中考数学总复习 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系（试卷部分）课件.ppt

第五章圆 5 1圆的性质及与圆有关的位置关系 中考数学 山东专用 a组2014 2018年山东中考题组考点一圆的有关概念与性质 五年中考 1 2018济宁 4 3分 如图 点b c d在 o上 若 bcd 130 则 bod的度数是 a 50 b 60 c 80 d 100 答案d如图所示 在优弧上任取一点a 不与点b d重合 连接ab ad 因为四边形abcd是 o的内接四边形 所以 a bcd 180 因为 bcd 130 所以 a 50 所以 bod 2 a 2 50 100 2 2018烟台 10 3分 如图 四边形abcd内接于 o 点i是 abc的内心 aic 124 点e在ad的延长线上 则 cde的度数为 a 56 b 62 c 68 d 78 答案c由 aic 124 知 iac ica 180 aic 180 124 56 又点i是 abc的内心 点i是 abc三个内角的平分线的交点 bac bca 56 2 112 b 180 bac bca 180 112 68 四边形abcd内接于 o b adc 180 又 adc cde 180 cde b 68 3 2018菏泽 6 3分 如图 在 o中 oc ab adc 32 则 oba的度数是 a 64 b 58 c 32 d 26 答案d由垂径定理 得 又 adc 32 boc 2 adc 64 oba 90 64 26 4 2018青岛 5 3分 如图 点a b c d在 o上 aoc 140 点b是的中点 则 d的度数是 a 70 b 55 c 35 5 d 35 答案d如图 连接ob 点b是的中点 aob aoc 140 70 d aob 70 35 方法总结在圆中 见到弧的中点时 就要想到等弧 相等的圆心角 圆周角以及相等的弦 5 2017青岛 6 3分 如图 ab是 o的直径 点c d e在 o上 若 aed 20 则 bcd的度数为 a 100 b 110 c 115 d 120 答案b连接ac aed 20 acd aed 20 ab是 o的直径 acb 90 bcd acd acb 20 90 110 故选b 思路分析连接ac 先根据在同圆或等圆中 同弧所对的圆周角相等 求得 acd的度数 再根据直径所对的圆周角是直角求得 acb的度数 最后由 bcd acb acd得 bcd的度数 方法规律解决与圆有关的角度的相关计算问题时 一般先判断角是圆周角还是圆心角 再转化成同弧所对的圆周角或圆心角 利用同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解 特别地 当已知圆的直径时 往往要用到 直径所对的圆周角是直角 的性质 6 2017泰安 12 3分 如图 abc内接于 o 若 a 则 obc等于 a 180 2 b 2 c 90 d 90 答案d连接oc 则 boc 2 a 2 因为ob oc 所以 obc ocb 180 2 90 思路分析首先连接oc 然后利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系确定 boc的大小 最后利用等腰三角形的性质计算出 obc的度数 7 2016聊城 9 3分 如图 四边形abcd内接于 o f是上一点 且 连接cf并延长交ad的延长线于点e 连接ac 若 abc 105 bac 25 则 e的度数为 a 45 b 50 c 55 d 60 答案b dcf bac 25 又 四边形abcd是圆内接四边形 adc 180 abc 180 105 75 e adc dcf 75 25 50 故选b 思路分析利用圆的内接四边形对角互补的性质求出 adc的度数 利用在同圆或等圆中 同弧所对的圆周角相等求出 dcf的度数 最后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 e的度数 8 2017东营 14 3分 如图 ab是半圆的直径 半径oc ab于点o d为半圆上一点 ac od ad与oc交于点e 连接cd bd 给出以下三个结论 od平分 cob bd cd cd2 ce co 其中正确结论的序号是 答案 解析ab是半圆的直径 oc ab oa ob oc aoc cob 90 oac 45 ac od dob oac 45 cod cob dob 90 45 45 od平分 cob bd cd 故 正确 cde coa 90 45 cde cod 在 cde和 cod中 cde cod 即cd2 ce co 故 正确 思路分析利用ao co co ab 得到 aoc为等腰直角三角形 即 cao 45 由ac od得到 dob cao 45 进而得到 doc 45 od平分 cob 利用同圆 或同弧 中相等的圆心角所对的弦长相等即可得到bd cd 利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 即可得到 cde coa 90 45 即 cde cod 又 dce ocd cde cod 即cd2 ce co 9 2016枣庄 15 4分 如图 在半径为3的 o中 直径ab与弦cd相交于点e 连接ac bd 若ac 2 则tan d 答案2 