勾股定理逆定理 (3).docx

丹寨县第三中学2017年数学教学设计 数学组：刘中发课题：17.1 勾股定理的逆定理教学目标知识与技能1、理解并能证明勾股定理的逆定理。2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念。3、会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。过程与方法1、通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识发生、发展和形成的过程。2、通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用。情感态度与价值观1、通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系。2、在对勾股定理的逆定理的探索中，培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度，同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。教学内容17.2勾股定理的逆定理重点难点重点:勾股定理的逆定理的应用。难点:勾股定理的逆定理的证明。教学方法新授课学习方法自主学习，合作探究，小组交流教具准备直尺、三角板，多媒体：PPT课件、电子白板法制渗透无教学课时1课时教学过程设计备注教学步骤及主要内容 一、新课导入 导入一:过渡语同学们，你们是如何画直角的?想知道古埃及人是如何画直角的吗?古埃及人画直角的方法:把准备好的一根打了13个等距离结的绳子，然后按3个结，4个结，5个结的长度为边长，摆放成一个三角形。你认为这个三角形是直角三角形吗?学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，做出合理的推断。导入二:你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论。学生独立回忆勾股定理，师生共同分析得出其题设和结论，教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系。追问:你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?师生共同得出新的命题，教师指出其为勾股定理的逆命题。追问:“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题。二、新知构建1。勾股定理的逆定理思路一(1)归纳猜想过渡语从古埃及人的画直角的方法，你有什么启发吗?提问:如果改变一下三条边的结数，是否还能摆放出同样形状的三角形吗?画图看一看，三角形的三边长分别为2。5 cm，6 cm，6。5 cm，观察三角形的形状。再换成4 cm，7。5 cm，8。5 cm试试看。三角形的三边具有怎样的关系，才得到上面同样的结论?教师根据学生的思考结果，对第个问题总结归纳，提出猜想:如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。思路二下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c。5，12，13;7，24，25;8，15，17。这三组数都满足a2+b2=c2吗?分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，得出结论:这三组数都满足a2+b2=c2;以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形。师生进一步通过实际操作，猜想结论:如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。(2)原命题、逆命题过渡语把勾股定理记为命题1，猜想的结论记为命题2。提问:命题1和命题2的题设和结论分别是什么? 学生独立思考回答问题，命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，结论是这个三角形是直角三角形。教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的。归纳出互逆命题概念:两个命题的题设和结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。 提问:请同学们举出一些互逆命题，并思考:原命题正确，它的逆命题是否也正确呢?举例说明。 学生分组讨论合作交流，然后举手发言，教师适时记下一些互逆命题，其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题，也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题。如:对顶角相等和相等的角是对顶角;两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行;全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形。 追问:在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?学生举手发言回答，另一学生纠错。同时教师引导学生明确:任何一个命题都有逆命题。原命题正确，逆命题不一定正确;原命题不正确，逆命题可能正确。原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系。(3)勾股定理的逆定理的证明过渡语原命题正确，它的逆命题不一定正确，那么勾股定理的逆命题正确吗?如果你认为是正确的，你能证明这个命题“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”吗?教师引导学生分析命题的题设及结论，让学生独立画出图形，写出已知和求证。已知:如图所示，ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2。求证:C=90。追问:要证明ABC是直角三角形，只要证明C=90，由已知能直接证吗?教师引导，如果能证明ABC与一个以a，b为直角边长的RtABC全等。那么就证明了ABC是直角三角形，为此，可以先构造RtABC，使AC=b，BC=a，C=90，再让学生小组讨论得出证明思路，证明了猜想的正确性。教师适时板书出规范的证明过程。证明:如图所示，作直角三角形ABC，使C=90，BC=a，AC=b，由勾股定理得AB=BC2+AC2=a2+b2=c，AB=AB，BC=BC，AC=AC，ABCABC，C=C=90，ABC是直角三角形。教师在此基础上进一步指出，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。2。例题讲解(教材例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形:(1)a=15，b=8，c=17;(2)a=13，b=14，c=15。学生独立完成，教师适时指导，并规范地书写解题过程。在此活动中，教师帮助学生分析得到:要判断一个三角形是不是直角三角形，可根据勾股定理及其逆定理，关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方进行比较，只有相等时才是直角三角形。解:(1)因为a2+b2=152+82=289，c2=172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。(2)因为a2+b2=132+142=365，c2=152=225，所以132+142152，所以这个三角形不是直角三角形。过渡语像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。提问:同学们还知道哪些勾股数?请完成以下未完成的勾股数:(1)3，4，; (2)6，8，; (3)7，24，;(4)5，12，; (5)9，12，。知识拓展勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:确定最大边长c;计算a2+b2和c2的值，若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形;若a2+b2c2，则此三角形是锐角三角形。(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗? 引导学生认真审题，弄清已知是什么，解决的问题是什么。学生通过思考举手回答，教师在黑板上列出:已知两艘轮船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，“远航”号的航向东北方向;解决的问题是“海天”号的航向。 引导学生尝试画图，教师在黑板上或多媒体中画出示意图。 引导学生分析:图中的E，N分别表示东、北两个方向。要求出“海天”号的航行方向，只要求出RPQ的度数，而1=45，利用角的和差得出2的度数。解:根据题意，由已知得PQ=161。5=24，PR=121。5=18，QR=30。因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以QPR=90，由“远航”号沿东北方向航行可知1=45，所以2=QPR-1=45，即“海天”号沿西北方向航行。三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:(1)已知一个三角形的三边长，利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形。(2)一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理。(3)三个数满足勾股数的两个条件:三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;三个数必须都是正整数。(4)解题时，注意勾股定理与其逆定理的区别。勾股定理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的。四、课后作业【必做题】教材练习第33页第1，2，3题;教材第34页习题17。2第1，2，3，4题。【选做题】教材第34页习题17。2第7题。设计意图介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活，同时明确了本节课研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生动手实践、观察探究的能力。设计意图由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2