初中二次函数知识点及经典题型.doc

二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般 一般式：（2）两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3） 顶点式：知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） Y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为 A 0 x B 2，二次函数图象的平移 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）(必须理解记忆)说明 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式1.二次函数，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2. 函数y=x2的图象叫 线，它开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 . 3. 把二次函数配方成的形式为 ，它的图象是 ，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。4. 将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（ ）.A. B. C. D. 5.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 6.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 7已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限8.二次函数，当 时， 。此抛物线与x轴有 个交点。9 抛物线 的顶点坐标是 （ ）A. （0，1） B.（0，-1） C.（1,0） D.（-1,0）10.二次函数与x轴的交点个数是（ ）A0 B1 C2 D3 11.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）12.二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b则M，N，P中，值小于0的数有（）A3个B2个C1个D0个（2013漳州）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）Aa0Bb2-4ac0C当-1x3时，y0D对称轴等于1（2013张家界）若正比例函数y=mx（m0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）ABCD（2013岳阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对于下列结论：a0；b0；c0；b+2a=0；a+b+c0其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个（2013乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且m-k+1=2k+n=1，则代数式2k2-8k+6的最小值为（）A-2B0C2D2.5（2013黔西南州）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac0；（2）c1；（3）2a-b0；（4）a+b+c0，其中错误的有（）A1个B2个C3个D4个（2013茂名）下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是（）Ay=3x2+2By=3（x-1）2Cy=3（x-1）2+2Dy=2x2（2013聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= 2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A2B4C8D16（2013呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，m0）的图象可能是（）ABCD（2013达州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数yb/x与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）ABCD（2013包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；4a+2b+c0；a-b+c0；（a+c）2b2其中正确的结论是（）ABCDA增大B减小C先增大再减小D先减小再增大（2013松北区三模）已知抛物线的解析式为为y=（x-2）2+1，则当x2时，y随x增大的变化规律是（）（2013浦东新区一模）如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0）和（3，0），那么对称轴是直线（）Ax=0Bx=1Cx=2Dx=3（2013德州）下列函数中，当x0时，y随x的增大而增大的是（）Ay=-x+1By=x2-1Cy=1/xDy=-x2+1（2012兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak-3Bk-3Ck3Dk3分析：先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围解答：解：当ax2+bx+c0，y=ax2+bx+c（a0）的图象在x轴上方，此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a0）在x轴上方部分的图象，当ax2+bx+c0时，y=ax2+bx+c（a0）的图象在x轴下方，此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，y=ax2+bx+c（a0）的顶点纵坐标是-3，函数y=ax2+bx+c（a0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，y=|ax2+bx+c|的图象如右图，观察图象可得当k0时，函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，若|ax2+bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y=3的上边，故k3，故选D（2013镇江）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）经过原点O和点A（2，0）（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1x21，比较y1，y2的大小；（3）点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式分析：（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是x=1，然后根据函数图象的增减性进行解题；（3）根据已知条件可以求得点C的坐标是（3，2），所以根据点A、C的坐标来求直线AC的函数关系式解答：解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴与x轴的交点坐标（1，0）；（2）抛物线的对称轴是直线x=1根据图示知，当x1时，y随x的增大而减小，所以，当x1x21时，y1y2；（3）对称轴是x=1，点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，点C的坐标是（3，2）设直线AC的关系式为y=kx+b（k0）02k+b23k+b解得k2b4直线AC的函数关系式是：y=2x-4（2013枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POPC为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标 （2010通化）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？分析：（1）因为y=（x-50）w，w=-2x+240故y与x的关系式为y=-2x2+340x-12000（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可（3）令y=2250时，求出x的解即可解答：解：（1）y=（x-50）w=（x-50）（-2x+240）=-2x2+340x-12000，y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000 （3分）（2）y=-2x2+340x-12000=-2（x-85）2+2450当x=85时，y的值最大（6分）（3）当y=2250时，可得方程-2（x-85）2+2450=2250解这个方程，得x1=75，x2=95根据题意，x2=95不合题意应舍去当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元 （10分）（2010青海）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？分析：本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值解答：解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500-20x）=6 000（4分）解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5（6分）（2）设涨价x元时总利润为y，则y=（10+x）（500-20x）=-20x2+300x+5 000=-20（x2-15x）+5000=-20（x2-15x+225/4-225/4）+5000=-20（x-7.5）2+6125当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125（8分）答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多（10分）（2010锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2-2x-8=0的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式（2）本题要通过求CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标CPE的面积无法直接表示出，可用CPB和BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形BEP和BAC求出BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值（3）本题要分三种情况进行讨论：QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长由此可得出Q点的坐标QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标（2009天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tanACO=1/3（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tanACO=13，则A坐标为（-1，0）将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标四边形AECF为平行四边形，则CEAF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即可求解（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2-2x-3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值（2009青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，-3），直线y=-3/4 x与BC边相交于D点（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y=ax2-9/4x经过点A，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与OCD相似，求符合条件的点P的坐标分析：前两问由抛物线性质，用待定系数求出点D的坐标和抛物线的表达式；最后一问找三角形相似，作辅助线过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，再根据相似三角形比例关系求出P点坐标（2009临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标分析：（1）已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再把C（0，-2）代入即可；（2）OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将DCA分割成两个三角形CDE，ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即DCA的面积，运用代数式的变形求最大值（2009江苏）如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上（1）求点A与点C的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax2+bx的关系式分析：（1）二次函数y=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴 y=x2-2x-1=（x-1）2-2，所以顶点A的坐标为（1，-2）对称轴为x=1，所以二次函数y=ax2+bx关于x=1对称，且函数与x轴的交点分别是原点和C点，所以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为（2，0）；（2）因为四边形AOBC是菱形，根据菱形性质，可以得出点O和点C关于直线AB对称，点B和点A关于直线OC对称，因此，可求出点B的坐标，点B的坐标为（1，2），二次函数y=ax2+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），将B，C代入解析式，可得，a+b24a+2b0解得a2b4所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x（2009武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？