高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 合情推理与演绎推理课件 理 苏教版.ppt

13 1合情推理与演绎推理 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 合情推理 1 归纳推理 定义 从个别事实中推演出一般性的结论 称为归纳推理 简称归纳法 特点 归纳推理是由到整体 由到一般的推理 2 类比推理 定义 根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 推演出它们在其他方面也相似或相同 像这样的推理通常称为类比推理 简称类比法 特点 类比推理是由到的推理 知识梳理 部分 个别 特殊 特殊 3 合情推理合情推理是根据已有的事实 正确的结论 实验和实践的结果 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程 归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理 2 演绎推理 1 演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理 简言之 演绎推理是由到的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 一般性的原理 小前提 特殊对象 结论 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系 一般 特殊 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 归纳推理得到的结论不一定正确 类比推理得到的结论一定正确 2 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 这是一种合情推理 3 在类比时 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 4 所有3的倍数都是9的倍数 某数m是3的倍数 则m一定是9的倍数 这是三段论推理 但其结论是错误的 5 一个数列的前三项是1 2 3 那么这个数列的通项公式是an n n n 6 在演绎推理中 只要符合演绎推理的形式 结论就一定正确 考点自测 1 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 答案 解析 123 从给出的式子特点观察可推知 等式右端的值 从第三项开始 后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和 依据此规律 a10 b10 123 2 下面几种推理过程是演绎推理的是 在数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 由此归纳数列 an 的通项公式 由平面三角形的性质 推测空间四面体性质 两直线平行 同旁内角互补 如果 a和 b是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角 则 a b 180 某校高二共10个班 1班51人 2班53人 3班52人 由此推测各班都超过50人 答案 解析 是归纳推理 是类比推理 符合三段论模式 是演绎推理 3 2017 南京质检 类比平面内 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 的性质 可得出空间内的下列结论 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 则正确的结论是 答案 解析 显然 正确 对于 在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行 也可以异面或相交 对于 在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行 也可以相交 4 教材改编 在等差数列 an 中 若a10 0 则有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n n 成立 类比上述性质 在等比数列 bn 中 若b9 1 则存在的等式为 答案 解析 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 利用类比推理 借助等比数列的性质 b1 n b17 n 可知存在的等式为b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 5 观察下列式子 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 由以上可推测出一个一般性结论 对于n n 1 2 n 2 1 答案 解析 n2 1 12 1 2 1 22 1 2 3 2 1 32 1 2 3 4 3 2 1 42 归纳可得1 2 n 2 1 n2 题型分类深度剖析 题型一归纳推理 命题点1与数字有关的等式的推理例1 2016 山东 观察下列等式 答案 解析 第2个数对应行数n 第3个数为n 1 命题点2与不等式有关的推理 nn 第一个式子是n 1的情况 此时a 11 1 第二个式子是n 2的情况 此时a 22 4 第三个式子是n 3的情况 此时a 33 27 归纳可知a nn 答案 解析 命题点3与数列有关的推理 例3 2016 南京模拟 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数1 3 6 10 第n个三角形数为 记第n个k边形数为n n k k 3 