高中数学 第三章 概率 3.3.1 几何概型课件1 新人教A版必修3.ppt

3 3几何概型3 3 1几何概型 问题1 如图 转盘上有8个面积相等的扇形 转动转盘 求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率 问题2 在500ml的水中有一只草履虫 现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察 求发现草履虫的概率 以上两个试验的可能结果个数无限 所以它们都不是古典概型 在现实生活中 常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况 这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率 我们必须学习新的方法来解决这类问题 为此 我们学习几何概型 1 正确理解几何概型的概念 重点 2 掌握几何概型的概率公式 难点 3 会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型 难点 探究点1几何概型的概念1 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向b区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 以转盘 1 为游戏工具时 甲获胜的概率为以转盘 2 为游戏工具时 甲获胜的概率为 事实上 甲获胜的概率与字母b所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与字母b所在区域的位置无关 因为转转盘时 指针指向圆弧上哪一点都是等可能的 不管这些区域是相邻 还是不相邻 甲获胜的概率是不变的 总结提升 2 下图是卧室和书房地板的示意图 图中所有方砖除颜色外完全相同 甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去 并随意停留在某块方砖上 问在哪个房间里 甲壳虫停留在黑砖上的概率大 在卧室里 甲壳虫停留在黑砖上的概率大 书房 卧室 事实上 甲壳虫停留在黑砖上的概率与黑砖的总面积有关 总结提升 3 用大小两个玻璃盆分别去捞鱼缸中红白相间的金鱼 哪个捞到金鱼的概率大 大的 事实上 捞到金鱼的概率与盆的体积有关 总结提升 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 注意与古典概型的不同 古典概型与几何概型的区别相同 两者基本事件发生的可能性都是相等的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 总结提升 几何概型的问题又如何来计算呢 1 与长度有关的几何概型的概率的求法取一根长度为3米的绳子 拉直后在任意位置随机剪断 那么剪得的两段的长度都不小于1米的概率有多大 m n 探究点2 几何概型的概率计算公式 解 设a 剪得两段的长度都不小于1 用线段mn表示3m的绳子 e f为mn的两个三等分点 因为ef 1m 所以p a 总结提升 2 与面积有关的几何概型的概率的求法假设一飞船即将着陆 而着陆地点分主着陆场 次着陆场两部分 主着陆场为边长为120m的正方形区域 着陆场总面积为边长为200m的正方形区域 求飞船在主着陆场内着陆的概率 解 设 飞船在主着陆场内着陆 为事件a 总结提升 3 与体积有关的几何概型的概率的求法在1l高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10ml 含有麦锈病种子的概率是多少 解 设取出10ml麦种 其中 含有麦锈病种子 这一事件为a 总结提升 在几何概型中 事件a的概率的计算公式 例某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 分析 解 设a 等待的时间不多于10分钟 事件a恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此由几何概型的求概率的公式得即 等待报时的时间不超过10分钟 的概率为 某人向一个半径为6的圆形标靶射击 假设他每次射击必定会中靶 且射中靶内各点是随机的 则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为 解 靶点与靶心的距离小于2的区域是以靶心为圆心以2为半径的圆的内部 故所求概率为 b 变式练习 2 某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达 乘客到达车站的时刻是任意的 那么一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率是 d 3 如图所示 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积为 a b c d 无法计算解 由几何概型知 故 b 4 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1 称其为 安全飞行 则蜜蜂 安全飞行 的概率为 解 蜜蜂安全飞行的空间是棱长为1的正方体 故所求概率为 b 5 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 随机地向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概率 解 记 豆子落在圆内 为事件a 答 豆子落入圆内的概率为 6 在区间 3 3 上随机取一个数x 使得 x 1 x 2 1成立的概率为 解题指南 可先定义新函数f