高三数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理.ppt

理数课标版 第八节离散型随机变量的均值与方差 正态分布 1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为 教材研读 1 均值 称ex x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 2 称dx xi ex 2pi为随机变量x的方差 它刻画了随机变量x与其均值ex的平均 偏离程度 其算术平方根为随机变量x的标准差 2 均值与方差的性质 1 e ax b aex b a b为实数 2 d ax b a2dx a b为实数 3 两点分布与二项分布的均值 方差 4 正态曲线的特点 1 曲线位于x轴 上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 3 曲线在x 处达到峰值 4 曲线与x轴之间的面积为1 5 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 高瘦 表示总体的分布越集中 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 1 已知离散型随机变量x的分布列为 则x的数学期望e x a b 2c d 3答案a由已知条件可知e x 1 2 3 故选a 2 已知随机变量 服从正态分布n 2 2 且p 4 p 0 0 2 故p 0 2 0 3 故选c 3 已知x的分布列为 设y 2x 3 则e y 的值为 a b 4c 1d 1答案ae x 1 0 1 e y e 2x 3 2e x 3 3 4 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3件 若x表示取到次品的件数 则d x 答案解析由题意知每次取到次品的概率都为 x b d x 3 5 已知 n 0 2 且p 2 0 0 4 则p 2 答案0 1解析由题意知p 0 2 p 2 0 0 4 所以p 2 1 2 0 4 0 1 考点一离散型随机变量的均值 方差 考点突破 典例1 2016天津 16 13分 某小组共10人 利用假期参加义工活动 已知参加义工活动次数为1 2 3的人数分别为3 3 4 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会 1 设a为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为4 求事件a发生的概率 2 设x为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值 求随机变量x的分布列和数学期望 解析 1 由已知 有p a 所以 事件a发生的概率为 2 随机变量x的所有可能取值为0 1 2 p x 0 p x 1 p x 2 所以 随机变量x的分布列为 随机变量x的数学期望e x 0 1 2 1 方法技巧求离散型随机变量x的均值与方差的步骤 1 理解x的意义 写出x可能取的全部值 2 求x取每个值时的概率 3 写出x的分布列 4 由均值的定义求e x 5 由方差的定义求d x 提醒如果x b n p 则用公式e x np d x np 1 p 求解 1 1一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售量相互独立 1 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率 2 用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求随机变量x的分布列 期望e x 及方差d x 解析 1 设a1表示事件 日销售量不低于100个 a2表示事件 日销售量低于50个 b表示事件 在未来连续3天里 有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个 因此p a1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 p a2 0 003 50 0 15 p b 0 6 0 6 0 15 2 0 108 2 x可能取的值为0 1 2 3 相应的概率为 p x 0 1 0 6 3 0 064 p x 1 0 6 1 0 6 2 0 288 p x 2 0 62 1 0 6 0 432 p x 3 0 63 0 216 所以x的分布列为 因为x b 3 0 6 所以期望e x 3 0 6 1 8 方差d x 3 0 6 1 0 6 0 72 考点二均值与方差在实际问题中的应用典例2 2016课标全国 19 12分 某公司计划购买2台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率 记x表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 1 求x的分布列 2 若要求p x n 0 5 确定n的最小值 3 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在n 19与n 20之中选其一 应选用哪个 解析 1 由柱状图并以频率代替概率可得 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8 9 10 11的概率分别为0 2 0 4 0 2 0 2 从而p x 16 0 2 0 2 0 04 p x 17 2 0 2 0 4 0 16 p x 18 2 0 2 0 2 0 4 0 4 0 24 p x 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 p x 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 p x 21 2 0 2 0 2 0 08 p x 22 0 2 0 2 0 04 4分 所以x的分布列为 6分 2 由 1 知p x 18 0 44 p x 19 0 68 故n的最小值为19 8分 3 记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 当n 19时 ey 19 200 0 68 19 200 500 0 2 19 200 2 500 0 08 19 200 3 500 0 04 4040 10分 当n 20时 ey 20 200 0 88 20 200 500 0 08 20 200 2 500 0 04 4080 可知当n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值 故应选n 19 12分 规律总结利用均值与方差解决实际问题的方法 1 对实际问题进行具体分析 将实际问题转化为数学问题 并将问题中的随机变量设出来 2 依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件 求出其相应的概率 3 依据期望与方差的定义 公式求出相应的期望与方差值 4 依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释 2 1某校设计了一个实验测试方案 考生从6道备选题中一次性随机抽取3题 按照题目要求独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中2道题的便可通过 已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成 2道题不能完成 考生乙每题正确完成的概率都是 且每题正确完成与否互不影响 1 求甲 乙两考生正确完成题数的概率分布列 并计算其数学期望 2 请分析比较甲 乙两考生的实验操作能力 解析 1 设考生甲 乙正确完成实验操作的题数分别为 则 的可能取值分别为1 2 3 的可能取值分别为0 1 2 3 p 1 p 2 p 3 考生甲正确完成题数的概率分布列为 e 1 2 3 2 p 0 同理 p 1 p 2 p 3 考生乙正确完成题数的概率分布列为 e 0 1 2 3 2 2 d 2 1 2 2 2 2 2 3 2 d 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 d p 2 从做对题数的数学期望考察 两人水平相当 从做对题数的方差考察 甲较稳定 从至少完成2题的概率考察 甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 考点三正态分布典例3 1 2015山东 8 5分 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布n 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布n 2 则p 68 26 p 2 2 95 44 a 4 56 b 13 59 c 27 18 d 31 74 2 2015湖南 7 5分 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点 则落入阴影部分 曲线c为正态分布n 0 1 的密度曲线 的点的个数的估计值为 附 若x n 2 则p x 0 6826 p 2 x 2 0 9544 a 2386b 2718c 3413d 4772 答案 1 b 2 c解析 1 p 3 3 68 26 p 6 6 95 44 则p 3 6 95 44 68 26 13 59 2 由正态分布n 0 1 的密度曲线的几何意义 知题图中阴影部分的面积为p 0 x 1 0 6826 0 3413 故落入阴影部分的点的个数的估计值为0 3413 10000 3413 故选c 方法技巧解决有关正态分布的求概率问题的关键是利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间的面积为1 把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化 解题时要充分结合图形进行分析 求解 要注意数形结合思想及化归思想的运用 1 应熟记p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 常用的结论有 正态曲线关于直线x 对称 从而在关于x 对称的区间上概率相等 p x a 1 p x a p x a p x a 3 1若随机变量x n 2 1 且p x 3 0 1587 则p x 1 答案0 8413解析由x