注：二阶行列式:）二、复习点睛： 12、平面的法向量有无数个，只要找到一个就可以了，因此只需找出方程组的一组解即可。 13、平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具。由可知，要求得法向量，只需在平面上找出两个不共线向量、，最后通过解方程组得到。 14、利用平面的法向量可通过证明直线所在向量与平面的法向量所在的角为0或180，求证直线与平面垂直；通过证直线所在向量与平面的法向量垂直（直线不在平面内）证明线面平行；通过证两平面的法向量垂直证明面面垂直。 15、向量的运算有两种形式：一是基向量的线性运算，二是向量的坐标式运算。两种运算同出一辙，但运用时各有特点。向量坐标式的运算虽然简单快捷，但有时难以建立直角坐标系、求出各点坐标，因此采用何种运算方式，应该根据具体的题目的具体条件，选择最恰当的方法，而不能一味地固守某种的方法。 16、对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化值得注意的是坐标系的选取要合理、适当运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分利用图形的几何性质。高中数学复习点睛空间向量与立体几何（四）一、考点（限考）概要： 3、空间向量的应用：（3）空间线面关系：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则： 用向量证明空间线面、面面平行的方法：线面平行：记直线l 的方向向量为， 平面的法向量为，则要证，只要，即 （又分基向量法和坐标向量法两种）。面面平行：求出平面、的法向量 ，证明。（4）空间的角的计算： 两个向量的夹角： 设，则； 异面直线所成的角：异面直线所成的角的取值范围：；异面直线a、b所成的角，可转化成向量的夹角，若时， =；若时， = -； 求异面直线所成的角的坐标公式：。直线与平面所成的角：直线与平面所成的角的取值范围： ；常用的方法有平移法和补形法等；用平面的法向量求线面角：如图，设平面 的法向量为 ，直线AB与 所成的角为 ，向量 与 所成的角为 ，则 与 分别有下列关系： 由此可知：直线与平面所成的角等于直线所在向量与平面的法向量夹角的余角或直线所在向量与平面法向量夹角的补角的余角，但不管那一种，总有。二面角： 二面角的取值范围： ； 求二面角常用的方法有定义法、三垂线定理等；用平面的法向量求二面角：如图，二面角两个半平面的法向量分别为 、 ， 、 的夹角为 ，二面角的平面角为 ，则 与 的关系分别如下： 由此可知：二面角的平面角等于法向量的夹角或等于法向量夹角的补角，因此，可以通过求法向量的夹角来求二面角的大小，即 。（5）空间距离的计算：两点间的距离： 或 ；点到直线的距离： 求点 到直线 的距离，先过点A作BC ，垂足为H，再设A(X,Y,Z)， ， ，即 ，代入三点坐标求出 ，即可得到 的坐标，最后再由此求出 ，即为点到直线的距离。 点到平面的距离： 求点 到平面 的距离 ，先设平面 的斜线为 ，再求 的法向量 ，运用向量平移，得到推论“ 等于 在法向量 上的射影 的绝对值”，即 。 两条平行线间的距离： 先在一条平行线上任取一点，再按求点到直线的距离的方法即可求出。两条异面直线间的距离： 求异面直线、的距离，可先设、的公垂线段为（、），再由垂直向量性质得 ，从而得到 、 的坐标，最后求出 即可。直线与其平行面间的距离：先在直线上任取一点，再按求点到平面的距离的方法即可求出。两个平行面间的距离：即两个平面间法向量的长度。（三）复习点睛：10、空间向量的应用：（1）求直线的方向向量和平面的法向量。（2）证明空间两条直线共面通常转化为证明两条直线的方向向量共面，证明空间四点共面通常利用共面向量定理的推论。（3）判定或证明空间线线、线面、面面的平行和垂直