自动控制原理_于希宁_课后习题答案.pdf

第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 1 第二部分第二部分 古典控制理论基础习题详解古典控制理论基础习题详解 一一 概述概述 2 1 1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点 解 控制系统 优点 缺点 开环控制 简单 造价低 调节速度快 调节精度差 无抗多因素干扰能力 闭环控制 抗多因素干扰能力强 调节精度高 结构较复杂 造价较高 2 1 2 试列举几个日常生活中的开环和闭环控制系统的例子 并说明其工作原 理 解 开环控制 半自动 全自动洗衣机的洗衣过程 工作原理 被控制量为衣服的干净度 洗衣人先观察衣服的脏污程度 根据自 己的经验 设定洗涤 漂洗时间 洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务 系统输 出量 即衣服的干净度 的信息没有通过任何装置反馈到输入端 对系统的控制不 起作用 因此为开环控制 闭环控制 卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调 冰箱的温度控制系统 工作原理 以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例 系统的被控制量 输出量 为蓄 水箱水位 反应蓄水量 水位由浮子测量 并通过杠杆作用于供水阀门 即反馈至 输入端 控制供水量 形成闭环控制 当水位达到蓄水量上限高度时 阀门全关 按 要求事先设计好杠杆比例 系统处于平衡状态 一旦用水 水位降低 浮子随之下 沉 通过杠杆打开供水阀门 下沉越深 阀门开度越大 供水量越大 直到水位升 至蓄水量上限高度 阀门全关 系统再次处于平衡状态 2 1 3 试判断下列微分方程所描述的系统属何种类型 线性 非线性 定常 时变 1 5 2 3 2 2 tr dt tdr tc dt tdc dt tcd 2 2 2 tr dt tdr tc dt tdc t 3 2 2 2 2 2 trtc dt tdc dt tcd 4 dttrtr dt tdr tc dt tdc 3 2 3 5 解 1 线性定常系统 2 线性时变系统 3 非线性定常系统 4 线性定常系统 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 2 2 1 4 根据题 2 1 1 图所示 的电动机速度控制系统工作原理 图 1 将 a b 与 c d 用线连 接成负反馈系统 2 画出系统方框图 解 1 a d 连接 b c 连接 2 系统方框图 给定值 放大器电动机负载 测速电机 转速 题 2 1 4 解图 2 1 5 下图是水位控制系统的示意图 图中 1 Q 2 Q分别为进水流量和出水流量 控制的目的是保持水位为一定的 高度 试说明该系统的工作原理 并画出其方框图 解 当输入流量与输出流 量相等时 水位的测量值和给定 值相等 系统处于相对平衡状态 电动机无输出 阀门位置不变 当输出流量增加时 系统水位下 降 通过浮子检测后带动电位器 抽头移动 电动机获得一个正电压 通过齿轮减速器传递 使阀门打开 从而增加 入水流量使水位上升 当水位回到给定值时 电动机的输入电压又会回到零 系统 重新达到平衡状态 反之易然 水位给定值 电位计电动机 齿轮阀门水箱 浮子 2 Q 1 Q水位h 0 h 题 2 1 5 解图 题 2 1 3 图 测速发电机 r u 放 大 器 负载 a u 电动机 ab c d 题 2 1 5 图 h 电位计 阀门 减速器 电动机 水箱 浮子 1 Q 2 Q 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 3 2 1 6 仓库大门自动控制系统如图所示 试分析系统的工作原理 绘制系统的 方框图 指出各实际元件的功能及输入 输出量 解 当给定电位器和测量电位器输出相等时 放大器无输出 门的位置不变 假设 门的原始平衡位置在关状态 门要打开时 关门 开关打开 开门 开关闭合 给定电位器与测量电位器输出不相等 其电信号经放大器比较放大 再经伺服电机 和绞盘带动门改变位置 直到门完全打开 其测量电位器输出与给定电位器输出相 等 放大器无输出 门的位置停止改变 系统处于新的平衡状态 系统方框图如解 图所示 元件功能 电位器组 将给定 开 关 信号和门的位置信号变成电信号 为给定 测量元件 放大器 伺服电机 将给定信号和测量信号进行比较 放大 为比较 放大 元件 绞盘 改变门的位置 为执行元件 门 被控对象 系统的输入量为 开 关 信号 输出量为门的位置 二二 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 放大器伺服电动机绞盘 门 开门开关 关门开关 电位器组 题 2 1 6 解图 给定电位器放大器门 测量电位器 开 关 伺服电机 绞 盘 位置 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 4 2 2 1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特 点 其中电压 tur和位移 txr为输入量 电压 tuc和位移 txc为输出量 1 kk和 2 k为 弹簧弹性系数 f为阻尼系数 解 a 方法一 设回路电流为i 根据克希霍夫定律 可写出下列方程组 iRu udti C u c cr 1 削去中间变量 整理得 dt du RCu dt du RC r c c 方法二 rcc r c uRCuuRC RCs RCs Cs R R sU sU 11 b由于无质量 各受力点任何时刻均满足 0F 则有 ccr kxxxf