人教版八年级数学下册第17章 勾股定理 单元提升题（含答案）.doc

勾股定理 单元提升题一选择题1如图，已知ABC中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）ABCD72如图，图中的小方格都是正方形，ABC的三边a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCcbaDbac3已知ABC的三边长分别为3、4、5，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条A4B5C6D74下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A4，5，6B1，1，C6，8，11D5，12，235如图，ABAC，则数轴上点C所表示的数为（）A +1B1C+1D16下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）A1、1、B5、12、13C3、5、7D6、8、107如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12，那么图中正方形E的面积为（）A144B147C49D1488在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是（）A3B4C15D7.29如图，在ABC中，ACB90，AC8，AB10，CDAB于D，则CD的长是（）A6BCD10已知ABC中，AB17，AC10，BC边上的高AD8，则边BC的长为（）A21B15C6D以上答案都不对11如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是：AA1A1D1D1C1C1CCBBAAA1A1D1，白甲壳虫爬行的路线是：ABBB1B1C1C1D1D1A1A1AABBB1，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A0B1CD12给出下列长度的四组线段：1，；3，4，5；6，7，8；a1，a+1，4a（a1）其中能构成直角三角形的有（）ABCD13一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组A13，12，12B12，12，8C13，10，12D5，8，414满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（）Ab2c2a2Ba：b：c3：4：5CCABDA：B：C9：12：1515编织一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，则每一根这样的竹条的长度最少是（）ABCDa+b16由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）Aa3，b4，c5Ba12，b13，c5Ca15，b8，c17Da13，b14，c1517已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（）A4B16CD4或18如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2016的值为（）A（）2013B（）2014C（）2013D（）2014二填空题19如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6m，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 cm20直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是 cm21观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第组勾股数： 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，4122如图，有一个直角三角形ABC，C90，AC10，BC5，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于 AC的射线AX上运动，当AP 时，才能使ABC与QPA全等23如图，OP1，过P作PP1OP，得OP1；再过P1作P1P2OP1且P1P21，得OP2；又过P2作P2P3OP2且P2P31，得OP32；依此法继续作下去，得OP2012 24如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为 cm225如图，RtABC中，B90，AB8cm，BC6cm，D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为 秒26一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 米才是安全的三解答题27问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求此三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上： 思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法如果ABC三边的长分别a、a、a（a0），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积28阅读材料并解答问题：我们已经知道，如图完全平方公式（a+b）2a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示（1）如图是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，请根据图中意思写出所表示的代数恒等式： ；（2）如图已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b，斜边为c，现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD，且四边形EFGH也为正方形，请利用面积法推恒等式方法，推出直角三角形三边a、b、c的关系（3）应用（2）中结论：已知直角三角形ABC中，a2b228，ab2，其中直角边为a、b，斜边为c，求三角形斜边c29将火柴盒ABCD推倒后，如图A所示，ABCE，BCEF，BE90连接AC、CF，并擦去AD、DC、GF，则得图B，根据图B说明：ACCF；在说明过程中，你还能得到哪些些结论，把它写下来，写满3个正确结论得2分，每多写一个正确结论加1分，不必说明理由；在图B中，请你连接AF，则四边形ACEF为梯形设RtABC的三边长如图所示，请你用两种不同的方法将梯形ABEF的面积S，用a、b、c表示出来；根据的结论，你猜想RtABC的三边长a、b、c之间有何数量关系？