解析连接bc ab为 o的直径 acb 90 又 ab 2r 6 bc 4 根据在同圆或等圆中 同弧所对的圆周角相等知 d a tan d tan a 2 故答案为2 思路分析连接bc 由直径所对的圆周角为直角 得到 abc为直角三角形 解rt abc 然后利用在同圆或等圆中 同弧所对的圆周角相等 即可求得tan d的值 10 2017济南 23 7分 如图 ab是 o的直径 acd 25 求 bad的度数 解析 ab是 o的直径 adb 90 acd 25 b acd 25 bad 90 b 90 25 65 思路分析首先由ab是 o的直径 推得 adb 90 然后由同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 得 b acd 25 最后由直角三角形的两锐角互余 得 bad 90 b 90 25 65 方法规律求与圆有关的角时 要想到 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 2 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3 圆的内接四边形的对角互补 4 同圆和等圆的半径相等等 11 2016潍坊 21 8分 正方形abcd内接于 o 如图所示 在劣弧上取一点e 连接de be 过点d作df be交 o于点f 连接bf af 且af与de相交于点g 求证 1 四边形ebfd是矩形 2 dg be 证明 1 四边形abcd是正方形 bad bcd 90 bed bad 90 bfd bcd 90 又 df be edf bed 180 edf 90 四边形ebfd是矩形 2 正方形abcd内接于 o 的度数是90 afd 45 又 gdf 90 dgf dfg 45 dg df 又 在矩形ebfd中 be df dg be 思路分析 1 要证明四边形ebfd是矩形 需证明四边形ebfd的三个角是直角 先根据在同圆或等圆中 同弧所对的圆周角相等及正方形的性质 得到 bed bfd 90 再根据两直线平行 同旁内角互补求得第三个角是直角即可 2 根据圆周角与它所对弧的关系求得 afd 45 则 dfg为等腰直角三角形 则df dg 再根据矩形的对边相等得到df be 从而be dg 考点二与圆有关的位置关系 1 2018泰安 9 3分 如图 bm与 o相切于点b 若 mba 140 则 acb的度数为 a 40 b 50 c 60 d 70 答案a如图 连接oa ob 则ob bm bao abo mba obm 140 90 50 aob 180 50 2 80 acb aob 40 2 2017枣庄10 3分 如图 在网格 每个小正方形的边长均为1 中选取9个格点 格线的交点称为格点 如果以a为圆心 r为半径画圆 选取的格点中除点a外恰好有3个在圆内 则r的取值范围为 a 2 r b r 3c r 5d 5 r 答案b如图所示 由勾股定理可得 ab 2 ac ad ae 3 af ag am an 5 r 3时 以a为圆心 r为半径画圆 选取的格点中除点a外恰好有3个在圆内 故选b 3 2017日照 9 4分 如图 ab是 o的直径 pa切 o于点a 连接po并延长交 o于点c 连接ac ab 10 p 30 则ac的长度是 a 5b 5c 5d 答案a过点o作od ac于点d ab是 o的直径 pa切 o于点a ab ap bap 90 p 30 aop 60 aoc 120 oa oc oad 30 ab 10 oa 5 od ao ad ac 2ad 5 故选a 4 2017莱芜 6 3分 如图 ab是 o的直径 直线da与 o相切于点a do交 o于点c 连接bc 若 abc 21 则 adc的度数为 a 46 b 47 c 48 d 49 答案c 直线da与 o相切 oad 90 ob oc b ocb 21 aod b ocb 42 adc 90 aod 90 42 48 思路分析 根据切线的性质 得出 oad 90 在rt ado中 欲求 adc的度数 需求 aod的度数 利用oc ob得出 ocb abc 21 根据三角形外角的性质得 aod 42 从而 adc 48 5 2016潍坊 9 3分 如图 在平面直角坐标系中 m与x轴相切于点a 8 0 与y轴分别交于点b 0 4 与点c 0 16 则圆心m到坐标原点o的距离是 a 10b 8c 4d 2 答案d作md bc于点d 连接om am 则四边形aodm是矩形 易知am od 10 oa 8 在rt aom中 由勾股定理得om 2 故选d 6 2018威海 16 3分 在扇形cab中 cd ab 垂足为d e是 acd的内切圆 连接ae be 则 aeb的度数为 答案135 解析连接ce cd ab adc 90 dac dca 90 e内切于 adc eac eca 45 aec 135 由题易知 aec aeb aeb aec 135 7 2016泰安 22 3分 如图 半径为3的 o与rt aob的斜边ab切于点d 交ob于点c 连接cd并延长交直线oa于点e 若 b 30 则线段ae的长为 答案 解析连接od ab与圆o相切于点d od ab 又 b 30 ob 2do 6 bao 60 cod 60 bc oc 3 od oc cod 60 ocd是等边三角形 dc oc bc 3 