rcc x k f xx k f c rrcc r c uuCRuuCRR CsRR CsR Cs RR Cs R sU sU 221 21 2 21 2 1 1 1 1 C tur tuc txr txc f 1 k 2 k C R tur tuc f k txr txc a b c d 1 R 2 R 题 2 1 1 图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 5 d 设阻尼器输入位移为 a x 根据牛顿运动定律 可写出该系统运动方程 rrcc aac arcr xx k f xxf kk kk xfxxk xxkxxk 221 21 2 21 结论 a b互为相似系统 c d互为相似系统 四个系统均为一阶系统 2 2 2 试求题 2 2 2 图所示各电路的传递函数 解 可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数 a 9 b 1 1 1 1 1 1 212211 2 2121 2211 2 2121 2 2 1 1 1 1 sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR sC R sC R sC R sU sU r c c 2121 2 1 2 21 2 1 1 RRsLCRRLCsR LsR LsR Cs R LsR Cs sU sU r c d sC R R sC R sC R R sC R sC R sC R sC sU sU r c 121 1 21 2 11 1 1 1 1 1 1 2 12 21 2 21 2 1 2 21 2 sRCRCsCCR sRCsCCR 2 2 3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量 通过孔板的流量Q与孔 L 1 R 2 R C tur tuc 1 R 2 R 1 C 2 C tur tuc 1 R 2 R L C tur tuc a RR 1 C 2 C tur tuc b c d 题 2 2 2 图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 6 板前后的差压P的平方根成正比 即PkQ 式中k为常数 设系统在流量值 0 Q附 近作微小变化 试将流量方程线性化 解 取静态工作点 00 QP 将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数 并 近似取前两项 2 2 1 0 0 00 0 000 0 PP P k QQPP P k QPPQQQ PP 设 0 2 1 P k R R 为流动阻力 并简化增量方程为 P R Q 1 2 2 4 系统的微分方程组为 322 323 211 2 1 1 txktc dt tdc T tcktxtx txtxk dt tdx T tctrtx 式中 32121 kkkTT均为正的常数 系统的输入为 tr 输出为 tc 试画出动态结构图 并求出传递函数 sR sC sG 解 对微分方程组进行零初始条件下的 Laplace 变换得 322 323 21121 1 sXksCssCT sCksXsX sXsXkssXT sCsRsX 绘制方框图 1 2 2 sT k 1 1 1 sT 1 k 3 k sR 1s X 2s X 3s X sC 题 2 2 4 图 传递函数为 1 232112312 2 12 21 kkkksTkkTTsTT kk sR sC 2 2 5 用运算放大器组成的有源电网络如题 2 2 5 图所示 试采用复阻抗法写 出它们的传递函数 r u c u 1 R 2 R 1 C 2 C r u c u 1 R 2 R a b C 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 7 解 利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解 1 1 1 21 12 2 1 1 2 1 1 2 2 sCR sCR C C R R sU sU sC R sU sC R sU a r crc 1 1 1 21 2 1 2 CsRR R sU sU R sU Cs R sU b r crc 2 2 6 系统方框图如题 2 2 6 图所示 试简化方框图 并求出它们的传递函数 sR sC 1 G 2 G 3 G 4 G 1 H 2 H sC sR 1 G 2 G 3 G 4 G 1 H 2 H sC sR a b 2 G 3 G 4 G 2 H sC sR 1 G 1 H 3 H 4 H c 1 G 2 G 3 G 4 G sC sR 2 H 1 H d 题 2 2 6 图 解 a 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 8 1 G 2 G 3 G 4 G 1 H 2 H sC sR 1 1 G 2 G 3 G 32 4 GG G 1 H 2 H sC sR 2 2 H sC sR 1321 321 1HGGG GGG 32 432 GG GGG 3 sC sR 24123211321 41321 1HGGHGGGHGGG GGGGG 4 b 1 G 2 G 3 G 4 G 1 H 2 H sC sR 1 1 G 2 G 3 G 4 G 1 H 1 2 G H sC sR 2 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 9 3 G 4 G 1 2 G H sC sR 12112 21 1HGGHG GG 3 sR 23212112 232121124321 1 1 HGGHGGHG HGGHGGHGGGGG