高考数学二轮复习精品资料专题02 函数与导数教学案（教师版）.doc

2013高考数学二轮复习精品资料专题02 函数与导数教学案（教师版）【2013考纲解读】 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.7.了解幂函数的概念;结合函数的图象,了解它们的变化情况.8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题。【知识网络构建】【重点知识整合】一、函数、基本初等函数的图象与性质 1函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，特别注意定义中的符号语言；(2)奇偶性：偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性特别注意定义域含0的奇函数f(0)0；(3)周期性：f(xt)f(x)(t0)，则称f(x)为周期函数，t是它的一个周期2对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)的图象有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，2|ba|是它的一个正周期，特别地若偶函数f(x)的图象关于直线xa(a0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；3函数的图象(1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换4指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况；对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况；幂函数yx的图象和性质，分幂指数0，0，0三种情况二、函数与方程、函数的应用1函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以，方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；第二步：求区间a，b的中点c；第三步：计算f(c)：(1)若f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)；(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)3函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答三、导数在研究函数性质中的应用及定积分 1导数的几何意义4闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者5定积分与曲边形面积(1)曲边为yf(x)的曲边梯形的面积：在区间a，b上的连续的曲线yf(x)，和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积s.当f(x)0时，sf(x)dx；当f(x)0时，sf(x)dx.(2)曲边为yf(x)，yg(x)的曲边形的面积：在区间a，b上连续的曲线yf(x)，yg(x)，和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积s|f(x)g(x)|dx.当f(x)g(x)时，sf(x)g(x)dx；当f(x)g(x)时，sg(x)f(x)dx.【高频考点突破】考点一、函数及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系. 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数 1求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域a，b，其复合函数f(g(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义2求f(g(x)类型的函数值 应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性. 例1、函数f(x)lg(1x)的定义域是()a(，1)b(1，)c(1,1)(1，) d(，)【变式探究】设函数g(x)x22(xr)，f(x)则f(x)的值域是 ()a，0(1，) b0，)c，) d，0(2，)解析：令x0，解得x2.令xg(x)，即x2x20，解得1x2.故函数f(x)当x1或x2时，函数f(x)f(1)2；当1x2时，函数f()f(x)f(1)，即f(x)0.故函数f(x)的值域是，0(2，)答案：d考点二、函数的图像作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换 例2、函数y2sinx的图像大致是 ()【变式探究】函数yxln(x)与yxlnx的图像关于 () a直线yx对称 bx轴对称 cy轴对称 d原点对称 考点三、函数的性质1单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数等 2函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径 例3、对于函数f(x)asinxbxc(其中，a，br，cz)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是 ()a4和6 b3和1c2和4 d1和2考点四 二次函数的图像与性质：(1)二次函数yax2bxc(a0)的图像是抛物线过定点(0，c)；对称轴为x，顶点坐标为(，)(2)当a0时，图像开口向上，在(，上单调递减，在，)上单调递增，有最小值；当a0时，图像开口向下，在(，上单调递增，)上单调递减，有最大值.例 4、已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解：(1)当a1时， f(x)x22x2(x1)21，x5,5， x1时，f(x)取得最小值1； x5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)(xa)22a2的图像的对称轴为直线xa， yf(x)在区间5,5上是单调函数， a5或a5. 故a的取值范围是(，55，) 【变式探究】设二次函数f(x)ax2bxc，如果f(x1)f(x2)(x1x2)，则f(x1x2) ()a bcc d. 【方法技巧】求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.考点五 指数函数、对数函数及幂函数指数函数与对数函数的性质： 指数函数yax(a0且a1) 对数函数ylogax(a0且a1) 定义域 (，) (0，) 值域 (0，) (，) 不变性 恒过定点(0,1) 恒过定点(1,0) 1对于两个数都为指数或对数的大小比较：如果底数相同， 直接应用指数函数或对数函数的单调性比较；如果底数与指数(或真数)皆不同，则要增加一个变量进行过渡比较，或利用换底公式统一底数进行比较 2对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解. 例5、已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图像与函数y|lgx|的图像的交点共有 () a10个 b9个 c8个 d1个 解析：画出两个函数图像可看出交点有10个 答案：a考点六 函数的零点1函数的零点与方程根的关系： 函数f(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图像与函数yg(x)的图像交点的横坐标 2零点存在性定理： 如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 例6、 函数f(x)cosx在0，)内 ()a没有零点 b有且仅有一个零点c有且仅有两个零点 d有无穷多个零点【变式探究】在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为 ()a(，0) b(0，)c(，) d(，)解析：因为f()e43e20，所以f(x)ex4x3的零点所在的区间为(，)答案：c【方法技巧】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有数值的确定；所在区间的确定；个数的确定解决这类问题的常用方法有解方程、根据区间端点函数值的符号数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.考点七 函数的应用例7、如图，长方体物体 e在雨中沿面p(面积为s)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿e移动方向的分速度为c(cr)e移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)p或p的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|s成正比，比例系数为；(2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为e移动过程中的总淋雨量当移动距离d100，面积s时，(1)写出y的表达式；(2)设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少当0c时，y是关于v的减函数故当v10时，ymin20.当c5时，在(0，c上，y是关于v的减函数；在(c,10上，y是关于v的增函数，故当vc时，ymin.【变式探究】某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、 乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时 (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少法二：由(1)y150(0x50)令f(x)x(0x50)，f(x)1，则x(0,40)时，f(x)0，f(x)单调递增；x40时，f(x)取最小值80，ymin12 000.