cdb b 30 ade 30 又 bao 60 e 30 ade ae ad ad od tan30 ae 8 2018东营 22 8分 如图 cd是 o的切线 点c在直径ab的延长线上 1 求证 cad bdc 2 若bd ad ac 3 求cd的长 解析 1 证明 如图 连接od ab是 o的直径 adb 90 1 odb 90 又 cd是 o的切线 odc 90 bdc odb 90 1 bdc 又 oa od 1 cad cad bdc 2 bd ad cad bdc c c cad cdb 又ac 3 cd ca 3 2 9 2018济宁 18 7分 在一次数学活动课中 某数学小组探究求环形花坛面积的方法 现有以下工具 卷尺 直棒ef t型尺 cd所在的直线垂直平分线段ab 1 在图1中 请你画出用t型尺找大圆圆心的示意图 保留画图痕迹 不写画法 2 如图2 小华说 我只有一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积 具体作法如下 将直棒放置到与小圆相切的位置 用卷尺量出此时直棒与大圆两交点m n之间的距离 就可求出环形花坛的面积 如果测得mn 10cm 请你求出这个环形花坛的面积 图1图2 解析 1 如图 所示 点o就是大圆的圆心 图 2 如图 所示 设ef与小圆相切于点h 连接oh om 图 ef与小圆相切于点h oh ef mh mn 又mn 10cm mh 5cm 在rt omh中 由勾股定理 得om2 oh2 mh2 52 25 s环形花坛 om2 oh2 om2 oh2 25 cm2 即这个环形花坛的面积为25 cm2 10 2018德州 22 12分 如图 ab是 o的直径 直线cd与 o相切于点c 且与ab的延长线交于点e 点c是的中点 1 求证 ad cd 2 若 cad 30 o的半径为3 一只蚂蚁从点b出发 沿着be ec 爬回点b 求蚂蚁爬过的路程 3 14 1 73 结果保留一位小数 解析 1 证明 如图 连接oc 点c是的中点 dac bac 直线cd与 o相切于点c oce 90 又 ao co oac aco dac aco ad oc adc oce 90 ad cd 2 cad 30 dae 60 coe 60 e 30 oc 3 oe 6 ec oc 3 be oe ob 6 3 3 的长为 蚂蚁爬过的路程为be ec 3 3 11 3 11 2018滨州 22 12分 如图 ab为 o的直径 点c在 o上 ad cd于点d 且ac平分 dab 求证 1 直线dc是 o的切线 2 ac2 2ad ao 证明 1 如图 连接oc ac平分 dab dac oac 由题意可知oa oc oac oca dac oca oc ad 又 ad cd adc 90 ocd 90 直线dc是 o的切线 2 连接bc ab是 o的直径 acb 90 acb adc 90 又 dac bac adc acb ac2 ad ab ac2 2ad ao 12 2018莱芜 23 10分 如图 已知a b是 o上两点 oab外角的平分线交 o于另一点c cd ab交ab的延长线于d 1 求证 cd是 o的切线 2 e是的中点 f为 o上一点 ef交ab于g 若tan afe be bg eg 3 求 o的半径 解析 1 证明 如图 连接oc ob oc ocb obc cb是 oab的外角的平分线 obc cbd ocb cbd oc bd bd cd bdc 90 ocd 90 oc cd 又oc为 o的半径 cd是 o的切线 2 连接oe交ab于h e是的中点 oe ab afe abe tan afe tan abe 设eh 3m m 0 则bh 4m be 5m bg be bg 5m gh m 在rt geh中 eg2 gh2 eh2 又eg 3 3 2 m2 3m 2 解得m 3 eh 9 bh 12 设 o的半径为r 在rt ohb中 ob2 oh2 bh2 r2 r 9 2 122 r 故 o的半径为 思路分析 1 连接oc 证oc cd即可 2 连接oe交ab于h 利用同弧所对的圆周角相等 得到 abe afe 进而利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出eh bh的长 最后利用勾股定理求出 o的半径 13 2018聊城 24 10分 如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 作ed eb交ab于点d o是 bed的外接圆 1 求证 ac是 o的切线 2 已知 o的半径为2 5 be 4 求bc ad的长 解析 1 证明 连接oe ob oe obe oeb be平分 abc obe ebc oeb ebc oe bc 又 c 90 oea 90 即ac oe 又 oe是 o的半径 ac是 o的切线 2 在 bce与 bed中 c bed 90 ebc dbe bce bed bd是 o的直径 bd 5 be 4 bc 又 oe bc ao ad 2 5 ab ad 5 解得ad 思路分析 1 连接oe 由 oeb obe ebc 得oe bc 从而证明ac oe ac是 o的切线 2 由 bce bed 得 从而求出bc的长 由oe bc 得 可求出ad的长 14 2017莱芜 23 10分 已知ab是 