sC 4 c 2 G 3 G 4 G 2 H sC sR 1 G 1 H 3 H 4 H 1 2 G 3 G 4 G 2 H sC sR 1 G 14H G 3 H 44H G 2 2 G 443 3 1HGG G 4 G 142 HGH sC sR 1 G 3 H 3 sC sR 143212321332443 4321 1HGGGGHGGGHGGHGG GGGG 4 d 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 10 1 G 2 G 3 G 4 G sC sR 2 H 1 H 1 1 G 2 G 3 G 4 G sC sR 1 2 G H 12H G 2 121 1 1HGG G 432 GGG sC sR 1 2 1 G H 3 2441232321121 41321 1HGGGHGGGGGHGG GGGGG sC sR 4 2 2 7 系统方框图如题 2 2 7 图所示 试用梅逊公式求出它们的传递函数 sR sC 解 a 1 该图有一个回路 1 30 1 1 30 1 ssss l 2 该图有三条前向通路 1 G 2 G 3 G 4 G sR sC b sR sC 1 10 ss 1 3 a 题 2 2 7 图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 11 1 30 1 101 1 10 4321 ss P s P s P ss P 所有前向通路均与 1 l回路相接触 故1 4321 3 系统的传递函数为 30 4111 1 2 44332211 ss s PPPP sR sC sG b 1 为简化计算 先求局部传递函数 sE sC sG 该局部没有回路 即1 有四条前向通路 4344432133222111 1GGPGGGGPPGGP 所以 1 43214321 GGGGGGGGsG 2 43214321 43214321 1 1 GGGGGGGG GGGGGGGG sG sG sR sC sG 2 2 8 设 线 性 系 统 结 构 图 如 题 2 2 8 图所示 试 1 画出系统的信号流图 2 求传递函数 1 sR sC 及 2 sR sC 解 1 系统信号流图如图 2 求传递函数 1 sR sC 令0 2 sR 有三个回路 1 2 1 2 1 321 ss K l ss K l s l 1s R 2 sR 2 1 s K s 1 sC 1 1 s 题 2 2 8 1 1 1 s 2 1 s 1 s 1 K 1 1s R 2s R sC 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 12 1 l和 3 l互不接触 2 1 31 sss K ll 因此 2 1 1 2 1 2 1 1 sss K ss K ss K s 有三条前向通路 1 2 1 1 1 1 1 2211 sss K P ss K s P 1 2 1 33 ss K P Ksss Kss sR sC 334 1 23 2 1 求传递函数 2 sR sC 令0 1 sR 求解过程同 不变 1 12 1 1 1 2211 s K P sss K P Ksss ssK sR sC 334 33 23 2 2 2 2 9 系统的动态结构图如图所示 试求 1 求传递函数 sR sC 和 sN sC 2 若要求消除干扰对输出的影响 求 sGc 解 1 根据梅森增益公式得 321 2 321 321 321 1 1 1 kkksTs kkk Tss kkk Tss kkk sR sC 题 2 2 9 图 sR sC sN sGc 1 k s k2 1 3 Ts k 4 k 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 13 321 2 43321 321 43321 1 1 1 1 kkksTs skksGkkk Tss kkk Ts kk Tss kkk sG sN sC c c 2 根据题意 21 4 43321 0 0 kk sk sGskksGkkk sN sC cc 2 2 10 某复合控制系统的结构图如图所示 试求系统的传递函数 sR sC 题 2 2 10 图 解 根据梅森增益公式得 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 23 23 23 23 ssKssK ssKssK s s K s sK s s K s s s s s sK sR sC 2 2 11 系统微分方程如下 102 11 txKtx tnKtctrtx 34 523 txtxT txtntxtx 5 45 tctxtc tctxtx 试求系统的传递函数 sR sC 及 sN sC 其中 r n 为输入 c 为输出 TKK 10 均为常 数 解 1 对微分方程组进行零初始条件下的 Laplace 变换 并加以整理得 102 11 sXKtX sNKssCsRsX K 2 s s s 1 s s1 s 1 sR sC 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 14 1 34 523 sX Ts sX sXsNsXsX 1 1 5 45 sX s sC sCsXsX 2 画出系统结构图 题 2 2 11 解图 3 求传递函数 sR sC 令0 sN 1 12 1 1 11 1 1 0 2 0 0 0 sKTTs K sTs sK sTs sTs K sR sC 4 求传递函数 sN sC 令0 sR 1 12 1 1 1 11 1 1 1 1 0 2 10 0 10 sKTTs KK sTs sK sTs sTs KK sN sC 2 2 12 已 知 系 统 方 框 