高三数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第二节 排列与组合课件 理.ppt

理数课标版 第二节排列与组合 1 排列与排列数 1 排列 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的 所有不同排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 记作 教材研读 2 组合与组合数 1 组合 从n个不同元素中取出m m n 个元素合成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合 2 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的 组合数 记作 3 排列数 组合数的公式及性质 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 2 从一些不同元素中取出某些元素合成组合时 讲究元素的先后顺序 3 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 1 有6名男医生 5名女医生 从中选出2名男医生 1名女医生组成一个医疗小组 则不同的选法共有 a 60种b 70种c 75种d 150种答案c从6名男医生中选出2名有种选法 从5名女医生中选出1名有种选法 由分步乘法计数原理得不同的选法共有 75种 故选c 2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里 且放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号 则不同的放球方法有 a 10种b 20种c 36种d 52种答案a分情况讨论 1号盒子里放1个球 其余3个放入2号盒子 有 4种方法 1号盒子里放2个球 其余2个放入2号盒子 有 6种方法 则不同的放球方法有10种 故选a 3 2016四川 4 5分 用数字1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 a 24b 48c 60d 72答案d奇数的个数为 72 4 有5名男生和3名女生 从中选出5人分别担任语文 数学 英语 物理 化学学科的课代表 若某女生必须担任语文课代表 则不同的选法共有种 用数字作答 答案840解析由题意知 从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表 共有 840种 5 已知 则m 答案2 解析由已知得m的取值范围为 m 0 m 5 m z 整理可得m2 23m 42 0 解得m 21 舍去 或m 2 考点一排列问题典例13名女生和5名男生排成一排 1 如果女生全排在一起 有多少种不同的排法 2 如果女生都不相邻 有多少种不同的排法 3 如果女生不站两端 有多少种不同的排法 4 其中甲必须排在乙前面 可不邻 有多少种不同的排法 解析 1 捆绑法 由于女生排在一起 因此可把她们看成一个整体 这样同5名男生合在一起有6个元素 排成一排有种排法 而每一种排法中 3名女生间又有种排法 因此共有 4320种不同的排法 考点突破 2 插空法 先排5名男生 有种排法 这5名男生之间和两端有6个位置 从中选取3个位置排女生 有种排法 因此共有 14400种不同的排法 3 解法一 位置分析法 两端不排女生 只能从5名男生中选2人排列 有种排法 剩余的位置没有特殊要求 有种排法 因此共有 14400种不同的排法 解法二 元素分析法 女生不站两端 从中间6个位置选3个安排女生 有种排法 其余人的位置无限制 有种排法 因此共有 14400种不同的排法 4 8名学生全排列共种 其中甲在乙前面的情形与乙在甲前面的情形各占 符合要求的排法有 20160种 方法技巧1 求解有限制条件排列问题的主要方法 2 解决有限制条件排列问题的策略 1 根据特殊元素 位置 优先安排进行分步 即先安排特殊元素或特殊位置 2 根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类 1 1用0 1 2 3 4 5这6个数字 1 能组成多少个无重复数字的四位偶数 2 能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数 无重复数字 解析 1 符合要求的四位偶数可分为三类 第一类 0在个位时 有个 第二类 2在个位时 千位从1 3 4 5中选定1个 有种 十位和百位从余下的数字中选 有种 于是有 个 第三类 4在个位时 与第二类同理 也有 个 由分类加法计数原理得 共有 2 156个 2 先排0 2 4 再让1 3 5插空 总的排法共 144种 其中0在排头 将1 3 5插在后3个空的排法共 12 种 此时构不成六位数 故符合要求的六位数的个数为144 12 132 考点二组合问题典例2某课外活动小组共13人 其中男生8人 女生5人 并且男 女生各有一名队长 现从中选5人主持某种活动 依下列条件各有多少种选法 1 只有一名女生当选 2 两队长当选 3 至少有一名队长当选 4 至多有两名女生当选 解析 1 只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选 故共有 350种 2 两队长当选 共有 165种 3 至少有一名队长当选含有两类 只有一名队长当选 有两名队长当选 故共有 825种 或采用排除法 825 种 4 至多有两名女生当选含有三类 有两名女生当选 只有一名女生当选 没有女生当选 故选法共有 966种 方法技巧组合问题的常见类型及处理方法 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含有 则先将这些元素取出 再由其他元素补足 不含有 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中选取 2 至少 或 最多 含有几个元素的组合题型 解这类题必须十分重视 至少 与 最多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法和间接法都可以求解 用直接法分类复杂时 常考虑用间接法处理 2 1 2016江西南昌一模 甲 乙两人从4门课程中各选修两门 则甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 a 30种b 36种c 60种d 72种 答案a解法一 甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类 甲 乙所选的课程中2门均不相同 甲先从4门中任选2门 乙选剩下的2门 共有 6种不同的选法 甲 乙所选的课程中有且只有1门相同 分两步 第一步 从4门中任选一门作为相同的课程 有 4种选法 第二步 甲从剩余的3门中任选1门 乙从最后剩余的2门中任选1门 有 6种选法 由分步乘法计数原理得共有 24种不同的选法 综上 由分类加法计数原理得 甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6 24 30种 故选a 解法二 甲 乙两人选择课程的所有可能选法有 36 种 甲 乙 两人选择2门相同课程的所有选法有 1 6 种 因此甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36 6 30种 故选a 2 2如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了2个水果 且从这周的第二天开始 每天所吃水果的个数与前一天相比 仅存在三种可能 多一个 或 持平 或 少一个 那么 小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 a 50种b 51种c 140种d 141种答案b因为第1天和第7天吃的水果数相同 所以这周中间五天中 多一个 和 少一个 的天数必须相同 所以这五天中吃的水果个数与前一天相比 多一个 或 少一个 的天数可能是0 1 2天 共三种情况 所以共有1 51 种 考点三排列与组合的综合应用典例3 1 2016河南八市重点高中质检 将标号为1 2 3 4的四个篮球分给三位小朋友 每位小朋友至少分到一个篮球 且标号1 2的两个篮球不能分给同一个小朋友 则不同的分法种数为 a 15b 20c 30d 42 2 从0 1 2 3 4 5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四位数的个数为 a 300b 216c 180d 162 答案 1 c 2 c解析 1 四个篮球中两个分到一组有种分法 三个篮球进行全排列有种分法 标号1 2的两个篮球分给同一个小朋友 有种分法 不同的分法种数为 30 故选c 2 分两类 第1类 不取0 即从1 2 3 4 5中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四位数 根据分步乘法计数原理可知 共有 72个没有重复数字的四位数 第2类 取0 此时2和4只能取一个 再取两个奇数 组成没有重复数字的四位数 根据分步乘法计数原理可知 共有 108个没有重复数字的四位数 根据分类加法计数原理可知 满足题意的四位数共有72 108 180 个 方法技巧 1 解排列 组合综合题目 一般是将符合要求的元素取出 组合 或进行分组 再对取出的元素或分好的组进行排列 2 解决不同元素的分配问题 往往是先分组再分配 在分组时 通常有三种类型 不均匀分组 均匀分组 部分均匀分组 注意无序均匀 或部分均匀 分组要除以均匀组数的阶乘数 有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数 3 1 2016福建漳州八校第二次联考 若无重复数字的三位数满足条件 个位数字与十位数字之和为奇数 所有数位上的数字和为偶数 则这样的三位数的个数是 a 540b 480c 360d 200答案d由个位数字与十位数字之和