o的直径 c是圆上一点 bac的平分线交 o于点d 过d作de ac交ac的延长线于点e 如图 1 求证 de是 o的切线 2 若ab 10 ac 6 求bd的长 3 如图 若f是oa的中点 fg oa交直线de于点g 若fg tan bad 求 o的半径 解析 1 证明 如图 连接od oa od oad oda 又 ad平分 bac oad dae oda dae od ae ode aed 180 又 aed 90 ode 90 od de 又od是 o的半径 de是 o的切线 2 连接bc交od于点n ab是 o的直径 bca 90 od ae o是ab的中点 on ac 且on ac onb 90 且on 3 则bn 4 nd 2 bd 2 3 如图 设fg与ad交于点h 根据题意 设ad 4x bd 3x 则ab 5x 则af x fh af tan bad x x 则ah x 则hd ad ah 4x x x 由 1 可知 hdg oda 90 在rt hfa中 fah fha 90 又 oad oda fha dhg dhg hdg gh gd 过点g作gm hd 交hd于点m mh md hm hd x x fah ahf 90 mhg hgm 90 fha mhg fah hgm 在rt hgm中 hg x fh gh fg x x 解得x 故此圆的半径为 4 思路分析 1 连接半径od 易证od de 即可证得de是 o的切线 2 在rt bdn中 先求出bn dn的长 再利用勾股定理求出bd的长 3 已知tan bad 在rt abd中 tan bad 设bd 3x ad 4x 设fg与ad交于点h 已知fg 把fg转化为fh与gh的和 并分别得到fh与gh关于x的方程 然后解方程求出 o的半径 15 2017东营 21 8分 如图 在 abc中 ab ac 以ab为直径的 o交bc于点d 过点d作 o的切线de 交ac于点e ac的反向延长线交 o于点f 1 求证 de ac 2 若de ea 8 o的半径为10 求af的长度 解析 1 证明 ob od b odb ab ac b acb odb acb od ac de是 o的切线 od是 o的半径 de od de ac 2 过点o作oh af 垂足为h 则 ode deh ohe 90 四边形odeh为矩形 od eh oh de 设ah x de ea 8 od 10 ae 10 x oh de 8 10 x x 2 在rt aoh中 由勾股定理知 ah2 oh2 oa2 x2 x 2 2 102 解得x1 8 x2 6 不符合题意 舍去 ah 8 oh af ah fh af af 2ah 2 8 16 思路分析 1 由ab ac得到 b acb 又由ob od得到 b odb 进而得到 odb acb 所以od ac 由切线性质知道de od 即可证得de ac 2 过o作oh af于h 由垂径定理可知ah af 由矩形的判定易知四边形odeh为矩形 即od he oh de 设ah x 则ae 10 x oh de 8 ae 8 10 x x 2 在rt aoh中 由勾股定理知ah2 oh2 oa2 列方程即可求得x 进而求得af b组2014 2018年全国中考题组考点一圆的有关概念与性质 1 2017四川遂宁 9 4分 如图 o的半径为4 abc是 o的内接三角形 连接ob oc 若 bac与 boc互补 则弦bc的长为 a 3b 4c 5d 6 答案b boc cab 180 boc 2 cab boc 120 作od bc交bc于点d bc 2bd ob oc obd ocd 30 bd obcos30 2 bc 2bd 4 故选b 2 2017四川广安 9 3分 如图 ab是 o的直径 且经过弦cd的中点h 已知cos cdb bd 5 则oh的长度为 a b c 1d 答案d连接bc 根据题意 知ab垂直平分cd bc bd 5 cdb bcd chb 90 在rt chb中 ch cb cos bcd 5 4 hb 3 sin bcd sin cdb cdb cab sin cab ab是 o的直径 acb 90 在rt acb中 ab ob ab oh ob hb 3 故选d 3 2017内蒙古呼和浩特 7 3分 如图 cd为 o的直径 弦ab cd 垂足为m 若ab 12 om md 5 8 则 o的周长为 a 26 b 13 c d 答案b连接oa 设om 5x x 0 则md 8x oa od 13x 又 ab 12 ab cd am 6 在rt aom中 5x 2 62 13x 2 解得x 舍负 半径oa o的周长为13 方法规律如图 设圆o的半径为r 弦长为a 弦心距为d 弓形的高为h 则 d2 r2 h r d或h r d 已知其中任意两个量即可求出其余两个量 4 2016河北 9 3分 下图为4 4的网格图 a b c d o均在格点上 点o是 a acd的外心b abc的外心c acd的内心d abc的内心 答案b设每个小正方形的边长为1 则oa ob oc 所以点o到 abc三个顶点的距离都相等 所以点o在三角形abc三边垂直平分线的交点上 故点o是 abc的外心 评析本题考查了勾股定理和三角形外心的定义 用勾股定理分别求出点o与三角形abc各顶点的距离 再根据定义作出判断即可 5 2018北京 12 2分 如图 点a b