图 如 图 所 示 试 求 各 典 型 传 递 函 数 sR sC sN sE sN sC sR sE sF sE sF sC 0 K 1 1 s 1 K s s 1 sR sC sN 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 15 sR sC 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G sE sF sN 题 2 2 12 图 解 1 求 sR sE sR sC 令0 0 sFsN 632321 321 1 GGGGGG GGG sR sC 632321 632 1 1 GGGGGG GGG sR sE 2 求 sN sE sN sC 令0 0 sFsR 632321 32 1 GGGGGG GG sN sC 632321 32 1 GGGGGG GG sN sE 3 求 sF sE sF sC 令0 0 sNsR 632321 435321 1 GGGGGG GGGGGG sF sC 632321 435321 1 GGGGGG GGGGGG sF sE 三三 时域分析法时域分析法 2 3 1 若某系统 当零初始条件下的单位阶跃响应为 tt eetc 2 1 试求系统 的传递函数和脉冲响应 解 传递函数 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 16 2 1 24 1 2 1 24 2 2 ss ss sR sc sG s trLsR sss ss tcLsc 单位脉冲响应 0 2 21 teetsGLtg tt 2 3 2 二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示 试确定系统开环传递函数 设系 统为单位负反馈式 解 23 35 1 0 1 456 0 2 0 100 2 1 2 n n p t e 系统的开环传递函数为 2 32 1246 2 2 ssss sG n n k 2 2 3 已知系统的结构图如图所示 1 当0 d k时 求系统的阻尼比 无阻尼振荡频率 n 和单位斜坡输入时的 稳态误差 2 确定 d k以使707 0 并求此时当输入为单位斜坡函数时系统的稳态误 差 解 1 0 d k时 2 8 ss sGK 4 2 22 22 8 2 n n n 1 2 1 4 2 8 ss ss sGK系统为 型 25 0 1 4 V ssV K eK 2 0 d k时 题 2 3 2 图 t tc 1 0 2 1 题 2 3 3 图 2 8 ss sKd sR sE sC 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 17 4 1 83 222 707 0 41 22 8 41 2 8 2 8 1 2 8 2 d n dn n d d K k k kss s k ss sG 1 125 0 2 4 8 v ssss sGK 型系统 5 0 1 2 V ssV K eK 3 4 若温度计的特性用传递函数 1 1 Ts sG描述 现用温度计测量盛在容器内 的水温 发现需 30s 时间指出实际水温的 95 的数值 试求 1 把容器的水温加热到 100 C 温度计的温度指示误差 ss e 2 给容器加热 使水温依 6 C min 的速度线性变化时 温度计的稳态指示 误差 ss e 解 根据题意得 10 5 303 TTts 单位反馈系统的开环传函数为 1 0 1 1 01 1 1 Kv sTs sG Ts sG KB 1 阶跃输入时系统稳态无差 2 斜坡输入时 输入信号速率为 C 1 0min C 6 0 sr C1 1 0 1 0 0 K r ess 注 也可以用给定输入下输出响应的终值与给定值之间的偏差计算 2 3 5 闭环传递函数 22 2 2 nn n ss sG 试在 S 平面绘出满足下列要求的 闭环特征方程根的区域 1 srad n 2 1707 0 2 sradsrad n 4 2 5 00 3 srad n 2 707 05 0 解 根据阻尼比和无阻尼自然振荡角频率与特征根在平面上位置的关系可知 1 2 450 2 1 s 满足要求的闭环特征根的区域如解图 1 所示 2 42 9060 2 1 s 满足要求的闭环特征根的区域如解图 2 所 示 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 18 3 2 6045 2 1 s 满足要求的闭环特征根的区域如解图 3 所示 2 3 6 单位负反馈系统的开环传递函数 2 4 ss sG 试求 1 系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应 2 峰值时间 p t 调节时间 s t和超调量 解 1 5 0 2 22 4 2 n n n 典型二阶系统欠阻尼情况 可以利用公式直接计算 单位阶跃响应为 0 603sin 3 32 1 5 0cos5 012sin 5 01 1 1sin 1 1 12 2 2 2 tte t e t e th t t n t n 单位斜坡响应为 0 1203sin 3 3 5 0 21sin 1 2 2 2 ttet t e ttc t n n t n n 2 系统性能指标为 st n p 81 1 1 2 1 2 3 题解图 2 2 45 2 j 60 2 4 24 2 4 j 60 2 2 2 45 j 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 19 2 4 4 5 3 3 stst n s n s 3 16 100 2 1 e 2 3 7 系统方框图如题 2 3 7 图所示 若系统 的 15 stp8 0 试求 