放大镜成像.doc

放大镜成像前几天，一个老同学打电话来问我放大镜的放大倍数是怎么定义的。当时没能回答出来，这两天利用空闲时间自己推导了一下，基本算是弄明白了。要想说明白这个问题，先要明确几个概念。首先，对于光学系统，我们说的放大倍数一般都是指的对眼睛的张角放大率，而不是像与物之间几何大小的比率。可以用图1 来说明这个问题。在图1中，为了简化问题，只是将物和像的几何关系画了出来，没有画出产生像1 和像2 的光学系统。图1很明显，像2比像1大，但是像2距离眼睛远，所以实际上人眼看来，像1比像2要大。在这个图中，像2的放大倍数M=1，像1的放大倍数为M=/。可以看出，这样定义放大倍数确实是合理的。第二个需要清楚的概念是人眼的明视距离。还是以上面图1说起。图1已经说明了物或像对人眼的张角越大，我们看到的物或像就越大。那么理论上来说只要将物体尽可能的靠近眼睛我们就能看的更大更清楚。这里忽略了另外一个关键的问题，眼睛这个光学系统他的调焦能力是有限的，物体离眼睛太近了人眼就无法正确对焦，就只能看到模模糊糊的图像了。人眼能够看清物体的最近距离就称之为明视距离。实际上明视距离因人而异，对于近视眼，明视距离会短一些，远视眼会长一些。对于健康的人眼，明视距离在250mm左右，因此我们通常将明视距离就设定为250mm。第三点要说明的是，我们通常使用凸透镜（放大镜）时，将物体放到离透镜一倍焦距之内，这时成的像为正立的虚像。本文下面的讨论都在这种成像模式下。第四点，下面的讨论采用傍轴条件，也就是只考虑物体很小时的成像。之所以采用傍轴条件，是因为透镜只能对近轴光线准确汇聚，对于大角度入射的光线实际上是无法准确成像的。另外采用傍轴条件后，物或像对人眼的张角比较好用数学公式来表示。有了前面的准备就可以开始正题了。首先，设物体的高度为H。物体离眼睛的距离为S。那么，傍轴条件翻译成数学语言就是HS。这时，物对人眼的张角tan=H/S。由前面对于明视距离的讨论，我们知道物体对人眼的最大有效张角为tan=H/250mm。像对人眼的张角比较麻烦，它除了与物距、像距有关还与透镜到眼睛的距离直接相关。但是，如果已经固定了的物体与透镜的相对位置，肯定是眼睛离透镜越近像对人眼的张角越大。图2给出了一个具体的例子。图2是像对人眼的张角，眼睛离透镜越近越大，当人眼无限接近透镜时，达到它所能达到的最大值。这时=。是像对透镜中心的张角。这种极限条件下能够给出凸透镜成像的最大放大倍数（像对人眼的最大张角），这也是我们最关心的问题。因此下面的讨论都基于人眼无限接近透镜这一条件。图2还可以看出，当人眼无限接近透镜时，像对人眼的张角=物对人眼的张角=像对透镜中心的张角=物对透镜中心的张角=而tan=H/u，u是物体到镜片的距离，也就是所谓的物距。因此，对于一个特定的透镜系统（焦距f）和物距u。放大倍数:物距u也是有范围的，要满足成虚像的条件，u最大只能为f，这时成像在无穷远。这时的放大倍数为：物距u也不能无限的变小，随着u变小，像距v也会变小，当像距v小于明视距离250mm时人眼就无法看清了。根据透镜成像公式由像距v=-250mm（取负号是因为成的是虚像），反推：带入放大倍数的计算公式：至此，一切关系都清楚了，凸透镜成虚像时，成像的放大倍数在250/f到1+250/f之间。我们用成像在无穷远时的放大倍数250/f作为透镜的标称放大倍数。设u为物距(物体与透镜光心(即中心)间距离)，v为像距(像与透镜光心间距离，像与物体在透镜同侧时为负，异侧时为正)，f为焦距，则有： (1/u)+(1/v)=(1/f)(1)即为高斯公式 K-(v/u)(n/n)(2)即为薄透镜放大率公式其中n、n分别是物方与像方介质的折射率，一般