c d在 o上 cad 30 acd 50 则 adb 答案70 解析 bac cad 30 又 bdc bac 30 acd 50 adb 180 30 30 50 70 6 2018湖北黄冈 11 3分 如图 abc内接于 o ab为 o的直径 cab 60 弦ad平分 cab 若ad 6 则ac 答案2 解析连接bd 因为ab为 o的直径 所以 adb 90 因为 cab 60 弦ad平分 cab 所以 bad 30 因为 cos30 所以ab 4 在rt abc中 ac ab cos60 4 2 7 2017北京 14 3分 如图 ab为 o的直径 c d为 o上的点 若 cab 40 则 cad 答案25 解析连接bc bd ab为 o的直径 acb 90 abc 90 cab 90 40 50 abd cbd abc 25 cad cbd 25 8 2017浙江湖州 12 4分 如图 已知在 abc中 ab ac 以ab为直径作半圆o 交bc于点d 若 bac 40 则的度数是度 答案140 解析 ab ac bac 40 b c 70 的度数为2 70 140 9 2016黑龙江龙东地区 7 3分 如图 cd是 o的直径 cd 4 acd 20 点b为弧ad的中点 点p是直径cd上的一个动点 则pa pb的最小值为 答案2 解析如图所示 作出点a关于cd的对称点m 则 连接mb交cd于点p 此时pa pb的值最小 pa pb的值最小为bm的长 作直径bn 连接mn 则 bmn 90 acd 20 点b为弧的中点 弧所对圆心角的度数为60 mnb 30 在rt bmn中 bm bn cd 4 2 pa pb的最小值为2 10 2018安徽 20 10分 如图 o为锐角 abc的外接圆 半径为5 1 用尺规作图作出 bac的平分线 并标出它与劣弧的交点e 保留作图痕迹 不写作法 2 若 1 中的点e到弦bc的距离为3 求弦ce的长 解析 1 尺规作图如图所示 2 连接oe交bc于m 连接oc 因为 bae cae 所以 易得oe bc 所以em 3 rt omc中 om oe em 5 3 2 oc 5 所以mc2 oc2 om2 25 4 21 rt emc中 ce2 em2 mc2 9 21 30 所以弦ce的长为 思路分析对于 2 连接oe交bc于点m 再连接oc 由 bae cae可得 可推出oe bc 最后利用勾股定理求出ce 11 2018河南 19 9分 如图 ab是 o的直径 do ab于点o 连接da交 o于点c 过点c作 o的切线交do于点e 连接bc交do于点f 1 求证 ce ef 2 连接af并延长 交 o于点g 填空 当 d的度数为时 四边形ecfg为菱形 当 d的度数为时 四边形ecog为正方形 解析 1 证明 连接oc ce是 o的切线 oc ce fco ecf 90 do ab b bfo 90 cfe bfo b cfe 90 3分 oc ob fco b ecf cfe ce ef 5分 2 30 注 若填为30 不扣分 7分 22 5 注 若填为22 5 不扣分 9分 12 2018福建 24 12分 已知四边形abcd是 o的内接四边形 ac是 o的直径 de ab 垂足为e 1 延长de交 o于点f 延长dc fb交于点p 如图1 求证 pc pb 2 过点b作bg ad 垂足为g bg交de于点h 且点o和点a都在de的左侧 如图2 若ab dh 1 ohd 80 求 bde的大小 图1图2 解析 1 证明 ac是 o的直径 abc 90 又 de ab dea 90 dea abc bc df f pbc 四边形bcdf是圆内接四边形 f dcb 180 又 pcb dcb 180 f pcb pbc pcb pc pb 2 连接od ac是 o的直径 adc 90 又 bg ad agb 90 adc agb bg dc 又由 1 知bc de 四边形dhbc为平行四边形 bc dh 1 在rt abc中 ab tan acb acb 60 cab 30 从而bc ac od dh od 在等腰三角形doh中 doh ohd 80 odh 20 设de交ac于n bc de onh acb 60 noh 180 onh ohd 40 doc doh noh 40 cbd oad 20 bc de bde cbd 20 一题多解 1 证明 易证df bc 从而cd bf 且 1 pb pc 2 连接od 设 bde x 则 ebd 90 x 易证四边形bcdh为平行四边形 bc dh 1 ab cab 30 ac 2 adb acb 60 od oa 1 dh odh 180 2 ohd 180 2 80 20 oad oda adb odh x 60 20 x 40 x 又 aod 2 abd 180 2 40 x 2 90 x 解得x 20 即 bde 20 解后反思本题考查圆的有关性质 等腰三角形的判定与性质 平行线的判定与性质 平行四边形的判定与性质 解直角三角形等基础知识 考查运算能力 推理能力与几何直观 考查化归与转化思想 13 2017浙江台州 22 12分 如图 已知等腰直角三角形abc 点p是斜边bc上一点 不与b c重合 pe是 abp的外接圆 o的直径 1 求证 ape是等腰直角三角形 2 若 o的直径为2 求pc2 pb2的值 解析 1 证明 abc是等腰直角三角形 