1 1 K 2 K值 2 1 ttr 时 调节时间 s t 上升时间 r t 解 1 利用方框图等效变换化系统为单位反馈的典型结构形式后得开环传 递函数为 1 1 1 1 21 1 2 1 1 kkss k sk ss k ss k sGk 21 1 2 12kk k n n 根据题意 18 0 21 588 4 517 0 8 0 1 15 100 2 1 2 1 2 k k st e n n p 2 st stst n r n s n s 54 0 1 2 69 1 4 5 27 1 3 2 2 3 8 已知闭环系统特征方程式如下 试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的 分布情况 1 0100920 23 sss 2 0200920 23 sss 3 03482 234 ssss 4 015484412 2345 sssss 解 1 劳斯表为 100 4 10020 91 0 1 2 3 s s s s 题 2 3 7 图 1 1 ss K sK21 sR sC 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 20 劳斯表第一列符号没有改变 且特征方程各项系数均大于 0 因此系统稳定 该系统三个特征根均位于 s 的左半平面 2 劳斯表为 200 1 20020 91 0 1 2 3 s s s s 劳斯表第一列符号改变二次 该系统特征方程二个根位于右半平面 一个根位 于左半平面 系统不稳定 3 劳斯表为 3 3 36 42 381 0 1 2 3 4 s s s s s 劳斯表第一列符号没有改变 且特征方程各项系数均大于 0 因此系统稳定 该系统四个特征根均位于 s 的左半平面 4 劳斯表为 1 06 4 1 40 1861 12 59 40 14812 5441 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 劳斯表第一列符号没有改变 且特征方程各项系数均大于 0 因此系统稳定 该系统五个特征根均位于 s 的左半平面 2 3 9 已知闭环系统特征方程式如下 1 021520 234 Kssss 2 050 1 23 KssKs 试确定参数 K 的取值范围确保闭环系统稳定 解 1 根据特征方程列写出劳斯表为 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 21 Ks K s Ks s Ks 0 1 2 3 4 9 14 20 2 9 14 220 151 系统稳定的充分必要条件为 49 10 0 9 14 20 2 0 K K K 2 由三阶系统稳定的充分必要条件得 59 6 50 1 0 K KK K 2 3 10 具有速度反馈的电动控制系统如题 2 3 10 图所示 试确定系统稳定的 i K的取值范围 解 系统的特征方程为 0 10 6 5 1000 10 6 5 100 1 ssssss sKi 01000 56100 6 15 23 sKss i 系统稳定的条件是 081 0 1000 56100 6 15 056100 i i i K K K 2 3 11 已知系统的结构图如 图所示 分别求该系统的静态位置 误差系数 速度误差系数和加速度 误差系数 当系统的输入分别为 1 1 t 2 1 tt 3 1 2 1 2 tt 时 求每种情况下系统的稳态误差 解 系统的开环传递函数为 题 2 3 10 图 10 10 6 5 100 sss sKi sR sE sC 题 2 3 11 图 K 12 0 100 s t K sR sC s20 1 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 22 1100 5 1 1 1001 2 0 1100 5 12 0 100 1 12 0 100 20 1 t K t t t k K K Kv s K s K K s K s s KsG K K为开环增益 在系统稳定的前提条件下有 0 1100 5 a t vp k K K kk 1 0 1 1 1 p ss k ettr 2 K K k etttr t v ss 5 11001 1 3 ss etttr 1 2 1 2 2 3 12 已知系统的结构图如图所示 1 确定K和 t K满足闭环系统稳定的条件 2 求当 1 tttr 和0 tn时 系统的稳态误差 ss e 3 求当0 tr和 1 ttn 时 系统的稳态误差 ss e 解 1 系统的特征方程为 0 02 0 250 25 102 0 25 1 23 22 KsKKss ss sK ss sKK t t 系统稳定时 02 0 0 02 0 25 0 02 0 0 t t t K K KKK KK K 2 方法一 系统开环传递函数为 题 2 3 12 图 sN 102 0 s 25 2 ss K sKt sR sE sC 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 23 t K tt t t K K Kv s KK s KK s s K ss KK ss sK sG 1 1 1 251 102 0 1 25 1 25 102 0 2 2 K K为开环增益 型系统 0 1 a t Kvp k K Kkk 根据题意 0 1 2 sN s sR tssrss Kee 0 方法二 KsKKss KKsss ss sK ss sKK ss sKK sR sE t t t t 02 0 25 25 25 102 0 25 1 25 1 23 2 22 2 t t t ss ssrss K sKsKKss KKsss sssEee 223 2 00 1 02 0 25 25 lim lim 3 