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勾股定理 单元提升题一选择题1如图,已知ABC中,ABC90,ABBC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,则AC的长是()ABCD72如图,图中的小方格都是正方形,ABC的三边a,b,c的大小关系为()AabcBcabCcbaDbac3已知ABC的三边长分别为3、4、5,在ABC所在平面内画一条直线,将ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,而另一个不是等腰三角形,则这样的直线最多可画()条A4B5C6D74下列各组数中,能构成直角三角形的是()A4,5,6B1,1,C6,8,11D5,12,235如图,ABAC,则数轴上点C所表示的数为()A +1B1C+1D16下列数据中不能作为直角三角形的三边长是()A1、1、B5、12、13C3、5、7D6、8、107如图,图中所有的三角形都是直角三角形,所有的四边形都是正方形,已知正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12,那么图中正方形E的面积为()A144B147C49D1488在RtABC中,C90,AC9,BC12,则点C到AB的距离是()A3B4C15D7.29如图,在ABC中,ACB90,AC8,AB10,CDAB于D,则CD的长是()A6BCD10已知ABC中,AB17,AC10,BC边上的高AD8,则边BC的长为()A21B15C6D以上答案都不对11如图,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从A点出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是:AA1A1D1D1C1C1CCBBAAA1A1D1,白甲壳虫爬行的路线是:ABBB1B1C1C1D1D1A1A1AABBB1,那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是()A0B1CD12给出下列长度的四组线段:1,;3,4,5;6,7,8;a1,a+1,4a(a1)其中能构成直角三角形的有()ABCD13一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第()组A13,12,12B12,12,8C13,10,12D5,8,414满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是()Ab2c2a2Ba:b:c3:4:5CCABDA:B:C9:12:1515编织一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的A1C1B1,A2C2B2,则每一根这样的竹条的长度最少是()ABCDa+b16由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是()Aa3,b4,c5Ba12,b13,c5Ca15,b8,c17Da13,b14,c1517已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长为()A4B16CD4或18如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,按照此规律继续下去,则S2016的值为()A()2013B()2014C()2013D()2014二填空题19如图,一圆柱形容器(厚度忽略不计),已知底面半径为6m,高为16cm,现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中,则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 cm20直角三角形两条边的长度分别为3cm,4cm,那么第三条边的长度是 cm21观察以下几组勾股数,并寻找规律:请你写出有以上规律的第组勾股数: 3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,4122如图,有一个直角三角形ABC,C90,AC10,BC5,一条线段PQAB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于 AC的射线AX上运动,当AP 时,才能使ABC与QPA全等23如图,OP1,过P作PP1OP,得OP1;再过P1作P1P2OP1且P1P21,得OP2;又过P2作P2P3OP2且P2P31,得OP32;依此法继续作下去,得OP2012 24如图所示的“勾股树”中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的边长为12cm,则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为 cm225如图,RtABC中,B90,AB8cm,BC6cm,D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动,当D点运动到AC的中垂线上时,运动时间为 秒26一棵高9米的树从离地面4米处折断,树旁有一个身高为1米的小孩,则小孩至少离开这棵树 米才是安全的三解答题27问题背景:在ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、,求此三角形的面积小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图所示这样不需求ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积(1)请你将ABC的面积直接填写在横线上: 思维拓展:(2)我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法如果ABC三边的长分别a、a、a(a0),请利用图的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的ABC,并求出它的面积28阅读材料并解答问题:我们已经知道,如图完全平方公式(a+b)2a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示(1)如图是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形,请根据图中意思写出所表示的代数恒等式: ;(2)如图已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b,斜边为c,现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD,且四边形EFGH也为正方形,请利用面积法推恒等式方法,推出直角三角形三边a、b、c的关系(3)应用(2)中结论:已知直角三角形ABC中,a2b228,ab2,其中直角边为a、b,斜边为c,求三角形斜边c29将火柴盒ABCD推倒后,如图A所示,ABCE,BCEF,BE90连接AC、CF,并擦去AD、DC、GF,则得图B,根据图B说明:ACCF;在说明过程中,你还能得到哪些些结论,把它写下来,写满3个正确结论得2分,每多写一个正确结论加1分,不必说明理由;在图B中,请你连接AF,则四边形ACEF为梯形设RtABC的三边长如图所示,请你用两种不同的方法将梯形ABEF的面积S,用a、b、c表示出来;根据的结论,你猜想RtABC的三边长a、b、c之间有何数量关系?30正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点,(1)在图中,画一个面积为10的正方形;(2)在图、图中,分别画两个不全等的直角三角形,使它们的三边长都是无理数31在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CACB,如图所示为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁?请通过计算进行说明32细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题:12+12,S1, +13,S2, +14,S3(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律(2)推算出OA10的长(3)求出S12+S22+S32+S1002的值33据我国古代周髀算经记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五后人概括为“勾三,股四,弦五”(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过计算(91)、(9+1)与(251)、(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m4)的代数式来表示他们的股和弦34在55的网格中有线段AB,在网格线的交点上找一点C,使三角形ABC满足如下条件(仅用直尺作图)(1)在网格中作一个等腰三角形ABC;(2)在网格中作一个直角三角形ABC,使两直角边的长为无理数35问题情境:在综合与实践课上,同学们以“已知三角形三边的长度,求三角形面积”为主题开展数学活动,小颖想到借助正方形网格解决问题图1,图2都是88的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点操作发现:小颖在图1中画出ABC,其顶点A,B,C都是格点,同时构造正方形BDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边DE,EF分别经过点C,A,她借助此图求出了ABC的面积(1)在图1中,小颖所画的ABC的三边长分别是AB ,BC ,AC ;ABC的面积为 解决问题:(2)已知ABC中,AB,BC2,AC5,请你根据小颖的思路,在图2的正方形网格中画出ABC,并直接写出ABC的面积36如图,已知在ABC中,CDAB于D,AC20,BC15,DB9(1)求DC和AB的长;(2)证明:ACB9037问题情境勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言定理表述请你根据图1中的直角三角形,写出勾股定理内容;尝试证明以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理38如图是由36个边长为1的小正方形拼成的,连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、EF,这些线段中长度是有理数的是哪些?长度是无理数的是哪些?说明理由39如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(1)画出拼成的这个图形的示意图(2)证明勾股定理40如图1,ABC中,CDAB于D,且BD:AD:CD2:3:4,(1)试说明ABC是等腰三角形;(2)已知SABC40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运动的时间为t(秒),若DMN的边与BC平行,求t的值;若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由参考答案一选择题1解:作ADl3于D,作CEl3于E,ABC90,ABD+CBE90又DAB+ABD90BADCBE,ABDBCEBEAD3在RtBCE中,根据勾股定理,得BC,在RtABC中,根据勾股定理,得AC2;故选:A2解:根据已知格点三角形,由勾股定理得:a222+3213,a,b21+4217,b,c222+228,c,cab故选:B3解:如图所示:BC3,AC4,AB5,32+4252,ABC是直角三角形,ACB90当AC1AC4,BCBC23,BCCC33,BCCC43,C5AC5B都能得到符合题意的等腰三角形故选:B4解:A、42+5262,不能构成直角三角形,故A错误;B、12+12,能构成直角三角形,故B正确;C、62+82112,不能构成直角三角形,故C错误;D、52+122232,不能构成直角三角形,故D错误故选:B5解:由勾股定理得,AB,AC,点A表示的数是1,点C表示的数是1故选:B6解:A、12+12()2,能构成直角三角形,故选项错误;B、52+122132,能构成直角三角形,故选项错误;C、32+5272,不能构成直角三角形,故选项正确;D、62+82102,能构成直角三角形,故选项错误故选:C7解:根据勾股定理的几何意义,可知SESF+SGSA+SB+SC+SD12+16+9+1249,故选:C8解:在RtABC中,C90,则有AC2+BC2AB2,BC12,AC9,AB15,SABCACBCABh,h7.2,故选:D9解:ACB90,AC8,AB10,BC6,ABC的面积ABCDACBC,即10CD86,解得,CD,故选:C10解:在直角三角形ABD中,根据勾股定理,得BD15;在直角三角形ACD中,根据勾股定理,得CD6当AD在三角形的内部时,BC15+621;当AD在三角形的外部时,BC1569则BC的长是21或9故选:D11解:连接CD1,因为200863344,所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止的点是