ac ab cab 90 又 pe是 abp的外接圆 o的直径 pae 90 cap bae 又 cpa apb 180 apb aeb 180 apc aeb acp abe ap ae ape是等腰直角三角形 2 由 1 得 acp abe cp be 又 pbe 90 pe 2 eb2 pb2 pe2 4 即pc2 pb2 4 考点二与圆有关的位置关系 1 2018福建 9 4分 如图 ab是 o的直径 bc与 o相切于点b ac交 o于点d 若 acb 50 则 bod等于 a 40 b 50 c 60 d 80 答案d由bc与 o相切于点b 可得 abc 90 由三角形内角和为180 及 acb 50 可得 bac 40 由oa od得 oda bac 40 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 bod oda oad 80 2 2017吉林 6 2分 如图 直线l是 o的切线 a为切点 b为直线l上一点 连接ob交 o于点c 若ab 12 oa 5 则bc的长为 a 5b 6c 7d 8 答案d因为ab是圆o的切线 所以oa ab 由勾股定理可得 ob 13 又因为oc 5 所以bc ob oc 13 5 8 故选d 3 2017浙江宁波 9 4分 如图 在rt abc中 a 90 bc 2 以bc的中点o为圆心的圆分别与ab ac切于d e两点 则的长为 a b c d 2 答案b连接oa oe od rt abc中 o为bc的中点 bc 2 oa ob oc 又 ac ab是 o的切线 od oe r oe ac od ab 又 a 90 四边形odae为正方形 doe 90 易知ac 2r ab 2r 在rt abc中 由勾股定理可得 2r 2 2r 2 2 2 r 1 的长 故选b 解题关键求出 eod及半径r是解题的关键 4 2018安徽 12 5分 如图 菱形aboc的边ab ac分别与 o相切于点d e 若点d是ab的中点 则 doe 答案60 解析 ab ac分别与圆o相切于点d e od ab oe ac 在菱形aboc中 ab bo 点d是ab的中点 bd ab bo bod 30 b 60 又 ob ac a 120 在四边形adoe中 doe 360 90 90 120 60 解题关键由题意得出od垂直平分ab及ab bo是解答本题的关键 5 2017江苏镇江 9 2分 如图 ab是 o的直径 ac与 o相切 co交 o于点d 若 cad 30 则 bod 答案120 解析 ab是 o的直径 ac与 o相切 ao ac 即 cao 90 cad 30 dao 60 bod 120 6 2017江苏徐州 16 3分 如图 ab与 o相切于点b 线段oa与弦bc垂直 垂足为d ab bc 2 则 aob 答案60 解析 线段oa与弦bc垂直 ab bc 2 bd bc 1 在rt abd中 sin a a 30 ab与 o相切于点b oba 90 aob 60 故答案为60 7 2018四川成都 20 10分 如图 在rt abc中 c 90 ad平分 bac交bc于点d o为ab上一点 经过点a d的 o分别交ab ac于点e f 连接of交ad于点g 1 求证 bc是 o的切线 2 设ab x af y 试用含x y的代数式表示线段ad的长 3 若be 8 sinb 求dg的长 解析 1 证明 如图 连接od ad为 bac的平分线 bad cad oa od oda oad oda cad od ac 又 c 90 odc 90 od bc bc是 o的切线 2 连接df 由 1 可知 bc为 o的切线 fdc daf cda cfd afd adb 又 bad daf abd adf ad2 ab af ad2 xy ad 3 连接ef 在rt bod中 sinb 设圆的半径为r r 5 ae 10 ab 18 ae是直径 afe 90 又 c 90 ef bc aef b sin aef af ae sin aef 10 af od dg ad ad dg 思路分析 1 连接od 由od oa ad平分 bac 易得od ac 所以od bc 证得bc为圆o的切线 2 连接df 判定 abd adf 得ad2 ab af xy 即ad 3 连接ef 设圆的半径为r 由sinb的值 解直角 abc 直角 aef 根据od af 表示出dg ad 又ad 进而可以求出dg的长 易错警示本题属于圆的综合题 考查了切线的判定与性质 相似三角形的判定与性质及锐角三角函数 题中涉及直角三角形的条件间的转化较多 易造成代换或计算错误 加强对三角函数概念的理解 提高计算能力 是减少错误的关键 8 2018辽宁沈阳 22 10分 如图 be是 o的直径 点a和点d是 o上的两点 过点a作 o的切线交be延长线于点c 1 若 ade 25 求 c的度数 2 若ab ac ce 2 求 o半径的长 解析 1 连接oa ac为 o的切线 oa是 o的半径 oa ac oac 90 ade 25 aoe 2 ade 50 c 90 aoe 90 50 40 2 ab ac b c aoc 2 b aoc 2 c oac 90 aoc c 90 3 c 90 c 30 oac 90 oa oc 设 o的半径为r ce 2 r r 2 r 2 o的半径为2 9 2018陕西 