方法一 1 ttn 由102 0 1 ssG 得 1 0 K 1 1 1 lim lim 0 1 0 s s sN K s e ss ssn 方法二 KsKKss K ss sK ss sKK ss K sN sE t t 02 0 25 25 102 0 25 1 25 23 22 2 1 1 02 0 25 lim lim 23 00 s KsKKss K ssN sN sE see t ss ssnss 2 3 13 控制系统如图所示 输入信号 tr和扰动信号 tn均为单位斜坡输入 试计算0 时的稳态误差 ss e 并选择适当的 使0 ss e e r c 解 特征方程为 0 1 1 Tss K TK 均大于 0 时系统稳定 2 1 s sNsR sN 1 s 1 Tss K sR sC 1 sT K d d 题 2 3 13 图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 24 1 1 1 1 1 1 22 22 sN KssTsT sTsK sR kssT sK sRsCsRsE sN KsTssT sTsK sR ksTs sK sC d d d d K KK ssEe d s ss 1 lim 0 K K e K K e d ss d ss 1 0 1 0 2 3 14 具有扰动输入的控制系统如图所示 求 当 1 21 ttntntr 时系 统的稳态误差 解 系统特征方程为 0201 11 00 1 11 0 20 1 23 sss sss 201 01 1 该系统不稳定 所以稳态误差没有意义 2 3 15 系统如图所示 已知 1 64 ttnttr 试求 1 系统的稳态误差 2 要想减小扰动 tn产生的误差 应 提高哪一个比例系数 3 若将积分因子移到扰动作用点之 前 系统的稳态误差如何变化 解 系统稳定的充分必要条件是 K1 K2 0 1 s sN s s sR 1 64 2 方法一 开环传递函数为 1 125 0 4 4 21 21 v ss KK ss KK sGK 型系统 4 21K K KV 题 2 3 14 图 题 2 3 15 图 11 0 10 s 1 2 ss 1s N 2s N sC sR sR sC sE 1 K 4 2 ss K sN 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 25 1 0 1 0 111 21 1 lim lim 0 1 24 KK s sN K s e KKvKsGttn KK e v s v s ssn ssr 24 1 2 21 K KK eee ssnssrss 方法二 4 4 4 21 2 21 sN KKss K sR KKss ss sE 24 1 1 4 64 4 4 lim lim 2 2121 2 2 21 00 K KKsKKss K s sKKss ss ssEse ss ss 2 由 1 1 K essn 可知 若要减小 ssn e则应增大 K1 3 扰动输入时 系统型别为 1 所以阶跃扰动时静态无差 21 24 KK ee ssrss 2 3 16 单位负反馈系统的开环传递函数为 10 ss K sG 若系统单位阶跃响应 的超调量 3 16 若误差 tctrte 当输入 1 10 tttr 时其稳态 误差1 0 ss e 试求 1 K 值 2 单位阶跃响应的调节时间 s t 3 当 1 10 2 ttttr 时的稳态误差 ss e 解 1 1 11 0 1 0 v ss K sGk 0 10 avp k K kk 1001 0 101 1 10 K Kkk e vp ssr 又100 5 0 10 3 16 102 10 2 K K ss K sG n n n 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 26 100 K时符合题意 2 2 8 0 4 5 6 0 3 stst n s n s 3 32 2110 ss s sR 时 avp ss kkk e 21 1 10 2 3 17 已知系统结构如图所示 1 确定当K和a满足什么条件时 闭环系统是稳定的 2 求当 1 1 ttntttr 时系统的稳态误差 ss e 解 1 03 1 3 0 1 3 1 23 2 aksakkss ss sask 系统稳定的充分必要条件是 3 13 0 a a k a 2 方法一 1 tttr 输入时 aKK ss ss a aK ss sasK sG KK 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 22 型系统 03 avp kaKkk aKk e v ssr 3 11 1 ttn 输入时 aK s s a a s as sG 1 1 1 1 题 2 3 17 图 sR sC sE sN s as 1 3 2 s sK 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 27 0lim lim 0 1 0 K s sN K s e ss ssn aK eee ssnssrss 3 1 方法二 3 1 3 3 1 1 22 sN sasKss sKs sR sasKss sasK sC s sasKss sKs ssasKss sasK s sCsRsE 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2222 aK ssEe s ss 3 1 lim 0 2 3 18 设控制系统结构图如图所示 要求 1 计算当测速反馈校正 1 0 0 21 时 系统的动态性能指标 s t 和单位斜坡输入作用下的稳态误差 ss e 2 计算当比例 微分校正 0 1 0 21 时 