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【优化方案】(新课标)2016高考数学一轮复习 第2讲 知能训练轻松闯关(选修4-1)1如图,四边形abcd是边长为a的正方形,以d为圆心,da为半径的圆弧与以bc为直径的半圆o交于点f,连接cf并延长交ab于点e(1)求证:e是ab的中点;(2)求线段bf的长解:(1)证明:由题意知,ab与圆d和圆o相切,切点分别为a和b,由切割线定理有:ea2efeceb2,eaeb,即e为ab的中点(2)由bc为圆o的直径,易得bfce,sbecbfcecbbe,bfa2(2015郑州市质量预测) 如图,ab为圆o的直径,cd为垂直于ab的一条弦,垂足为e,弦bm与cd交于点f(1)证明:a、e、f、m四点共圆;(2)若mf4bf4,求线段bc的长解:(1)证明:如图,连接am,由ab为直径可知amb90,又cdab,所以aefamb90,因此a、e、f、m四点共圆(2)连接ac,由a、e、f、m四点共圆,可知bfbmbeba,在rtabc中,bc2beba,又由mf4bf4,知bf1,bm5,所以bc25,bc3(2015山西省四校联考) 如图所示,pa为圆o的切线,a为切点,po交圆o于b,c两点,pa10,pb5,bac的角平分线与bc和圆o分别交于点d和e(1)求证:;(2)求adae的值解:(1)证明:pa为圆o的切线,pabacp,又p为公共角,pabpca,(2)pa为圆o的切线,pc是过点o的割线,pa2pbpc,pc20,bc15,又cab90,ac2ab2bc2225,又由(1)知,ac6,ab3,连接ec(图略),则caeeab,aceadb,adaeabac36904(2015河北石家庄质量检测)如图,已知ab为圆o的一条直径,以端点b为圆心的圆交直线ab于c,d两点,交圆o于e,f两点,过点d作垂直于ad的直线,交直线af于h点(1)求证:b,d,h,f四点共圆;(2)若ac2,af2,求bdf外接圆的半径解:(1)证明:因为ab为圆o的一条直径,所以bffh又dhbd,故b,d,f,h四点在以bh为直径的圆上所以,b,d,f,h四点共圆(2)由题意得ah与圆b相切于点f,由切割线定理得af2acad,即(2)22ad,ad4,所以bd(adac)1,bfbd1又afbadh,则,得dh连接bh(图略),由(1)可知bh为bdf外接圆的直径bh,故bdf的外接圆半径为5(2014高考辽宁卷) 如图,ep交圆于e、c两点,pd切圆于d,g为ce上一点且pgpd,连接dg并延长交圆于点a,作弦ab垂直ep,垂足为f(1)求证:ab为圆的直径;(2)若acbd,求证:abed证明:(1)因为pdpg,所以pdgpgd由于pd为切线,故pdadba又由于pgdega,故dbaega,所以dbabadegabad,从而bdapfa由于afep,所以pfa90,于是bda90,故ab是直径(2)连接bc,dc由于ab是直径,故bdaacb90在rtbda与rtacb中,abba,acbd,从而rtbdartacb于是dabcba又因为dcbdab,所以dcbcba,故dcab由于abep,所以dcep,dce为直角于是ed为直径由(1)得edab6(2015山西省忻州市联考)如图,直线ab经过o上的点c,并且oaob,cacb,o交直线ob于e、d,连接ec、cd(1)求证:直线ab是o的切线;(2)若tan ced,o的半径为3,求oa的长解:(1)证明:如图,连接oc,oaob,cacb,ocaboc是o的半径,ab是o的切线(2)ed是直径,ecd90,eedc90,又bcdocd90,ocdedc,bcde,又cbdebc,bcdbec,bc2bdbetan ced,bcdbec,设bdx,则bc2x,bc2bdbe,(2x)2x(x6),bd2,oaobbdod235)1(2015兰州市、张掖市联考)如图,abc是直角三角形,abc90,以ab为直径的圆o交ac于点e,点d是bc边的中点,连接od交圆o于点m(1)求证:o、b、d、e四点共圆;(2)求证:2de2dmacdmab证明:(1)连接be、oe(图略),则beec又d是bc的中点,所以debd,又oeob,odod,所以odeodb所以oedobd90,所以o、b、d、e四点共圆(2)延长do交圆o于点h(图略)因为de2dmdhdm(dooh)dmdodmoh,所以de2dm(ac)dm(ab),所以2de2dmacdmab2(2015云南省第一次统一检测)已知:如图,p是o的直径ab延长线上的一点,割线pcd交o于c、d两点,弦df与直径ab垂直,h为垂足,cf与ab交于点e(1)求证:papbpope;(2)若decf,p15,o的半径等于2,求弦cf的长解:(1)证明:连接odab是o的直径,弦df与直径ab垂直,h为垂足,c在o上,doadcf,podpce又dpoepc,pdopec,即pdpcpope由割线定理得papbpdpc,papbpope(2)由已知,直线ab是弦df的垂直平分线,edef,dehfehdecf,dehfeh45由pecfeh45,p15,得dcf60由doadcf,得doa60在rtdho中,od2,dhodsindoh,deef,ce,cfceef3(2015沈阳市教学质量监测)如图,已知圆o1与圆o2外切于点p,直线ab是两圆的外公切线,分别与两圆相切于a、b两点,ac是圆o1的直径,过c作圆o2的切线,切点为d(1)求证:c、p、b三点共线;(2)求证:cdca证明:(1)连接pc,pa,pb,bo2,ac是圆o1的直径,apc90连接o1o2必过点p,ab是两圆的外公切线,a,b为切点,bapacp,ao1p2由于o1aab,o2bab,bo2p2,o2bp又abpo2bp90,abpbap90,c、p、b三点共线(2)cd切圆o2于点d,cd2cpcb在abc中,cab90,又apbc,ca2cpcb,故cdca4如图,点a是以线段bc为直径的o上一点,adbc于点d,过点b作o的切线,与ca的延长线相交于点e,点g是ad的中点,连接cg并延长与be相交于点f,连接af并延长与cb的延长线相交于点p(1)求证:bfef;(2)求证:pa是o的切线证明:(1)be是o的切线,ebbc又adbc,adbe可以得知bfcdgc,
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