23 8分 如图 在rt abc中 acb 90 以斜边ab上的中线cd为直径作 o 分别与ac bc相交于点m n 1 过点n作 o的切线ne与ab相交于点e 求证 ne ab 2 连接md 求证 md nb 证明 1 连接on 则oc on dcb onc 在rt abc中 d为斜边ab的中点 cd db dcb b onc b on ab 2分 ne是 o的切线 ne on ne ab 4分 2 连接nd 则 cnd cmd 90 acb 90 四边形cmdn是矩形 6分 md cn 由 1 知 cd bd cn nb md nb 8分 思路分析 1 连接on 由oc on可得 dcb onc 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出cd db 进而得出 dcb b 再推出on ab 然后根据切线的性质得出on ne 最后得到结论 2 根据圆周角定理可得 cnd cmd 90 进而判断四边形cmdn为矩形 得出md cn 然后根据等腰三角形三线合一推出cn nb 从而得到结论 解题技巧针对含有切线的解答题 首先要想到的是作 辅助线 由此获得更多能够证明题目要求的条件 一般作 辅助线 的方法为 见切点 连圆心 从而构造直角 垂直 然后利用切线性质及其他几何知识进行证明或计算 10 2018内蒙古呼和浩特 24 10分 如图 已知bc ac 圆心o在ac上 点m与点c分别是ac与 o的交点 点d是mb与 o的交点 点p是ad延长线与bc的交点 且 1 求证 pd是 o的切线 2 若ad 12 am mc 求的值 解析 1 证明 连接od op a a adm apo adm apo md po 1 4 2 3 od om 3 4 1 2 又op op od oc odp ocp odp ocp bc ac ocp 90 odp 90 od ap 又od为半径 pd是 o的切线 2 由 1 知pc pd 连接cd am mc am 2mo 2r r为 o的半径 在rt aod中 od2 ad2 oa2 r2 122 9r2 r 3 od 3 mc 6 ap 18 dp 6 又 md po o是mc的中点 点p是bc的中点 bp cp dp 6 又 mc是 o的直径 bdc cdm 90 在rt bcm中 bc 2dp 12 mc 6 bm 6 易知 bcm cdm 即 md 2 思路分析第 1 问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形 进而得到角相等 第 2 问需要先求出半径 进而借助相似三角形的性质和判定解决 解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形 并综合运用相关几何知识解决问题 11 2018云南昆明 21 8分 如图 ab是 o的直径 ed切 o于点c ad交 o于点f ac平分 bad 连接bf 1 求证 ad ed 2 若cd 4 af 2 求 o的半径 解析 1 证法一 连接oc 1分 ed切 o于点c oc de oce 90 oa oc oac oca ac平分 bad oac dac oca dac 3分 oc ad d oce 90 ad ed 4分 证法二 连接oc 1分 ed切 o于点c oc de ocd 90 oa oc oac oca ac平分 bad oac dac oca dac 3分 oca acd 90 dac acd 90 d 90 ad ed 4分 2 解法一 设线段oc与bf的交点为h ab是 o的直径 afb hfd 90 5分 ocd d 90 四边形hfdc是矩形 chf 90 即oc bf fh dc 4 6分 fb 2fh 8 7分 在rt bfa中 afb 90 af 2 由勾股定理可得ab 2 o的半径为 8分 解法二 过点o作on af于点n 5分 oc de ad ed ond d ocd 90 四边形ondc是矩形 6分 on cd 4 on af af 2 an af 1 7分 在rt oan中 ona 90 由勾股定理可得oa o的半径为 8分 思路分析 1 连接oc 则oc de 由ac平分 bad及oa oc 得 oac dac oca 从而得oc ad或 cad acd 90 进而证得ad ed 2 设线段oc与bf的交点为h 则四边形hfdc是矩形 从而得到fb 8 进而利用勾股定理求解即可 或过o作on af于点n 则an 1 在矩形ondc中 on cd 4 由勾股定理求解即可 解题关键本题考查了圆的切线的性质 勾股定理 矩形的性质 第 2 问中解法二的关键是过o作on af 构造矩形和直角三角形 12 2017湖北宜昌 21 8分 已知 四边形abcd中 e是对角线ac上一点 de ec 以ae为直径的 o与边cd相切于点d b点在 o上 连接ob 1 求证 de oe 2 若cd ab 求证 四边形abcd是菱形 证明 1 连接od cd是 o的切线 od cd 2 3 1 cod 90 又 de ec 2 1 3 cod de oe 2 od oe od de oe 3 cod deo 60 2 1 30 oa ob oe 而oe de ec oa ob de ec 又 ab cd 4 1 2 1 4 oba 30 abo cde ab cd 四边形abcd是平行四边形 