系统的动态性能指标 s t 和单位斜坡输入作用下的稳态误差 ss e 解 1 5 3 1 35 316 0 10 22 10 2 0 5 1 5 1 15 0 5 2 10 1 10 1 1 10 2 2 st ettr kv ssss s ss sG s n n n ss k 2 根据题意 系统的闭环传递函数为 题 2 3 18 图 sR sC s 1 1 10 ss s 2 sE 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 28 10 11 0 10 10 10 1 10 1 1 1 010 1 10 22 ss s ss s ss ss s ss sR sC sG 318 0195 18 1 arctan 101 10 1 0 158 0 16 310 2 2 22 rad z zl z n n nn n 6 63 100 2 1 e 5 6 1 ln3 s z l t n s 10 10 1 10 1 1 10 1 2 2 2 2 1 sR ss s sE ss s ss ss s sR sE 根据题意0 1 10 lim lim 1 22 2 00 2 sss s sssEe s sR ss ss 2 3 19 系统结构如图 3 46 所示 试求当ttnttr100sin1 0 1 同时作用下 的稳态误差 cre 题 2 3 19 图 解 2 11 s s sR 单独作用时 0 lim 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 222 ssEe ss s s s ss sss sssR sC sRsCsRsE r s ssr r sN单独作用时 s s 1 sR sN sC 1 1 s 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 29 0 00 1 1 1 1 1 1 1 ssnssrss ssnn eee esN ss ss sN sN sC sE 2 3 20 已知闭环系统的传递函数为 50 1 5 255 9 4 1301 2 ssss s sG 近似分析系统的动态响应性能指标 超调量 和调节时间 s t 解 零点9 4 1 z和极点1 5 3 p可视为一对偶极子 对系统动态性能的 影响可以抵消 极点50 4 p远离原点 其作用也可以忽略 为化简后不改变系统 的开环增益得 255 25 255 501 5 9 41301 22 ssss sG 5 2 1 3 16 5 5 0 sts n 四四 根轨迹分析法根轨迹分析法 2 4 1 设系统的开环零 极点分布如题 2 4 1 图所示 试绘制相应的根轨迹草 图 j j j j j j 题 2 4 1 图 解 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 30 j j j j j j 题 2 4 1 解图 2 4 2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下 1 1 5 0 2 0 sss K sG 2 12 1 ss sK sG 3 52 2 2 ss sK sG 4 136 5 1 2 ssss K sG 试绘制K由 0变化的闭环根轨迹图 解 1 系统有三个开环极点 1 5 0 2 0 321 ppp 0 3 mn 有三条根轨迹 均趋于无穷远 实轴上的根轨迹在区间 2 0 5 01 渐近线 2 1 0180 60 3 18012 57 0 3 15 02 0 k k 分离点 方法一 由0 sQsPsQsP得 33 0 8 008 04 33 2 1 2 sss 8 0 1 s不在根轨迹上 舍去 分离点为33 0 j 1 89 0j 题 解图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 31 分离点处 K 值为 014 0 33 0 s sP sQ K 方法二 特征方程为 01 08 07 1 23 Ksss 重合点处特征方程 0 2 2 22232 basaabsbasbsas 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值 根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程为 01 08 07 1 23 KssssD 方法一 令 js 得 26 1 8 0 01 07 1 08 0 01 08 07 1 2 3 23 KK Kjj 方法二 将特征方程列劳斯表为 Ks K s Ks s 1 0 7 1 1 0 8 0 1 07 1 8 01 0 1 2 3 令 1 s行等于 0 得26 1 K 代入 0 s行 得辅助方程 8 0036 17 1 2 1 2 jss 系统根轨迹如题 2 4 2 1 解图所示 2 根轨迹方程 01 5 0 1 2 ss s K 开环零点1 1 z 开环极点5 0 0 21 pp 实轴上的根轨迹区间 0 5 0 1 分离会合点 方法一 sssQssP5 0 1 2 71 1 29 022105 02 0 5 02 1 5 00 2 1 2 2 sss sssssQsPsQsP 71 1 29 0 均在根轨迹上 29 0 为分离点 71 1 为会合点 j 1 5 0 5 0j 题 2 4 2 2 解图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 32 85 517 0 2 21 2 1 dd ss KK sP sQK 方法二 系统特征方程 05 0 1 5 0 2 KsKs 重合点处特征方程 02 222 aassas 联立求解重合点坐标 17 0 29 0 85 5 