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式 可以推测n n k 的表达式 由此计算n 10 24 1000 答案 解析 1100 100 1000 命题点4与图形变化有关的推理例4某种树的分枝生长规律如图所示 第1年到第5年的分枝数分别为1 1 2 3 5 则预计第10年树的分枝数为 55 由2 1 1 3 1 2 5 2 3知 从第三项起 每一项都等于前两项的和 则第6年为8 第7年为13 第8年为21 第9年为34 第10年为55 答案 解析 归纳推理问题的常见类型及解题策略 1 与数字有关的等式的推理 观察数字特点 找出等式左右两侧的规律及符号可解 2 与不等式有关的推理 观察每个不等式的特点 注意是纵向看 找到规律后可解 3 与数列有关的推理 通常是先求出几个特殊现象 采用不完全归纳法 找出数列的项与项数的关系 列出即可 4 与图形变化有关的推理 合理利用特殊图形归纳推理得出结论 并用赋值检验法验证其真伪性 思维升华 答案 解析 题型二类比推理 线段长度类比到空间为体积 再结合类比到平面的结论 答案 解析 答案 解析 1 进行类比推理 应从具体问题出发 通过观察 分析 联想进行类比 提出猜想 其中找到合适的类比对象是解题的关键 2 类比推理常见的情形有平面与空间类比 低维的与高维的类比 等差数列与等比数列类比 数的运算与向量的运算类比 圆锥曲线间的类比等 思维升华 跟踪训练2在平面上 设ha hb hc是三角形abc三条边上的高 p为三角形内任一点 p到相应三边的距离分别为pa pb pc 我们可以得到结论 1 把它类比到空间 则三棱锥中的类似结论为 设ha hb hc hd分别是三棱锥a bcd四个面上的高 p为三棱锥a bcd内任一点 p到相应四个面的距离分别为pa pb pc pd 答案 解析 题型三演绎推理 例6设各项均为正数的数列 an 的前n项和为sn 满足4sn a 4n 1 n n 且a2 a5 a14构成等比数列 1 证明 a2 证明 2 求数列 an 的通项公式 解答 当n 2时 an 是公差为2的等差数列 又a2 a5 a14成等比数列 由 1 知a1 1 又a2 a1 3 1 2 an 2n 1 数列 an 是首项a1 1 公差d 2的等差数列 证明 演绎推理是由一般到特殊的推理 常用的一般模式为三段论 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系 解题时要找准正确的大前提 一般地 若大前提不明确时 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 思维升华 跟踪训练3 1 某国家流传这样的一个政治笑话 鹅吃白菜 参议员先生也吃白菜 所以参议员先生是鹅 结论显然是错误的 是因为 大前提错误 小前提错误 推理形式错误 因为大前提 鹅吃白菜 不是全称命题 大前提本身正确 小前提 参议员先生也吃白菜 本身也正确 但不是大前提下的特殊情况 鹅与人不能类比 所以不符合三段论推理形式 所以推理形式错误 答案 解析 2 2016 南京模拟 下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 大前提 无限不循环小数是无理数 小前提 是无理数 结论 是无限不循环小数 大前提 无限不循环小数是无理数 小前提 是无限不循环小数 结论 是无理数 大前提 是无限不循环小数 小前提 无限不循环小数是无理数 结论 是无理数 大前提 是无限不循环小数 小前提 是无理数 结论 无限不循环小数是无理数 答案 解析 中小前提不是大前提的特殊情况 不符合三段论的推理形式 故 错误 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理 所以 都不正确 只有 正确 考点分析合情推理在近年来的高考中 考查频率逐渐增大 题型多为选择 填空题 难度为中档 解决此类问题的注意事项与常用方法 1 解决归纳推理问题 常因条件不足 了解不全面而致误 应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳 2 解决类比问题 应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由 再去类比另一类问题 高考中的合情推理问题 高频小考点10 典例 1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数1 3 6 10 记为数列 an 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn 可以推测 b2014是数列 an 的第 项 5035 b2k 1 用k表示 答案 解析 2 设s t是r的两个非空子集 如果存在一个从s到t的函数y f x 满足 i t f x x s ii 对任意x1 x2 s 当x1 x2时 恒有f x1 f x2 那么称这两个集合 保序同构 以下集合对不是 保序同构 的是 a n b n a x 1 x 3 b x x 8或0 x 10 a x 0 x 1 b r a z b q 答案 解析 对于 取f x x 1 x n 所以a n b n是 保序同构 的 故排除 所以a x 1 x 3 b x x 8或0 x 10 是 保序同构 的 故排除 所以a x 0 x 1 b r是 保序同构 的 故排除 不符合 故填 课时作业 1 2016 南通检测 演绎推理 因为对数函数y logax a 0且a 1 是增函数 而函数y x是对数函数 所以y x是增函数 所得结论错误的原因是 大前提错误 小前提错误 推理形式错误 大前提和小前提都错误 答案 解析 因为当a 1时 y logax在定义域内单调递增 当0 