概率论-南京大学教程.ppt

第一部分概率论基础 Ch1 概率论的基本概念 1 1随机事件 人们在实践活动中所遇到的现象一般来说可分为两类 一类是必然现象 或称确定现象 一类是随机现象 或称不确定现象 随机现象 随机现象是指在相同条件下重复试验 所得的结果不一定相同的现象 即试验结果是不确定的现象 对这种现象来说 在每次试验之前哪一些结果发生 是无法预言的 例如 出生婴儿 可能是男孩 也可能是女孩 向一目标进行射击 可能命中目标 也可能不命中目标 从一批产品中 随机抽检一件产品 结果可能是合格品 也可能是次品 是否有规律可循呢 一 随机试验与事件 随机试验EE 描述 有如下试验 E1 抛一枚硬币 观察正面H 反面T出现的情况 H T E2 抛一枚骰子 观察出现的点数 1 2 6 E3 将一枚硬币抛掷三次 观察正 反面出现的情况 H H H H H T H T H H T T T H H T H T T T H T T H E5 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 0 1 2 3 E4 观察灯泡的寿命 0 E6 记录某地一昼夜的最低和最高温度 t1 t2 TL t1 t2 TH 以上试验有以下特点 E的三个特征 同条件下 可重复性具体会出现什么结果不可知 随机性实验前可知所有可能结果 可观测性 有如下试验 E1 抛一枚硬币 观察正面H 反面T出现的情况 H T E2 抛一枚骰子 观察出现的点数 1 2 6 E3 将一枚硬币抛掷三次 观察正 反面出现的情况 H H H H H T H T H H T T T H H T H T T T H T T H E5 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 0 1 2 3 E4 观察灯泡的寿命 0 E6 记录某地一昼夜的最低和最高温度 t1 t2 TL t1 t2 TH 样本空间 所有可能的结果的集合 样本空间记作S或者 每个可能的结果 样本点 称随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件 简称事件 在每次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 称这一事件发生多个样本点组成称为复合事件 由一个样本点组成的单点集 称为基本事件 样本空间S包含所有的样本点 它是S自身的子集 在每次试验中它总是发生的 称为必然事件 空集 不包含任何样本点 它也作为样本空间的子集 它在每次试验中都不发生 称为不可能事件 二 事件 包含相等和 并 积 交 差互不相容 互斥对立完备事件组 三 事件间的关系和运算 概率论与集合论中的符号表示 事件间的运算律 交换律结合律分配律德摩根律 例 观察三次射击命中情况 用A1表示事件 第一次射击命中 A2表示事件 第二次射击命中 A3表示事件 第三次射击命中 试表示事件 1 全部落靶2 命中一次3 命中两次4 全部命中 例 5 至少命中一次6 至少一次没命中7 至少命中两次8 至多命中两次9 至少两次没命中10 事件的意义 四 频率 频率 设事件A在n次试验中出现nA次 则比值叫做事件A在这n次试验中出现的频率 频率的性质 设E S A B n1 非负性 2 规范性 3 可加性 若A B 推广 有限可加可列可加 频率的稳定性 eg掷硬币实验频率随着n的增加而逐渐趋于一个常数 存在 1 2古典概型 定义1 样本空间有限2 每个结果是等可能发生的设事件A 定义A发生的概率eg 掷硬币1 2 掷骰子偶数3 6 做题步骤step1 E是什么 s 有限否2 基本事件是否等可能3 P A k n 计数法则 乘法定理 设完成一件任务有k个步骤 第i个步骤有ni种方法 且必须通过k个步骤才算完成 则完成此任务共有方法数 加法定理 设完成一件任务有k类办法 在第i类办法中有ni种方法 则完成此任务共有方法数 计数 抽样 例 抛一个均匀的硬币两次 观察两次出现的情况 计算以下事件的概率 A 出现两次正面朝上B 出现两次相同的面朝上 例 抽球问题 盒中有10个球 有4个白球 6个红球 按以下方式连取3次 a 放回抽样a 不放回抽样求以下事件概率 A 取到3只白球 B 取到2只红球1只白球 例 设N件产品中共有M件次品 从中任取n件 恰有m m M 件次品的概率 对于非还原抽样 除非题目给定 尽可能按不考虑顺序方式考虑 例4 有a个黑球和b个白球 求第k次恰取得黑球的概率 方法一 只取k次方法二 a b 个全取方法三 注意 这个结果与k值无关 这表明无论哪一次取得黑球的概率都是一样的 或说取得黑球的概率与先后次序无关 这从理论上说明了平常人们采用的 抓阄儿 的办法是 公平 的 例设局域电话号码可选五个数码组成 每个数码可以是0 1 2 9中的任一个 求这些事件的概率 设A1 5个数码全相同 A2 5个数码全不相同 A3 5个数码中有两个3 解将每一可能的电话号码作为基本事件 它们可认为是等可能的 由于数码是可重复的 故基本事件总数为1051 显然 A1中包含的基本事件数为10 故 2 A2中包含的基本事件数为 故3 A3中包含的基本事件数是 这是因为数码3在电话号码中占两个位置的方法有种 而其余3个数码中的每一个都可以从剩下的9个数码0 1 2 4 9中重复选取 有9种方法 故 续 分配 例将r个人随机地分配到n个房间里 求下列事件的概率 解由于每一个人都可以分配到n个房间中的任一房间 所以将r个人分配到个房间去共有种分法 每种分法当作一个基本事件 那么基本事件总数为1 将r个人分配到指定的r个房间 每个房间一人 共有种分法 故特别地 当n 365 r 100时 P A1 0 0000003n r 6时 P A1 0 01543 设A1 某指定的r个房间中各有一人 A2 恰有r个房间中各有一人 A3 某指定房间恰有k人 2 由于r个房间可以任意的 即可以从n个房间中任意选出r个来 这种选法共有种 对于每种选定的r个房间 每一房间分配一个人的方法有种 故中包含的基本事件数为 因此3 由于某指定房间中分配k个人的分法有种 而其余r k个人任意分配到n 1个房间的分法有种 所以其中包含的基本事件数为 因此 有4本书 随意放入书架 排成顺序1 4或4 1的概率 分析 每种排列都是等可能发生的 排列的不同方法数 样本空间点数 全部样本点数n 4 A 恰好排成顺序 A包含样本点数k P A k n 2 4 1 12 例 讨论 1 三四两册相邻 A1A1包含的样本点数2 3 所以P A1 2 3 4 1 2 2 第一册在旁边 A2A2包含的样本点数2 3 所以P A2 2 3 4 1 2 3 第一 四册均在旁边 A3A3包含的样本点数2 2 所以P A3 2 2 4 1 6 4 第二或三册在旁边 A4 例5 在1 2000中任取一整数 问取到整数不能被6或8除尽的概率 先求1 2000中 能被6除尽的整数个数 2000 6 333能被8除尽的整数个数 2000 8 250能被6和8除尽的整数个数 2000 24 83 Sol 设A事件为 取到整数能被6除尽 B事件为 取到整数能被8除尽 C事件为 取到整数不能被6和8整尽 则C 例7 接待站在某一周里共接待12次来访 1 若12次均在周二或周四 问接待时间是否有规定Sol 假设等可能接待 设事件A为12次来