机械振动 第2章(习题).doc

第二章 单自由度系统习题2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：w=g/运动微分方程（式2.5）：+wx=0初始条件：x(0)=3,(0)=0由式2.8有：A=3j=arctg=0由式2.7有：响应：x=3cos(t)2.2 弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解：w=g/=9.8/0.2=49运动微分方程（式2.5）：+wx=0初始条件：x(0)=-0.2,(0)=0由式2.8有：振幅：A=0.2j=arctg=0由式2.7有：响应：x=0.2cos(7t)周期：T=2p/wn弹簧刚度：k=mg/=19.8/0.2=49(N/m)最大弹簧力：FSmax=-kA=-490.2=9.8(N)2.3 重物ml悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由落到ml上而无弹跳，如图T2.3所示，求其后的运动。图 T2.3解：w=k/(m1+m2)运动微分方程（式2.5）：+wx=0初始条件：x(0)=- m2g/km2gh=(m1+m2)2(0) (0)(以下略)2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图T2.4所示，求系统的固有频率。图 T2.4解：系统的势能：U=kr22系统的动能：Et=I2+mr22由d(U+Et)=0得：（I+ mr2）+kr2=0w=2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图T2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。图 T2.5解：系统的势能：U=k(a)2+k(a)2=ka22系统的动能：Et=I2由d(U+Et)=0得：I+ka2=0w=T=2p/wn2.6 求如图T2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k22k1，k3=k1。图 T2.6解：设k1=k则 =+=+k12=k系统的势能：U=k12x2+k3x2=kx2系统的动能：Et=m2由d(U+Et)=0得：m+kx=0w=T=2p/wn2.7 如图T2.7所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。图 T2.7解：系统的势能：U=mg(R-r)(1-cos)=mg(R-r)2说明：mg(R-r)2为重心变化引起的势能；由于重心变化引起的势能为：mg(R-r) (1-cos)；由三角函数的的倍角公式：cosa=1-2sin2（a/2），且当a很小时，sinaacos=1-2sin2（/2）=1-2（/2）2=1-2/2 mg(R-r)(1-cos)=mg(R-r)2系统的动能：Et=m(R-r)22+I（）22说明：圆柱质心点的速度:(R-r)=r=由d(U+Et)=0得柱体的摆动方程：m(R-r)2+ I（）2 + mg(R-r)=0对于均质圆柱：I=mr2m(R-r)2+ mg(R-r)=0w= 2g/3(R-r)22.8 横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图T2.8)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。图 T2.8解：建立如图所示坐标系，系统平衡时，由牛顿第二定律得： mx+g(Ax)g=0有： w=初始条件为：x0=x，0=0 所以浮子的响应为：2.9 求如图T2.9所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。图 T2.9解：设盘1转角为j1，令i=j1/j2，则系统的动能：ET =I12+I22=I1i22+I22=( i2 I1+ I2) 2系统的势能：U=k1r12j12+k2r22j22=(i2k1r12+ k2r22)j22由d(U+Et)=0得： ( i2 I1+ I2) +(i2k1r12+ k2r22) j2=0w=(i2k1r12+ k2r22)/ ( i2 I1+ I2)T=2p/wn2.10 如图T2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。图T2.10解：系统的势能：U=ka22(未计重力势能)系统的动能：Et=I2+mR22由d(U+Et)=0得：（I+ mR2）+ka2=0w=m=P/gT=2p/wn2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T，如果在m上附加一个质量m1，则弹簧的静伸长增加Dl，求当地的重力加速度。解： T=2p/wn wn=2p/Tw=k/mk=mw=4p2 m /T2k=(m+m1)gDl=m1g/kg=Dlk/m1=4p2 mDl (/T2m1)2.12 用能量法求图T2.12所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。图T2.12解：(1) 杆重不计(a)系统的势能：U=PL(1-cos)=PL2系统的动能：Et=mL22由d(U+Et)=0得： mL2+PL=0w=PL/( mL2)=mgL/( mL2)=g/L(b)系统的势能：U= PL2+2a22=(PL+k a2) 2系统的动能：Et=mL22由d(U+Et)=0得： mL2+(PL+k a2) =0w=(PL+k a2)/( mL2)(c)同(b)(2)杆质量均匀，计入杆重（略）2.13 求如图T2.13所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。图 T2.13解：系统的势能：U= kx2+kx2= kx2系统的动能：Et=m2由d(U+Et)=0得： m+ kx=0系统的等效刚度： k2.14 一台电机重470N，转速为1430rmin，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图T2.14所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI1.66105Nm2。(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。图 T2.142.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为r的弹性梁的一端，如图T2.15所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。图 T2.152.16 见图T2.16。求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。图 T2.16解：设U形管内液柱长L，截面积为A，密度为r，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x时，有：系统的势能：U=rA2xgx系统的动能：ET=rAL2由d(U+ET)=0得：rAL+4rAgx=0w=T=2p/wn217 水箱l与2的水平截面面积分别为A1、A2，底部用截面为A0的细管连接。