第 15 讲 求数列的通项.doc

第 15 讲 求数列的通项 （第课时）神经网络准确记忆！求数列的通项的方法重点难点好好把握！重点：1由求通项；2由递推关系求通项。难点：由递推关系求通项。考纲要求注意紧扣！1能根据数列的前几项写出数列的通项公式；2求能转化为等差等比的数列的通项公式。命题预测仅供参考！1求等差等比数列的通项公式；2求能转化为等差等比的数列的通项公式。考点热点一定掌握！1数列的通项公式 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的一项，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。一个数列中的第项记为，一个数列记为 或， 通项公式的定义：如果一个数列的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 数列递推式： 是指数列中相邻几项之间的关系式。例如 ， 等等。例根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式： -1，7，-13，19， 7，77，777，7777， ， 分析： 先不考虑符号，那么后项比前项大6，是等差数列，其通项为 ，再考虑符号，则其通项为 ； 数列可以分解为 71，711，7111，71111，而数列1，11，111，1111，的通项为 ，故所求的通项为 ； 对于分式形式的数列，可以分子分母分别找通项，同时注意分子分母之间的关系。本题分子为偶数数列，其通项为；分母可以分解为 13，35，57，79，911，其中每一项都是相邻两个奇数的积，其通项为 ，故所求的通项为 ；2求通项的方法 利用前n项和与通项的关系 例设数列 1，2，4，7，的前项之和是 ，求这个数列的通项 ，并确定、的值。分析：注意到已知，而与之间有关系 =- （务必理解这一关系式！）， =-即 。得出了通项，、就好求了。由数列的第2、3、4项可以根据通项列出三个方程，从而解出、。注意，通项中没有，可以利用 =+ 得出。答案： ， ， ， ， 。问：把 代入通项得 ，而已知 ， ，对吗？答：不对，因为这里的是用-表示的，若把 代入通项就等于承认了 ，但我们对未做定义，不能使用。例已知数列 中， ，且 ，求通项。分析：利用=+消去即可。解：当 时，有 -= ， ， ，则有 把上列各式相乘得 ，又已知 ， 。例一个数列的前项和为 ，求它的通项。分析： ， 此数列为偶数数列 2，4，6，8，2n， ，但偶数数列的前项和为 ，这与已知条件 不相同，问题出在哪里？实际上，从 可以看出，若 ，则 ，其中无意义。这也就是说，只能保证当 时，用 推出的才有效（特例除外）。那么当 时，又该是什么呢？因为 ，故只要从 中求出，它就是。所求的通项为 。 迭代法如果已知（或能写出）数列的递推式，则可以使用迭代法求通项。例设 ， （，），求数列的通项公式。解：由 得 把以上个等式两边相加得 当 时， 也适合上式，故所求的通项公式为 。点评：本题给出了递推式为 的数列的通项公式的求法（迭代法），值得注意的是，必须对时的情况加以验证，因为递推关系式是从第二项开始的。如果题目给出的递推式是前后项之间的比例关系，则要把个等式两边相乘才能约去中间的部分。例设 ， （，），求数列的通项公式。分析：本题给出的递推式与上例稍有不同，需要把上题的解法变通使用。解：由 得 为了使左边相加后正负项能互相抵消，故除开第一式之外，其它每式两边同乘2。 把以上个等式两边相加得 也适合上式，故所求的通项公式为 。 换元法如果已知或能写出数列的递推式，则可以使用换元法求通项。例 ， （，），求数列的通项公式。（这就是上面使用迭代法求通项的例子，现在我们改用换元法来做。）解：把递推式变形为 ，令 ，则 （）， 是以 为首项，2为公比的等比数列。 ，即 ， 。点评：换元法的关键在于建立一个与原数列有着某种关系的新数列，而这个新数列是等差或等比数列。这样就可以求出新数列的通项，从而求出原数列的通项。此法技巧性较强。 数学归纳法例 ， （，），求数列的通项公式。（这就是上面使用迭代法求通项的例子，现在我们改用数学归纳法来做。）由 ， 得 故作出猜测，当 时，有 证明: 当 时， ,由递推式有 ，故当 时，猜测成立； 假设当 时，猜测成立，即 ,那么 ,由递推式有 ,故当 时，猜测成立；当 时， ，可见此数列的第一项也符合猜测。综上所述，此数列的通项公式为 。能力测试认真完成！1已知数列5，0，-5，0，5，0，-5，0，写出其通项公式。2一个数列的前项和为 ，求该数列的通项。3设数列的首项 ，前项和与通项满足条件 （），求通项公式。4已知数列满足 ， ，其中、为常数，且 ，求。请你使用迭代法、数学归纳法和换元法这三种方法解本题。5. 数列中， ， ， ，求。提示：如果变通使用上面介绍的方法，可以得出较简单的解法。参考答案仔细核对！DS2401-03求通项的方法12345从数列的前几项写出数列的通项利用迭代法换元法数学归纳法特殊值法1已知数列5，0，-5，0，5，0，-5，0，写出其通项公式。解：数列的各项具有周期性，因为数列 1，0，-1，0，1，0，-1，0，的通项为 ，故所求的通项为 。2一个数列的前项和为 ，求该数列的通项。解： ，=-= ， 。解题错误：写成 ，没有将其化简为 。3设数列的首项 ，前项和与通项满足条件 （），求通项公式。解： =- ， （）， - ，两边同乘 得 -= ，即 （），如果我们把看成一个数列的通项，则由上述结果可知此数列是公差为2的等差数列，又 ， ， 数列的首项为1， 数列的通项为 ， ， =- （），当 时，上式右边等于2，不等于，因此所求数列的通项公式为 。说明：通过求出也可得到。4已知数列满足 ， ，其中、为常数，且 ，求。请你使用迭代法、数学归纳法和换元法这三种方法解本题。解法一（迭代法）： 上面各式相加得 。又 也适合此通项， 。（或写成： 。）解法二（数学归纳法）： 下面再用数学归纳法证之即可（此处略）。解法三（换元法）：我们把数列的每一项都加上一个相同的量，使这个数列成为等比数列。即令 ，把它和 相比较可知