速算与巧算.doc

一、速算基础在进行数学计算时，一般按“先乘除，后加减，括号优先”的顺序进行计算，但遇到一些计算题用常规运算比较麻烦时，就要考虑怎样更简便来计算。这就要求学生打破传统思维，运用发散思维，找出更好的解决办法，更快完成计算任务。在计算时，利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算。这种运算方法称为速算法，也叫心算法。1、速算要点（1）找出最熟悉的速算数或接近数；如0、1、10、100、1000、10000.。（2）套用最基本的运算法则； 如：交换律、结合律、分配律、提取公因素、平方差、完全平方差等。（3）牢记特殊数的计算方法。 如：111.。111 X 111.。111=123.。321（位数小于等于9）2、数学运算定律（1）加法运算定律与性质加法交换律：两个加数交换位置，和不变。公式：a+b+c=(b+a)+c加法结合律：先把前两个数相加或先把后两个数相加，再和另一个数相加，和不变。公式：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)（2）乘法运算定律与性质乘法交换律：两个因数交换位置，积不变。公式：a x b=b x a（3）乘法结合律：先把任意两个数相乘，再和另一个数相乘，积不变。公式：a x b x c=(a x b) x c=a x (bxc)=(a x c)x b（4）乘法分配律两个数与一个数相乘，可以分别先把两个数分别与这一个数相乘，然后再要相加减。公式：(a+b) x c=a x c+b x c (a-b) x c=a x c-b x c2、减法运算定律与性质（1）减法性质：一个数连续减去两个数，可以先把两个数相加，再相减。公式：A-B-C= A-（B+C）差不变的规律：字母公式：A-B=（AN-BN）=（A-B）/N N和B不等于0（2）除法的性质一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，然后再相除。公式：A/B/C= A/（B X C）商不变的规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外），它们的商不变。分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数大小不变。比不变规律：两个相比较的数，扩大或缩小相同的倍数，比值不变。公式：a/b=(an)/(bn)= (a/n)/(b/n) nb不为0二、速算方法1、巧算加法类（1）凑整法如果一组加数中，每一个数与整十、整百、整千、整万都相差不大，我们可以先把这些数先转化为整十、整百、整千、整万的数，然后再计算，叫凑整法。凑整法分为移位分组凑整和加补分组凑整两种类型。例1 计算：872+65+128+35。【分析】通过观察算式，我们发现：872+128=1000；65+35=100；因此，计算时可以先算872+128和65+35。【解答】 872+65+128+35=（872+128）+（65+35） =1000+100=1100 例2 计算：29+297+2998+29995。【分析】算式中的加数都接近整十、整百、整千、整万，计算时我们根据“和不变”规律，给每个加数分别补上（增加）一个数，使它们分别凑成整十、整百、整千、整万的数，同时再减去多加的数，使计算简便。【解答】29+297+2998+29995 =30+300+3000+30000-（1+3+2+5） =33330-11 =33319【评注】本题根据加数的特点，采用“看整”后“调整”（减去多加的数或加上少加的数）的方法。（2）找基准数法如果一组数比较接近的数相加时，可选取其中一个较中间的数作为一个计算的基准数，再把少算的加上，多算的减去。这样的方法就是找基准数法。例1 计算：53+52+46+48+55+49。【分析】算式中的加数都比较接近50，计算时，可以以“50”为计算基础（这个数叫做“基准数”），把每个加数当做50相加，然后再把少加的加上，多加的减去。【解答】 53+52+46+48+55+49=506+（3+2-4-2+5-1） =300+3=303【评注】本题所用的方法叫“基准数法”。选取的“基准数”应尽量接近这些加数的平均数，因此，要先对加数的平均数进行估计，使计算尽量简便。（3）两位数字互换加法 在一个两位数的加式里，如果被加数的十位数和加数的个位数相同，而被加数的个位数又和加数的十位数相同，就将被加数的十位数和个数相加之和再乘以11，即为这个加式的和。 例：58+85 =（5+8）X11 =13 X11 =143 口诀：（首+尾）X112、巧算减法类（1）数字搬家 在连减或加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时，可以带着符号“搬家”，用“字母”表示： a-b-c=a-c-b a-b+c=a+c-b 例1 计算:6367+1682-367 分析：本题中，由于减数367是其中一个加数6367的尾数，因此，我们利用带着符号“搬家”的性质，将加数6367先减去尾数367，结果再与另一个加数运算。 