30正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图中，画一个面积为10的正方形；（2）在图、图中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数31在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CACB，如图所示为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明32细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：12+12，S1， +13，S2， +14，S3（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律（2）推算出OA10的长（3）求出S12+S22+S32+S1002的值33据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五后人概括为“勾三，股四，弦五”（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过计算（91）、（9+1）与（251）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m4）的代数式来表示他们的股和弦34在55的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使三角形ABC满足如下条件（仅用直尺作图）（1）在网格中作一个等腰三角形ABC；（2）在网格中作一个直角三角形ABC，使两直角边的长为无理数35问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题图1，图2都是88的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点操作发现：小颖在图1中画出ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了ABC的面积（1）在图1中，小颖所画的ABC的三边长分别是AB ，BC ，AC ；ABC的面积为 解决问题：（2）已知ABC中，AB，BC2，AC5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出ABC，并直接写出ABC的面积36如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9（1）求DC和AB的长；（2）证明：ACB9037问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言定理表述请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理38如图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、EF，这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？说明理由39如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1）画出拼成的这个图形的示意图（2）证明勾股定理40如图1，ABC中，CDAB于D，且BD：AD：CD2：3：4，（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）已知SABC40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运动的时间为t（秒），若DMN的边与BC平行，求t的值；若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由参考答案一选择题1解：作ADl3于D，作CEl3于E，ABC90，ABD+CBE90又DAB+ABD90BADCBE，ABDBCEBEAD3在RtBCE中，根据勾股定理，得BC，在RtABC中，根据勾股定理，得AC2；故选：A2解：根据已知格点三角形，由勾股定理得：a222+3213，a，b21+4217，b，c222+228，c，cab故选：B3解：如图所示：BC3，AC4，AB5，32+4252，ABC是直角三角形，ACB90当AC1AC4，BCBC23，BCCC33，BCCC43，C5AC5B都能得到符合题意的等腰三角形故选：B4解：A、42+5262，不能构成直角三角形，故A错误；B、12+12，能构成直角三角形，故B正确；C、62+82112，不能构成直角三角形，故C错误；D、52+122232，不能构成直角三角形，故D错误故选：B5解：由勾股定理得，AB，AC，点A表示的数是1，点C表示的数是1故选：B6解：A、12+12（）2，能构成直角三角形，故选项错误；B、52+122132，能构成直角三角形，故选项错误；C、32+5272，不能构成直角三角形，故选项正确；D、62+82102，能构成直角三角形，故选项错误故选：C7解：根据勾股定理的几何意义，可知SESF+SGSA+SB+SC+SD12+16+9+1249，故选：C8解：在RtABC中，C90，则有AC2+BC2AB2，BC12，AC9，AB15，SABCACBCABh，h7.2，故选：D9解：ACB90，AC8，AB10，BC6，ABC的面积ABCDACBC，即10CD86，解得，CD，故选：C10解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD15；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD6当AD在三角形的内部时，BC15+621；当AD在三角形的外部时，BC1569则BC的长是21或9故选：D11解：连接CD1，因为200863344，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止的点是C和D1，由