数学竞赛辅导资料(27)-15 识图.pdf

15 识 图 作者德化一中 颜墀策 甲甲 内容提要内容提要 1 几何学是研究物体形状 大小 位置的学科 平面几何学 只研究在同一平面 内的图形的形状 大小和相互位置 2 几何图形就是点 线 面 体的集合 点是组成几何图形的基本元素 3 几何里的点 线 面实际上是不能脱离物体而单独存在的 因此单独研究点 线 面 要靠正确的空间想像力 点 只表示位置 没有大小 不可再分 线 只有长短 没有粗细 线是由无数多点组成的 即 点动成线 面 只有长 宽 没有厚薄 面是由无数多线组成的 即 线动成面 4 因为任何复杂的图形 都是由若干基本图形组合而成的 所以识别图形的组合关 系是学好几何的重要基础 识别图形 包括静止状态的数一数 量一量 比一比 算一算 运动状态中的位置 数量的变化 图形的旋转 摺叠 割补 并合 比较等 还要注意一 般图形和特殊图形的差别 乙 例题乙 例题 例 1 数一数 图甲中有几个角 小于平角的角 图乙中 O 是平行四边形 ABCD 对角线的 交点 那么图中有几对全等三角形 能完全重合的三角形 图丙是把正方形各边 5 等分 那么图中共有几个正方形 图丙 图乙 图甲 E B O D C A O D C B A 解 图甲中有 10 个角 AOB AOC BOC BOD COD COE DOE DOA EOA EOB 如果 OA 和 OC 成一直线 则少一个 AOC 余类推 图乙中有全等三角形 4 对 O 是 AC 和 DB 的中点 AOB COD AOD BOC ABC CDA BCD DAB 图丙中共有正方形 55 个 边长 1 个单位的有 25 5 2 个 边长 2 个单位的 有 16 42 个 边长 3 个单位的有 9 3 2 个 边长 4 个单位的有 4 22 个 边长 5 个单位的有 1 个 以上答题 要注意如何有次序地数 并数出规律 例 2 设平面内有 6 个点A1 A2 A3 A4 A5 A6 其中任意 3 个点都不在同一直线上 如果每两 点都连成一条线 那么共有线段几条 如果要使图形不出现有 4 个点的两两连线 那 么最多可连成几条线段 试画出图形 1989 年全国初中数学联赛题1989 年全国初中数学联赛题 41 解 从点A1与其他 5 点连线有 5 条 从点A2与其他 4 点 A1除外 连线有 4 条 从A3与 其他 3 点连线有 3 条 A1 A2除外 以此类推 6 个点两两连线共有线段 1 2 3 4 5 15 条 如左图 也可用每点都与其他 5 点连线共有 5 6 条 再除以 2 因重复计算 要使图形不出现有 4 个点的两两连线 那么每点只能与其他 4 个点连线 共有 6 4 2 12 条 如右图 有 3 对点不连线 A1A4 A2A5 A3A6 A6 A5 A4 A3 A3 A2 A6 A5 A4 A2 A1 A1 例 3 如图水平线与铅垂线相交于 O 某甲沿水平线从左向右 某乙沿铅垂线从下向上同时 匀速前进 当甲在 O 点时 乙离点 O 为 500 米 2 分钟后 甲 乙离点 O 相等 又过 8 分钟 甲 乙再次离点 O 相等 求甲和乙的速度比 解 如图 设甲0 乙0为开始位置 甲1 乙1为前进 2 分钟后位置甲2 乙2 为再前进 8 分钟的位置 再设甲 乙的速度分别为每分钟x y米 根据题意 得 5001010 25002 yx yx 解得 12x 8y x y 2 3 答甲和乙的速度比是 2 比 3 O 甲2 乙2 甲1 乙1 乙0 甲0 例 4 在三角形内 不在边上 有 3 个点 连同原三角形三个顶点 共 6 个点 以这 6 个点 为顶点 作出所有不重迭的三角形共有几个 1989 年全国初中数学联赛题1989 年全国初中数学联赛题 解 如图 ABC 中一个点 D 与 A B C 各点连结可得 3 个不重迭的三角形 再增加 1 点 E 这时可连结不重迭的三角形共 5 个 再增加 1 个点 F 又可增加 2 个不重迭的三角 形 共有 7 个 一般规律是每增加 1 个点 可增加不重迭的三角形 2 个 E D D C C B B A A F E D CB