a 1时 y logax在定义域内单调递减 所以大前提错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 下列推理是归纳推理的是 a b为定点 动点p满足pa pb 2a ab 则p点的轨迹为椭圆 由a1 1 an 3n 1 求出s1 s2 s3 猜想出数列的前n项和sn的表达式 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 从s1 s2 s3猜想出数列的前n项和sn 是从特殊到一般的推理 所以 是归纳推理 其余都不是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2017 苏州质检 如图 有一个六边形的点阵 它的中心是1个点 算第1层 第2层每边有2个点 第3层每边有3个点 依此类推 如果一个六边形点阵共有169个点 那么它的层数为 答案 解析 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意知 第1层的点数为1 第2层的点数为6 第3层的点数为2 6 第4层的点数为3 6 第5层的点数为4 6 第n n 2 n n 层的点数为6 n 1 设一个点阵有n n 2 n n 层 则共有的点数为1 6 6 2 6 n 1 1 3n2 3n 1 由题意得3n2 3n 1 169 即 n 7 n 8 0 所以n 8 舍去负值 故共有8层 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 观察一列算式 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则式子3 5是第 项 答案 解析 24 两数和为2的有1个 和为3的有2个 和为4的有3个 和为5的有4个 和为6的有5个 和为7的有6个 前面共有21个 3 5是和为8的第3项 所以为第24项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 徐州模拟 推理 矩形是平行四边形 三角形不是平行四边形 三角形不是矩形 中的小前提是 答案 解析 由演绎推理三段论可知 是大前提 是小前提 是结论 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 若数列 an 是等差数列 则数列 bn bn 也为等差数列 类比这一性质可知 若正项数列 cn 是等比数列 且 dn 也是等比数列 则dn的表达式应为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若 an 是等差数列 若 cn 是等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表 设aij i j n 是位于这个三角形数表中从上往下第i行 从左往右数第j个数 如a42 8 若aij 2009 则i与j的和为 107 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可知奇数行为奇数列 偶数行为偶数列 2009 2 1005 1 所以2009为第1005个奇数 又前31个奇数行内数的个数为961 前32个奇数行内数的个数为1024 故2009在第32个奇数行内 则i 63 因为第63行第1个数为2 962 1 1923 2009 1923 2 j 1 所以j 44 所以i j 107 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由等比数列的性质可知b1b30 b2b29 b11b20 数列 bn 中 类似的结论为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若p0 x0 y0 在椭圆 1 a b 0 外 过p0作椭圆的两条切线的切点分别为p1 p2 则切点弦p1p2所在的直线方程是 1 那么对于双曲线则有如下命题 若p0 x0 y0 在双曲线 1 a 0 b 0 外 过p0作双曲线的两条切线 切点分别为p1 p2 则切点弦p1p2所在直线 答案 的方程是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设p1 x1 y1 p2 x2 y2 则p1 p2的切线方程分别是 因为p0 x0 y0 在这两条切线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 如图 我们知道 圆环也可以看作线段ab绕圆心o旋转一周所形成的平面图形 又圆环的面积s r2 r2 r r 2 所以 圆环的面积等于以线段ab r r为宽 以ab中点绕圆心o旋转一周所形成的圆的周长2 为长的矩形面积 请你将上述想法拓展到空间 并解决下列问题 若将平面区域m x y x d 2 y2 r2 其中0 r d 绕y轴旋转一周 则所形成的旋转体的体积是 答案 解析 2 2r2d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平面区域m的面积为 r2 由类比知识可知 平面区域m绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎 旋转体的体积等于以圆 面积为 r2 为底 以o为圆心 d为半径的圆的周长2 d为高的圆柱的体积 所以旋转体的体积v r2 2 d 2 2r2d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 设f x 先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4