解 6367+1682-367 =6367-367+1682 =6000+1682 =7682【评注】本题所用的方法叫“数字搬家”。通过搬家变成整数，使计算更简便。（2）加括号性质在一个只有加减法运算的算式中，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是加号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。用字母表示：a+b-c=a+(b-c) a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-(b+c)例 2580-158-842解 2580-158-842 =2580-（158+842） =2580-1000 =1580【评注】本题所用的方法叫“加括号的性质”。（3）去括号性质在一个有括号的加减法运算的算式中，将算式中的括号去掉，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。用字母表示：a+（b-c）=a+b-c a-（b+c）=a-b-ca-（b-c）=a-b+c例 3483-（483-256）解 =3483-483+256 =3000+256 =3256【评注】本题所用的方法叫“去括号性质”。（4）补数凑整运算时，如果两数互为补数，我们可以用“搬家”及“添括号的性质”，将两数相加凑整，使运算简便。例 3346-1368+2446+6654-8632-1446解 =（3346+6654）-（1368+8632）+（2446-1446） =10000-10000+1000 =1000【评注】本题所用的方法叫“补数凑整”。（5）找“基准数”法例 计算：6509-285-279-283-278-277。【分析】减数都接近280，也可以运用减法性质，并利用“基准数法”。【解答】6509-285-279-283-278-277 =6509-（285+279+283+278+277） =6509-（2805+5-1+3-2-3） =6509-1402 =5107【评注】本题根据减数的特点，采用减法性质进行简算。（3）两位数字互换减法 在一个两位数的减式里，如果被减数的十位数和减数的个位数相同，而被减数的个位数又和减数的十位数相同，就将被减数的十位数和个数相减之差再乘以9，即为这个减式的差。 例：85-58 =（8-5）X9 =3 X9 =27 口诀：（首-尾）X11（4）首尾换位，中间相同的三位数减法被减数的百位数减去个位数的差乘以9，分别将乘积的十位数值作为百位数，将乘积的个位数值仍作为个位数，两数中间写上一个9（十位数），便是这个头式的差。 例：926-629 =（9-6）X9 =3 X9 =2(9) 7口诀：用被减数的百位数减去个位数，差乘以9的积作为百位和个位数，中间加上9作为十位数。（5）前9尾10减法 十位数以前的数值和为9，个位数和为10。可根据位数将被减数减去50、500、5000。结果扩大2位，即为最终的差。 例：73-27=（73-50）X2 613-387=613-500）X2 =23 X2 =113 X2 =46 =226 8112-1888=（8112-5000）X2 =3112 X2 =6224 口诀：两个互补的数相减，被减数减去位数相同的5的整10倍、100倍数。结果乘以2即为最终的差。3、巧算乘法类（1）分组法几个数相乘时，为了分组能够“凑整”或凑成比较简单的数，常常先把一个因数与另一个数因数进行分组，这种巧算方法叫分组法例 计算 897125解 =（8125）97 =100097 =97000【评注】本题所用的方法叫“分组法”，将8和125分为一组，凑成整数1000。（2）分解分组法几个数相乘时，为了分组为了分组能够“凑整”或凑成比较简单的数，常常需要先把其中一个或几个因数进行分解，再来进行分组。这种巧算方法叫“分解分组法”例 计算：2512532。【分析】算式（1）里面相乘的三个数中，32可以写成84，而25与4的乘积是100，125与8的乘积是1000，这就促使我们思考，能不能先把32写成84，再利用乘法交换律和结合律，把25与4，125与8先分别乘起来，使计算简便。 【解答】 2512532 =2512584 =（254）（1258） =1001000 =100000【评注】本题所用的方法叫“分解分组法”。 根据算式中各因数的特点，进行凑整，使得计算简便。（3）提取公因数法 当几个乘积相加减，而这些乘积中又有相同的因数时，我们可以采用提取公因数的方法进行巧算。如果乘积中另外几个因数相加减的结果正好凑成整十、整百、整千、整万的数，或是是一些比较简单的数，那么计算就更为简便。这种方法叫“提取公因数法”。例 4325-2527+7521+25【分析】这个算式中，加数25可以看成251，7521根据积不变的规律可以看成2563，这样四个乘积中就都有公因数25，于是可以用提取公因数的方法进行巧算。解：4325-2527+7521+25=4325-2527+2563+25=25（43-27+63+1）=2580=2000【评注】本题所用的方法叫“提取公因数法”。 