A 丙 练习 15 丙 练习 15 42 1 数一数 图甲的正方形中有等腰直角三角形 个 图乙中有直角三角形 个 图乙图甲 O EC B D AD C B A 2 平面上有 5 个点 A B C D E 其中 A B C 三点在同一直线上 那么以这 5 个点 为端点的线段共有 条 记作 3 以 O 为端点画 6 条射线 OA OB OC OD OE OF 它们可以组成的角 小于平角的角 最多是 个 最少是 个 试分别画出草图 4 在三角形内有 n 个点 n 为正整数 与原三角形 3 个顶点共 n 3 个点 以这些点为顶 点可连成不重迭的三角形最多有 个 5 设数轴上表示数 x 的点 P 记作 P x 例如下图中点 A 表示 3 点 B 表示 2 分别记 作 A 1 B 2 那么数轴上 到点 A 点 B 距离相等的点 M 是 到点A 点B距离的差为 1 的点N1 N2记作 若QA 3QB 则点Q1 Q2分别记作 到点 A 点 B 距离的和为 6 的点 R 为 G F E D CB A 到点 A 点 B 距离的和为 5 的点的集合是线段 6 如右图 长方形 ABCD 中 E F G 分别在边 BC CD DA 上 以 A 为一个顶点 其他两点在 B C D E F G 中任选 总 共可组成的三角形 个 它们是 1987 年泉州市初二数学双基赛题 1987 年泉州市初二数学双基赛题 7 平面上有 6 个点A B C D E F其中任意 3 个点都不在同一直线上 如果不使 图 形出现有 3 个点两两连线 那么最多可连接线段几条 试画出草图 8 如左图 OC AB 于 O OD OE 于 O 写出图中 相等的角 互余的角 C E 互补的角 9 如右图长方形 ABCD 中 AB 5 BC 4 AE BF 1 CG DH 2 那么四边形 EFGH 的面积是 平方单位 10 如图 A B C D 四点在同一直线上 到 A B C D 各点距离之和为最小值的点在 什么位置 有几个符合条件的点 距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示 1987 年全国初中数学联赛题1987 年全国初中数学联赛题 11 正方形的边长为 a 以四条边长为直径 分别向正方形内部作 4 个半圆 求这四个半 H G F E B A D O D B A C BC AD 43 圆相交所成的菊花形面积 12 下列四图 都是由全等正方形组成的图形 其中哪一个能围成正方体 答 A B C D C D 福建省 1983 1984 学年度部分地市初中数学联赛试题 福建省 1983 1984 学年度部分地市初中数学联赛试题 13 甲 乙两人沿着圆周同时匀速前进 开始他们位于一条直径的两端 相向而行 第一 次相遇时 乙走了 100 米 第二次相遇时 甲还差 60 米走完一圈 求这个圆的周长 提示 可设 圆周长为x 米 并引入参数V甲 V乙 列方程组解之 14 正方形 ABCD 边长为 a 在点 A 处有个质点 P 在点 B 处有 个质点 Q 两个质点同时依反时针方向 沿正方形的边线作 匀速的运动 过 4 秒钟 P 在 C 处追上 Q 那么 再过 秒钟 P 在 处第二次追上 Q 出发 6 秒钟时 P Q 之间相距 a Q PB A DC 15 有长 3cm 宽 2cm 的长方形纸片 1991 张 将它们按照下图所示的方法 摆在平面上 那么这 1991 张纸片覆盖的面积是 A 3982 B 3986 C 3990 D 3999 1991 年泉州市初二数学双基赛题1991 年泉州市初二数学双基赛题 16 一条线段与圆相交 可把一个圆分成两部分 问四条线段最多可把圆分成 部分 1991 年泉州市初二数学双基赛题1991 年泉州市初二数学双基赛题 17 把一个矩形分成 6 个正方形 如右图 其中最小的一个面积 是 1 单位平方 那么这个矩形的面积是 单位平方 18 如果 20 个点将某圆周 20 等分 那么顶点只能在这 20 个点 中选取的正多边形的个数有 A 4 B 8 C 12 D 24 1996 年全国初中数学联赛题1996 年全国