立体几何.02点、线、面位置关系(A级).学生版.doc

点、线、面位置关系高考要求 内容要求层次重难点空间中的线面关系空间线、面的位置关系B1. 理解空间直线、平面位置关系的定义，及公理和定理2 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定3 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 公理1、公理2、公理3、公理4、定理*A线、面平行或垂直的判定C线、面平行或垂直的性质C知识框架知识内容一、 平面的三个公理及推论1. 三个公理：（1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内图形语言表述：如右图：符号语言表述： 作用：作为判断和证明是否在平面内的依据；证明点在某平面内的依据；检验某面是否平面的依据（2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面图形语言表述：如右图，符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使 作用：作为判断和证明两平面是否相交；证明点在某直线上；证明三点共线；证明三线共点（3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线图形语言表述：如右图： 符号语言表述：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线 作用：公理及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法2. 三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面3. 共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面4. 重要方法：（1）证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线（2）证明直线共面通常的方法：先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）；分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；也可利用共面向量定理来证明（3）公理是证明直线共点的依据，应该这样理解：如果、是交点，那么是交线；如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；如果，点是a、b的一个公共点，那么二、 直线与直线位置关系1. 直线与直线的位置关系：（1）两直线共面：如果两条直线在同一平面内（即平行或相交），则两直线共面（2）两直线异面：如果两直线不同在任何一个平面内，则两直线异面2. 求两条异面直线所成的角：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”注意，异面直线所成角的范围是；求异面直线所成角的方法：平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移向量法：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角；补体法3. 两条异面直线的公垂线：（1）定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线；（2）证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直4. 两条异面直线的距离：（1）定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度（2）计算方法：公垂线法； 转化成线面距离(点面距离)； 转化成面面距离 空间向量法三、 直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内：直线上所有的点都在平面内，记作，如图；（2）直线与平面相交：直线与平面有一个公共点；记作，如图；（3）直线与平面平行：直线与平面没有公共点，记作，如图2. 平行线：在同一个平面内不相交的两条直线平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行公理（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等3. 空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线如下图中的空间四边形，它有四条边，两条对角线其中；是三对异面直线四、 平面与平面的位置关系1. 两个平面平行：没有公共点，记为；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：两个平面相交，有一条交线，1画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画如下图所示： 例题精讲1. 空间中直线与直线的位置关系【例1】 （2010湖北）用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：（） 若，则； 若，则； 若，则； 若，则A B C D 【巩固】（2008天津）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A， B ，C， D， ，【例2】 （2009江西）如图，四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A B截面 C D异面直线与所成的角为【巩固】（2007江西）如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）A 点是的垂心 B垂直平面C 的延长线经过点 D直线和所成角为【例3】 （2008辽宁）在正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，都相交的直线 （） A 不存在 B 有且只有两条 C 有且只有三条 D 有无数条2. 空间中直线与平面的位置关系【例4】 （2010山东）在空间中，下列命题正确的是（）A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行【巩固】（2010重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（）A只有1个 B恰有3个 C恰有4个 D有无穷多个【例5】 （2009重庆）三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（）条A1 B2 C3 D1或2【例6】 （2009浙江）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A 若，则 B 若，则C 若，则 D 若，则【巩固】（2011海淀一模）已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是 （ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【例7】 （2009宁夏）正方体棱长为1，线段上有两个动点，且 ， 则下列结论错误的是（） A平面 B，始终在同一个平面内C平面 D三棱锥的体积为定值【例8】 （2008四川）设直线平面，过平面外一点A与，都成角的直线有且只有：（）A 1条 B 2条 C 3条 D 4条【巩固】（2008上海）给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的 条件A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 既非充分又非必要3. 空间中平面与平面的位置关系【例9】 已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行【巩固】若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题正确的是（）A 三条交线为异面直线 B 三条交线两两平行C 三条交线交于一点 D 三条交线两两平行或交于一点【例10】 若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（）A 三个平面共线B有两个平面平行且都与第三个平面相交C 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交D 三个平面两两相交【巩固】 空间四个不同的平面，它们有多种位置关系，从交线数目看，所有可能出现的交线数目的集合是（ ）A 0，1，2，3，4，5，6 B 0，1，3，4，5，6C 0，1，2，3，5，6 D 0，1，3，4【例11】 设是的二面角内一点，平面，平面，分别为垂足，则的长是（）A B C D 【例12】 （2007天津）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A 若，与所成的角相等，则 B 若，则C 若，则 D 若，是【巩固】在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直其中正确的两个命题是（）A 、 B 、 C 、 D 、课堂总结判断或证明线面平行的常用方法有：1利用线面平行的定义（无公共点）；2利用线面平行的判定定理（，）；3利用面面平行的性质定理（，）；4利用面面平行的性质（， ） 判断充要条件的方法是：1若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；2若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；3若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；4若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件课后检测【习题1】 （2011丰台一模）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面有下列四个命题： 若， 则； 若/， ， 则m /； 若， ， ，则； 若， ， ，则其中正确命题的序号是ABCD【习题2】 （2011西城二模）已知六棱锥的底面是正六边形，平面则下列结论不正确的是（ ）A平面B平面C平面D平面【习题3】 （2011朝阳期末）设是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题（1）若，则；（2）若上两点到的距离相等，则；（3）若，则； （4）若，且，则其中正确的命题( )A（1）（2） B（2）（3） C(2)(4) D(4)(3)【习题4】 （2011东城期末）已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的 （ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【习题5】 （2011西城期末）如图，四边形中， ，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是( )ABCDBCDA BC与平面所成的角为D四面体的体积为【习题6】 （2010东城期末）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直； 若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是（ ） A和 B和 C和 D和【习题7】 （2010宣武期末）如图，正方体的棱长为，线段上有一个点E，且，则四棱锥的体积为（ ）A B C D【习题8】 （2010海淀期末）已知为两条不同直线，为两个不同平面，那么使成立的一个充分条件是（ ）A B C D上有不同的两个点