求液面上下振动的固有频率(图T2.17)。图 T2.172.18 如图T2.18所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明：并指出m的意义(式中液体阻尼力Fd=m2Av)。图 T2.18证明：对于无阻尼自由振动：T1=2p/wn=2p/=2pk=4p2W/(gT) (1)对于有阻尼对于无阻尼的振动： wd= wn，即有：T2= T1/z=阻尼力：Fd=m2Av=cx， v= xm = c/2A又（式2.26）：c=2zm =2z/(2A)= z/A=/A (2)将（1）式和m=W/g代入（2）式，即有：证明完毕。2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示(式中xn是经过n个循环后的振幅)。并给出在阻尼比zz为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。证明：设系统阻尼自由振动的响应为。时刻的位移为；时刻的位移为；由式（2.36）有：，即：（参见式2.41）当振幅衰减到50%时，即：1)当 时，；要11个循环；2)当 时，；要2个循环；3)当 时，；要1个循环；2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为k1=1.02105Nm，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比z=0.25，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?2.21 重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长d，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，系统的运动微分方程为：+c+x=0系统的阻尼比：系统不振动条件为：，即：物体在平衡位置以初速度开始运动，即初始条件为：此时系统的响应为：（可参考教材P22）1)当时：其中：2) 当时：，其中：即：3) 当时： 其中：，即：2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105Nm的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m，试求：炮管初始后座速度；减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)；炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。2.23 设系统阻尼比z0.1，试按比例画出在w/wn0.5、1.0、2.0三种情况下微分方程的向量关系图。2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当z=0.2、wn =5rad/s时系统的品质因子和带宽。2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数，v是运动速度)，激励为FF0sinwt，当w=wn即共振时，测得振动的振幅为X，求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A，求此时的F0。2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为F50coswt(N)，系统在周期T0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。解：由时共振可知，系统固有频率为：当时，已知响应振幅：，（参见教材P30）c=2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数g。2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即求其等效阻尼系数和共振时的振幅。2.30 KGl电动机重P，装在弹性基础上，静下沉量为d。当转速为nrmin时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值，不计阻尼。2.31 电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度d。转子重Q，偏心距为e。试求当转速为w时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T2.32)，并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为I，因而系统固有频率w=kTI，但因kT不能精确计算，必须用试验测定wn。为此固定升降舵，利用弹簧k2对调整片做简谐激励，并用弹簧k1来抑制。改变激励频率w直至达到其共振频率w T。试以w T和试验装置的参数来表示调整片的固有频率wn。图 T2.32解：设调整片的转角为q，系统的微分方程为：I+kT+(k1+k2)L2q=k2Lysinwt系统的共振频率为：因此：调整片的固有频率为：w=w-2.33 如图T2.33所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。图 T2.332.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T2.34)，x=asinwt。试求在微幅的强迫振动中偏角q的变化规律。已知摆长为L，摆锤质量为m。图 T2.342.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率16002200rmin范围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少?2.36 试从式(2.95)证明：1. 无论阻尼比取何值，在频率比时，恒有XA。2. 在，X/A随增大而减小，而在，X/A随增大而增大。 2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz，阻尼比z=0.65。试估计所能测量的最低频率，设要求误差1，2。2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振动，测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?2.39 一振动记录仪的固有频率为fn3.0Hz，阻尼比z=0.50。用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为x=2.05sin4pt+1.0sin8pt (cm)证明：振动记录仪的振动z将为z1.03sin(4pt-500)+1.15sin(8pt-1200)(cm)2.40 求单自由度无阻尼系统对图T2.40所示激励的响应，设初始条件为零。2.41 求图T2.41所示系统的传递函数，这里激励是x3(t)。2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300的光滑斜面下滑，如图T2.42所示。求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。