故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少【方法技巧】应用函数知识解应用题的步骤 (1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类 (2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案， 进行数学上的计算求解 (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答 考点八 利用导数求切线导数的几何意义： (1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0) (2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0) f(x0)(xx0) (3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t) 例8、曲线yx311在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 () a9b3 c9 d15 【方法技巧】求曲线yf(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点p(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率k，求切线方程： 设切点p(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点p(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 考点九、利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系： 在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值 2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 例10、设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值解：(1)由f(x)x2x2a(x)22a，当x，)时，f(x)的最大值为f()2a；令2a0，得a.所以，当a时，f(x)在(，)上存在单调递增区间【方法技巧】1利用导数研究函数的极值的一般步骤 (1)确定定义域 (2)求导数f(x) (3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左、右值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内) 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解 2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【难点探究】难点一函数的性质的应用例1、设f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x) 2x2x，则f(1)()a3 b1c1 d3(2)设奇函数yf(x)(xr)，满足对任意tr都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于_【点评】 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的实际通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题本题第(2)小题中，实际上就是用已知条件给出了这个函数，解决问题的基本思路有两条：一条是把这个函数在整个定义域上的解析式求出，然后再求解具体的函数值；一条是推证函数的性质，把求解的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值本题根据对任意tr都有f(t)f(1t)还可以推证函数yf(x)的图象关于直线x对称，函数又是奇函数，其图象关于坐标原点对称，这样就可以画出这个函数在上的图象，再根据周期性可以把这个函数的图象拓展到整个定义域上，进而通过函数的图象解决求指定的函数值，研究这个函数的零点等问题，在复习中要注意这种函数图象的拓展【变式探究】设偶函数f(x)对任意xr，都有f(x3)，且当x3，2时，f(x)4x，则f(107.5)()a10 b. c10 d【答案】b【解析】 根据f(x3)，可得f(x6)f(x)，所以函数yf(x)的一个周期为6.所以f(107.5)f(1080.5)f(0.5)f(0.5)f(2.53).难点二函数的图象的分析判断例2、函数f(x)axm(1x)n在区间0,1上的图象如图21所示，则m，n的值可能是()图21am1，n1 bm1，n2cm2，n1 dm3，n1【答案】b【点评】 函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点。【变式探究】函数y2sinx的图象大致是()图22【答案】c【解析】 由f(x)f(x)知函数f(x)为奇函数，所以排除a；又f(x)2cosx，当x在x轴右侧，趋向0时，f(x)0，所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数，当x2时，f(2)2cos2bc bbac cacb dcab【答案】c【解析】 令mlog23.4，nlog43.6，llog3，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得mln，又y5x为单调递增函数，acb.难点四函数的零点和方程根的分布例4、 (1)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xr，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()a(，2b(，2c.d.(2)已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nn*，则n_.【答案】(1)b(2)2【解析】 (1)f(x) 则f(x)的图象如图yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c.(2)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用因为2a3，所以loga21logaaloga3，因为3b1loga2，b31loga3，所以f(2)f(3)(loga22b)(loga33b)0)，雨速沿e移动方向的分速度为c(cr)e移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)p或p的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|s成正比，比例系数为；(2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为e移动过程中的总淋雨量，当移动距离d100，面积s时，(1)写出y的表达式；(2)设0v10,00)的一条切线，则实数b_.(2)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)(x1)21，满足ff(a)的实数a的个数为_当f(a)1时，a有2个值对应；当f(a)1时，a有2个值对应；当f(a)1时，a有4个值对应，综上可知满足ff(a)的实数a有8个难点八导数在研究函数中的应用例8、已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围【解答】 (1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk.当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)；单调递减区间是(k，k)当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以，f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)；单调递增区间是(k，k)(2)当k0时，因为f(k1)e，所以不会有x(0，)，f(x).当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)，等价于f(k).解得k0.故当x(0，)，f(x)时，k的取值范围是.【点评】 单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案 【变式探究】设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a0，则函数g(x)在r上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)0,即f(x)2x+4的解集为(-1，+).8(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=（a）-4或-2 （b）-4或2 （c）-2或4 （d）-2或210. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（a） （b）4 （c） （d）6【答案】c【解析】因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选c14. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为 a. b. c. d.【答案】a【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选a.15. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为 a. b. c. d. 【答案】c【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选c.16. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 a. b. 1 c. d. 17. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 a. 1 b. c. d. 答案：d解析：将代入中，得到点的坐标分别为，从而对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选d18(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是r上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） a+|g(x)|是偶函数 b-|g(x)|是奇函数c| +g(x)是偶函数 d|- g(x)是奇函数【解析】a.设，所以是偶函数，所以选a.【答案】a19(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在r上的奇函数和偶函数满足且，若，则a.2 b. c. d.20. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量m（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是10ln2（太贝克/年），则m(60)=a.5太贝克b.75ln2太贝克c.150ln2太贝克d.150太贝克答案：d解析：因为，故其变化率为，又由故，则，所以选d.23.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是（a） (b) (c) (d) 26 (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(a)