71 1 5 0 1 5 02 21 2 K as K as Ka Ka 可以证明复平面上的根轨迹是以1 为圆心 以22为半径的圆 教材已证 明 根轨迹如题 2 4 1 2 解图所示 3 开环零点 2 1 z开环极点21 2 1 jp 实轴上的根轨迹区间为 2 分离点 014 2 sssQsPsQsP 24 0 24 452 2 1 s题 2 4 2 3 解图 24 4 1 s为分离点 24 0 2 s不在根轨迹上 舍去 分离点 K 值 47 6 24 4 s sP sQ K 出射角 4 153 2121 221 180 1 jjj P 4 153 2121 221 180 2 jjj P 复平面上的根轨迹是圆心位于 0 2 j 半径为5的圆周的一部分 如题 2 4 1 3 解图所示 4 四个极点23 5 1 4 321 jppp 渐近线 3 2 1 0 315 225 135 45 4 180 12 3 4 3351 k k 4 153 j 2j 2 1 题 2 4 2 3 解图 j 5 1 3j 3j 题 2 4 2 4 解图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 33 实轴上的根轨迹区间为 1 5 分离点 136 5 1 1 2 sssssQsP 0 3 20108108364 323 sssssQsPsQsP 得3 3 2 1 s 均为分离点 16 K 分离角 45 4 180 正好与渐近线重合 出射角 90 2323 123 523 180 3 jjjj P 90 4 P 根轨迹与虚轴的交点 3403 2 1 K 系统根轨迹如题 2 4 1 4 解图所示 2 4 3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 22 4 1 ss K sG试绘制 K由 0变化的闭环根轨迹图 并求出使系统闭环稳定的K值范围 解 系统有两对重极点 4 1 4 32 1 pp 渐近线 5 2 4 4411 3 2 1 0 315 225 135 45 4 180 12 k k 实轴上 的根 轨迹 为两 点 51 ss 也为 分离 点 分离 角均 为 90 2 180 根轨迹与虚轴的交点坐标 系统特征方程 0 2 1 22 Kss 即 0412136 234 Kssss 令 js 代入特征方程 得 0412136 234 Kjj 令上式实部虚部分别等于 0 则有 18 2 0126 0413 2 24 K K 1 5 2 2j 2j j 4 题 2 4 3 解图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 34 该系统根轨迹如题 2 4 3 解图所示 由图可知 当180 K时 闭环系统稳 定 2 4 4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 15 0 1 sss K sG 1 试绘制K由 0变化的闭环根轨迹图 2 用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时的K值范围 3 为使系统的根轨迹通过11j 两点 拟加入串 联微分校正装置 1 s 试确定 的取值 解 1 2 1 2 sss K sG 根据一般根轨迹绘 制法则求得 渐近线与实轴的交点 1 渐近线倾角 300 180 60 实轴上的根轨迹在区间 0 1 2 分离点 舍去 58 1 42 0 2 1 s 19 0 K 根轨迹与虚轴的交点坐标 3 2 Kjs 该系统根轨迹如题 2 4 4 解图所示 2 系统的阶跃响应不出现超调的条件是特征根在左半平面的实轴上 根轨迹 在实轴上的分离点的 K 值已由 1 求得 所以在19 00 K时系统不产生超调 3 串联微分校正环节 1 s 后系统的开环传递函数变为 2 1 1 2 15 0 1 1 sss sK sss sK sG 系统特征方程为 0 1 2 2 1 sKsss 若js 1是根轨迹上的点 则必满足特征方程 代入特征方程 得 1 1 022 022 02222 K K KK KKKjj 2 4 5 已知单位负反馈系统的闭环传递函数为 16 2 ass as sG 1 试绘制参数a由 0变化的闭环根轨迹图 2 判断 3 j 点是否在根轨迹上 1 2 j 2j 2j 题 2 4 4 解图 第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 35 3 由根轨迹求出使闭环系统阻尼比5 0 时 a 的值 解 1 系统的特征方程为 01 16 016 2 2 s as ass 等效开环传递函数为 16 2 s as sG a 由 0变化为一般根轨迹 开环零点0 z 开环极点4 2 1 jp 实轴上的根轨迹在区间 0 分离点 由 0 sQsPsQsP 得016 2 s 解得4 1 s为分离点 4 2 s不在根轨迹上 舍去 8 1 K 共轭复根的出射角 180 180 44 4 180 2 1 p p jjj 复平面的根轨迹是圆心位于 0 0 j 半径为4的圆周的一部分 如题 2 4 5 解图所示 2 把 3 j 代入相角条件中 若满足则是根轨迹上的点 反之则不是 2 1 0 12 11 kkpszs n j j m i i 12 240109150 3 3 180 3 5 180 3 1 180 33 53 3 4 4 111 3 k tgtgtg jjjjsjss js 点 3 j 不在根轨迹上 3 求5 0 等超调线与根轨迹的交点 方 法 一 60 设 等 超 调 线 与 根 轨 迹 交 点 A s坐 标 实 部 为 则 3 js BA 有 162 3 3 2 assjsjs 令等式两边 s 各次项系数分别相等 得 2 2j 2j 4 4j 4j j A