C和D1,由于CDD190,所以根据勾股定理:CD1故选:C12解:12+22,故能构成直角三角形;42+3252,故能构成直角三角形;62+7282,故不能构成直角三角形;(a1)2+(a+1)2(4a)2,故不能构成直角三角形能构成直角三角形的是故选:C13解:A、132122+62,错误;B、12282+62,错误;C、132122+52,正确;D8252+22,错误故选:C14解:b2c2a2则b2a2+c2ABC是直角三角形;a:b:c3:4:5,设a3x,b4x,c5x,a2+b2c2,ABC是直角三角形;CAB,则BA+C,B90,ABC是直角三角形;A:B:C9:12:15,设A、B、C分别为9x、12x、15x,则9x+12x+15x180,解得,x5,则A、B、C分别为45,60,75,ABC不是直角三角形;故选:D15解:根据题意,得圆柱的侧面展开图,矩形的长是a,宽是b根据勾股定理,得每一根这样的竹条的长度最少是故选:A16解:A、32+4252,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;B、52+122132,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;C、152+82172,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;D、132+142152,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形故选:D17解:当3和5都是直角边时,第三边长为:;当5是斜边长时,第三边长为:4故选:D18解:在图中标上字母E,如图所示正方形ABCD的边长为2,CDE为等腰直角三角形,DE2+CE2CD2,DECE,S2+S2S1观察,发现规律:S1224,S2S12,S3S21,S4S3,Sn当n2016时,S2016故选:C二填空题(共8小题)19解:6212(cm),由勾股定理得20(cm),则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是28208(cm)故答案为820解:当这个直角三角形的两直角边分别为3cm,4cm时,则该三角形的斜边的长为:5(cm)当这个直角三角形的一条直角边为3cm,斜边为4cm时,则该三角形的另一条直角边的长为:(cm)故答案为:5或21解:321+1,421(1+1),521(1+1)+1,522+1,1222(2+1),1322(2+1)+1,723+1,2423(3+1),2523(3+1)+1,第n组勾股数为:a2n+1,b2n(n+1),c2n(n+1)+1,第组勾股数为a25+111,b25(5+1)60,c25(5+1)+161,即11,60,61故答案为:11,60,6122解:当AP5时,RtABCRtQPA,理由是:C90,AQAC,CQAP90,当AP5BC时,在RtABC和RtQPA中,RtABCRtQPA(HL),当APAC10,AQBC5时,ABCPQA,故答案为:5或1023解:由勾股定理得:OP4,OP1;得OP2;依此类推可得OPn,OP2012,故答案为:24解:如右图所示,根据勾股定理可知,S正方形2+S正方形3S正方形1,S正方形C+S正方形DS正方形2,S正方形A+S正方形BS正方形3,S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形BS正方形1122144故答案是14425解:如图所示:RtABC中,B90,AB8cm,BC6cm,AC,ED是AC的中垂线,CE5,连接CD,CDAD,在RtBCD中,CD2BD2+BC2,即AD262+(8AD)2,解得:AD,当D点运动到AC的中垂线上时,运动时间为秒,故答案为:26解:如图,BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m,则BC413m,AB945m,在RtABC中,AC4米即小孩至少离开这棵树4米才是安全的故答案为:4三解答题(共14小题)27解:(1)ABC的面积3312132391395.53.5;故答案为:3.5;(2)ABC如图所示,ABC的面积2a4a2aa2a2a4aa8a2a22a22a23a228解:(1)因为长方形面积(2a+b)(a+2b)2a2+5ab+2b2,故答案为2a+b)(a+2b)2a2+5ab+2b2;(2)因为正方形的面积c24ab+(ba)2a2+b2,所以直角三角形的三边关系为:a2+b2c2(3)a2b228,ab2,a+b14,a8,b6,c282+62100,c0,c1029解:ABCE,BCEF,BE90,ABCCEF(SAS),ACCF(全等三角形的对应边相等);由还可得出AECF,ACBF,A+F90根据梯形的面积公式,得S梯形ABEF(a+b)(a+b)a2+b2+ab,根据三角形的面积公式,得S梯形ABEFab+ab+c2ab+c2;由得S梯形ABEFab+c2a2+b2+ab,a2+b2c230解:(1)如图所示:(2)如图所示31解:公路AB需要暂时封锁理由如下:如图,过C作CDAB于D因为BC400米,AC300米,ACB90,所以根据勾股定理有AB500米因为SABCABCDBCAC所以CD240米由于240米250米,故有危险,因此AB段公路需要暂时封锁32解:(1)结合已知数据,可得:OAn2n;Sn;(2)OAn2n,OA10(3)S+S+S+S+33解:(1)(91)4,(9+1)5;(251)12,(25+1)13;7,24,25的股的算式为(491)(721)弦的算式为(49+1)(72+1);(4分)(2)当n为奇数且n3,勾、股、弦的代数式分别为:n,(n21),(n2+1)(7分)例如关系式:弦股1;关系式:勾2+股2弦2(9分)证明关系式:弦股(n2+1)(n21) (n2+1)(n21)1或证明关系式:勾2+股2n2+(n21)2n4+n2+(n2+1)2弦2猜想得证;(12分)(3)例如探索得,当m为偶数且m4时,股、弦的代数式分别为:,(14分)另加分问题,例如:连接两组勾股数中,上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股即上一组为:n,(n21),(n2+1)(n为奇数且n3),分别记为:A1、B1、C1,下一组为:n+2, (n+2)21, (n+2)2+1(n为奇数且n3),分别记为:A2、B2、C2,则:A1+B1+A2n+(n21)+(n+2)(n2+4n+3) (n+2)21B2或B1+C2B2+C1(证略)等等34解:(1)5,AB5,作AC5,或BC5,ABC如
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