于CDD190，所以根据勾股定理：CD1故选：C12解：12+22，故能构成直角三角形；42+3252，故能构成直角三角形；62+7282，故不能构成直角三角形；（a1）2+（a+1）2（4a）2，故不能构成直角三角形能构成直角三角形的是故选：C13解：A、132122+62，错误；B、12282+62，错误；C、132122+52，正确；D8252+22，错误故选：C14解：b2c2a2则b2a2+c2ABC是直角三角形；a：b：c3：4：5，设a3x，b4x，c5x，a2+b2c2，ABC是直角三角形；CAB，则BA+C，B90，ABC是直角三角形；A：B：C9：12：15，设A、B、C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x180，解得，x5，则A、B、C分别为45，60，75，ABC不是直角三角形；故选：D15解：根据题意，得圆柱的侧面展开图，矩形的长是a，宽是b根据勾股定理，得每一根这样的竹条的长度最少是故选：A16解：A、32+4252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形故选：D17解：当3和5都是直角边时，第三边长为：；当5是斜边长时，第三边长为：4故选：D18解：在图中标上字母E，如图所示正方形ABCD的边长为2，CDE为等腰直角三角形，DE2+CE2CD2，DECE，S2+S2S1观察，发现规律：S1224，S2S12，S3S21，S4S3，Sn当n2016时，S2016故选：C二填空题（共8小题）19解：6212（cm），由勾股定理得20（cm），则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是28208（cm）故答案为820解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，则该三角形的斜边的长为：5（cm）当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：（cm）故答案为：5或21解：321+1，421（1+1），521（1+1）+1，522+1，1222（2+1），1322（2+1）+1，723+1，2423（3+1），2523（3+1）+1，第n组勾股数为：a2n+1，b2n（n+1），c2n（n+1）+1，第组勾股数为a25+111，b25（5+1）60，c25（5+1）+161，即11，60，61故答案为：11，60，6122解：当AP5时，RtABCRtQPA，理由是：C90，AQAC，CQAP90，当AP5BC时，在RtABC和RtQPA中，RtABCRtQPA（HL），当APAC10，AQBC5时，ABCPQA，故答案为：5或1023解：由勾股定理得：OP4，OP1；得OP2；依此类推可得OPn，OP2012，故答案为：24解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3S正方形1，S正方形C+S正方形DS正方形2，S正方形A+S正方形BS正方形3，S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形BS正方形1122144故答案是14425解：如图所示：RtABC中，B90，AB8cm，BC6cm，AC，ED是AC的中垂线，CE5，连接CD，CDAD，在RtBCD中，CD2BD2+BC2，即AD262+（8AD）2，解得：AD，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒，故答案为：26解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC413m，AB945m，在RtABC中，AC4米即小孩至少离开这棵树4米才是安全的故答案为：4三解答题（共14小题）27解：（1）ABC的面积3312132391395.53.5；故答案为：3.5；（2）ABC如图所示，ABC的面积2a4a2aa2a2a4aa8a2a22a22a23a228解：（1）因为长方形面积（2a+b）（a+2b）2a2+5ab+2b2，故答案为2a+b）（a+2b）2a2+5ab+2b2；（2）因为正方形的面积c24ab+（ba）2a2+b2，所以直角三角形的三边关系为：a2+b2c2（3）a2b228，ab2，a+b14，a8，b6，c282+62100，c0，c1029解：ABCE，BCEF，BE90，ABCCEF（SAS），ACCF（全等三角形的对应边相等）；由还可得出AECF，ACBF，A+F90根据梯形的面积公式，得S梯形ABEF（a+b）（a+b）a2+b2+ab，根据三角形的面积公式，得S梯形ABEFab+ab+c2ab+c2；由得S梯形ABEFab+c2a2+b2+ab，a2+b2c230解：（1）如图所示：（2）如图所示31解：公路AB需要暂时封锁理由如下：如图，过C作CDAB于D因为BC400米，AC300米，ACB90，所以根据勾股定理有AB500米因为SABCABCDBCAC所以CD240米由于240米250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁32解：（1）结合已知数据，可得：OAn2n；Sn；（2）OAn2n，OA10（3）S+S+S+S+33解：（1）（91）4，（9+1）5；（251）12，（25+1）13；7，24，25的股的算式为（491）（721）弦的算式为（49+1）（72+1）；（4分）（2）当n为奇数且n3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n21），（n2+1）（7分）例如关系式：弦股1；关系式：勾2+股2弦2（9分）证明关系式：弦股（n2+1）（n21） （n2+1）（n21）1或证明关系式：勾2+股2n2+（n21）2n4+n2+（n2+1）2弦2猜想得证；（12分）（3）例如探索得，当m为偶数且m4时，股、弦的代数式分别为：，（14分）另加分问题，例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股即上一组为：n，（n21），（n2+1）（n为奇数且n3），分别记为：A1、B1、C1，下一组为：n+2， （n+2）21， （n+2）2+1（n为奇数且n3），分别记为：A2、B2、C2，则：A1+B1+A2n+（n21）+（n+2）（n2+4n+3） （n+2）21B2或B1+C2B2+C1（证略）等等34解：（1）5，AB5，作AC5，或BC5，ABC如