【全程复习方略】高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用时作业 新人教A版选修22(1).doc

定积分在几何中的应用一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014广州高二检测)用s表示图中阴影部分的面积，则s的值是()a.ac f(x)dxb.ac f(x)dxc.ab f(x)dx+bc f(x)dxd.bc f(x)dx-ab f(x)dx【解析】选d.因为在区间a，b上f(x)0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积s为如图所示阴影部分面积.所以s=12 1xdx=lnx|12=ln2-ln1=ln2.3.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=ab，则直线x=0，x=34，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为()a.12b.34c.32d.32【解题指南】求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.【解析】选c.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，得f(x)=ab=2sinxcosx=sin2x，当x0,2时，sin2x0；当x2,34时，sin2x0.由定积分的几何意义，直线x=0，x=34，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为02 sin2xdx-234 sin2xdx=-12cos2x|+12cos2x|=1+12=32.【变式训练】已知a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，f(x)=ab，则直线x=0，x=3，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为()a.34b.4+34c.4-34d.2+34【解析】选c.由a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，得f(x)=ab=cos2x-sin2x=cos2x，当x0,4时，cos2x0；当x4,3时，cos2x0)围成图形的面积是23，则c等于()a.13b.12c.1d.23【解析】选b.由y=x2,y=cx3得交点(0，0)，1c,1c2，则s=01c (x2-cx3)dx=13x3-c4x4|01c=131c3-c41c4=23，c=12.【误区警示】解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为0，1.确定积分区间必须通过解曲线交点确定.二、填空题(每小题4分，共8分)5.直线x=2，x=32，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积为_.【解析】由题意画草图：由图形知面积为s=232 cosxdx=-232 cosxdx=-sinx|232=-(-1-1)=2.答案：26.(2014青岛高二检测)由曲线y2=2x，y=x-4所围图形的面积是_.【解析】如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2=2x,y=x-4得交点坐标为(2，-2)，(8，4).因此所求图形的面积s=-24 y+4-y22dy.取f(y)=12y2+4y-y36，则f(y)=y+4-y22，从而s=f(4)-f(-2)=18.答案：18【一题多解】联立方程组，y2=2x,y=x-4,解得：(2，-2)，(8，4)，s=202 2xdx+28 (2x-x+4)dx=18.答案：18三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2013沈阳高二检测)求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分，建立面积的目标函数求最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得s=s1+s2=0t (t2-x2)dx+t1 (x2-t2)dx=t2x-13x3|0t+13x3-t2x|t1=t3-13t3+13-t2-13t3+t3=43t3-t2+13，t(0，1)，所以s=4t2-2t，所以t=12或t=0(舍去).当t变化时，s，s变化情况如下表：t0,121212,1s-0+s极小值所以当t=12时，s最小，且smin=14.【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各段分别求面积进而求和.(2)若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限.8.(2014潍坊高二检测)如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数.【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0，x2=1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积s=01 (x-x2)dx=x22-x33|01=12-13=16.由y=kx,y=x-x2可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x1=0，x2=1-k，所以s2=01-k (x-x2-kx)dx=1-k2x2-x33|01-k=16(1-k)3.又s=16，所以(1-k)3=12.于是k=1-312=1-342.所以k的值为1-342.一、选择题(每小题4分，共12分)1.由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为()a.112b.14c.13d.712【解析】选a.由y=x2,y=x3得交点为(0，0)，(1，1).所以s=01 (x2-x3)dx=13x3-14x4|01=112.2.直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为-11 f(x)dx；-11 f(|x|)dx；-11 |f(x)|dx；01 2|f(x)|dx.其中，正确表示的个数为()a.0b.1c.2d.3【解析】选c.由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当f(x)0时，平面图形的面积为-11 f(x)dx=01 2f(x)dx；当f(x)1,所以s=141 xdx+12 x2dx=23x32|141+13x3|12=3512.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014北京高二检测)如图，已知点a0,14，点p(x0，y0)(x00)在曲线y=x2上，若阴影部分面积与oap面积相等，则x0=_.【解析】s阴=0x0 x2dx=13x03-1303=13x03，soap=1214x0=18x0，由题意知13x03=18x0，因为x00，所以x0=64.答案：645.设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线x=12围成的面积为b，若g(x)=2lnx-2bx2-kx在1，+)上单调递减，则实数k的取值范围是_.【解析】由题意b=012 2cos2xdx=sin2x|012=sin6=12，所以g(x)=2lnx-x2-kx，所以g(x)=2x-2x-k，因为g(x)=2lnx-2bx2-kx在1，+)上单调递减，所以g(x)=2x-2x-k2x-2x在1，+)上恒成立.因为2x-2x在1，+)上递减，所以2x-2x0，所以k0.由此知实数k的取值范围是(0，+).答案：(0，+)三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014济宁高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a，br)的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a的值.【解析】由图知方程f(x)=0有三个实根，其中有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，所以f(x)=x2(x+a)，有274=0