dae doe 30 1 dae cd ad 四边形abcd是菱形 c组教师专用题组 考点一圆的有关概念与性质 1 2018陕西 9 3分 如图 abc是 o的内接三角形 ab ac bca 65 作cd ab 并与 o相交于点d 连接bd 则 dbc的大小为 a 15 b 25 c 35 d 45 答案a ab ac bca 65 bca abc 65 bac 50 cd ab bac acd 50 根据圆周角定理的推论得 abd acd 50 所以 dbc abc abd 65 50 15 故选a 2 2017辽宁锦州 7 2分 如图 四边形abcd是 o的内接四边形 ad与bc的延长线交于点e ba与cd的延长线交于点f dce 80 f 25 则 e的度数为 a 55 b 50 c 45 d 40 答案c b dce f 80 25 55 四边形abcd是 o的内接四边形 edc b 55 e 180 dce edc 45 3 2017四川德阳 10 3分 如图 点d e分别是 o的内接正三角形的ab ac边上的中点 若 o的半径为2 则de的长等于 a b c 1d 答案a连接ob 过点o作om bc于m 如图 在rt bom中 obm 30 ob 2 bm 2cos30 bc 2bm 2 de bc 故选a 4 2017福建 8 4分 如图 ab是 o的直径 c d是 o上位于ab异侧的两点 下列四个角中 一定与 acd互余的角是 a adcb abdc bacd bad 答案d ab是 o的直径 adb 90 bad b 90 易知 acd b bad acd 90 故选d 5 2017四川阿坝州 7 4分 如图 将半径为2cm的圆形纸片折叠后 圆弧恰好经过圆心o 则折痕ab的长为 a 2cmb cmc 2cmd 2cm 答案d如图 过点o作od ab 交ab于点d 连接oa oa 2od 2cm ad cm od ab ab 2ad 2cm 6 2017江苏南京 6 2分 过三点a 2 2 b 6 2 c 4 5 的圆的圆心坐标为 a b 4 3 c d 5 3 答案a过c作ce ab于e 设所求圆的圆心为d 半径为r 连接ad 如图所示 a 2 2 b 6 2 圆心d在直线x 4上 d的横坐标为4 c 4 5 ce 3 cd r de 3 r 在rt dae中 ae2 de2 ad2 即22 3 r 2 r2 解得r d的纵坐标为5 d 故选a 思路分析本题求过三点的圆的圆心坐标时 首先根据圆的对称性确定圆心的横坐标 然后根据勾股定理求出半径 最后求出圆心的坐标 7 2017浙江金华 7 4分 如图 在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片 则弦ab的长为 a 10cmb 16cmc 24cmd 26cm 答案c如图 作oc ab交ab于d 交圆于c oc 13cm cd 8cm od 5cm 在rt bod中 bd 12 cm ab 2bd 24cm 思路分析作oc ab交ab于d 交圆于点c 根据垂径定理和勾股定理求ab的长 8 2016广西南宁 9 3分 如图 点a b c p在 o上 cd oa ce ob 垂足分别为d e dce 40 则 p的度数为 a 140 b 70 c 60 d 40 答案b dce 40 cd oa ce ob doe 180 40 140 p aob 70 故选b 9 2016浙江丽水 10 3分 如图 已知 o是等腰rt abc的外接圆 点d是上一点 bd交ac于点e 若bc 4 ad 则ae的长是 a 3b 2c 1d 1 2 答案c因为ac bc 4 c 90 所以由勾股定理得ab 4 所以bd 易证 cbe dae 所以ae be de ce ad cb 4 因为ac bd是 o的两条相交弦 所以be de ae ce 若ae 3 则be 15 故错误 若ae 2 则be 10 故错误 若ae 1 则be 5 de ce 4 1 3 此时满足be de ae ce 故ae 1时正确 若ae 1 2 则be 6 故错误 故选择c 10 2017四川雅安 15 3分 o的直径为10 弦ab长为6 点p是弦ab上一点 则op的取值范围是 答案4 op 5 解析如图 连接oa 作om ab与m o的直径为10 oa 5 op的最大值为5 om ab与m am bm ab 6 am 3 在rt aom中 om 4 om的长即为op的最小值 4 op 5 11 2017四川自贡 17 4分 如图 等腰 abc内接于 o 已知ab ac abc 30 bd是 o的直径 如果cd 则ad 答案4 解析根据题意知 ab ac adc adb abc 30 bdc 60 bd是 o的直径 bcd bad 90 cos bdc bd cos bda ad cos30 4 12 2017四川广元 14 3分 已知 o的半径为10 弦ab cd ab 12 cd 16 则ab和cd的距离为 答案14或2 解析分两种情况 当ab cd在圆心o的两侧时 如图1 过o作oe cd于e 延长eo将ab于f 连接od ob ab cd ef ab ed cd bf ab ab 12 cd 16 ed 16 8 bf 12 6 由勾股定理得 oe 6 of 8 ef oe of 6 8 14 当ab cd在圆心o的同侧时 如图2 同理得 ef