算式中各乘数都包含公因数25，把公因数25提取后，再把加减凑整，使得计算简便。（4）增减补数提取公因数法因数相差不大，而且没有相同的因数，可以通过增减因数数值，再运用提取公因数的方法进行巧算。例：1998199919991998-1998199819991999【分析】本题是求乘积之差，没有相同的因数。计算时，把19991998化成（19991999-1）后，就能出现相同的因数，再运用提取公因数的方法进行巧算。 解：1998199919991998-1998199819991999 =19981999（19991999-1）-1998199819991999 =1998199919991999-19981999-1998199819991999 =19991999（19981999-19981998）-19981999 =199919991-19981999 =19991999-19981999 =10000【评注】本题所用的方法是根据“差不变”规律与“提取公因数”的方法，使得计算简便。4、巧算除法类 除法运算时，应先熟记除法的基本性质和运算规律和性质，然后根据这些规律和性质进行简便运算（1） 乘除法中的“搬家”性质 在连除或者乘除混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着符号“搬家”。用字母表示： abc=acb abc=acb 例1 计算：31002531。【分析】根据“搬家”性质，将两个除数25和31调换位置，使计算更加简便。【解答】31002531 =31003125 =10025 =4【评注】本题根据除数的特点，利用“搬家”的性质进行简便运算。 例2 计算：8025125。【分析】根据“搬家”性质，将两个除数25和2调换位置，使计算更加简便。【解答】 8025125 =8012525 =100025 =40【评注】本题根据除数的特点，利用“搬家”的性质进行简便运算。（2） 加括号性质在一个只有乘、除法运算的算式里，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是乘号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是除号，那么括号里面的运算符号都要改变（乘号变为除号，除号变为乘号）。用字母表示： abc=a(bc) abc =a(bc) abc=a(bc)例1 计算：3100254。【分析】根据“加括号”性质，给25和4这两个数加上括号，乘积正好是100。再用被除数3100除以100，使计算更加简便。【解答】 3100254 =3100（254） =3100100 =31【评注】本题根据“除法性质”及“加括号”的方法进行简便运算。 例2 计算：900728【分析】根据“加括号”性质，给72和8这两个数加上括号，再用900除以72和8的商，使计算更加简便。【解答】900728 =900（728） =9009 =100【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”及“加括号”的方法进行简便运算。 例3 计算：1250729【分析】根据“加括号”性质，给72和8这两个数加上括号，再用900除以72和8的商，使计算更加简便。【解答】1250729 =1250（729） =12508 =10000【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”及“加括号”的方法进行简便运算。（3）去括号性质在一个有括号的乘除法运算的算式里，将算式中的括号去掉，如果括号前面是乘号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是除号，那么去掉括号以后，括号里面的运算符号都要改变，乘号变成除号，除号变成乘号。用字母表示： a(bc) = abca(bc) = abc a(bc) = abc例1 计算： 250（300125）【分析】根据“去括号”性质，先去掉括号，再将250除以125，商为2，再用2乘以300，使计算更加简便。【解答】250（300125） =250300125 =250125300 =2300 =600【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”、“去括号”及“搬家”的方法进行简便运算。 例2 计算： 2800（4014）【分析】根据“去括号”性质，先去掉括号，再进行“搬家”，然后用2800除以14，最后用200除以40，使计算更加简便。【解答】2800（4014） =28004014 =28001440 =20040 =50【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”、“去括号”及“搬家”的方法进行简便运算。 例3 计算： 720（3615）【分析】根据“去括号”性质，先去掉括号，然后用720除以36，最后用20乘以15，使计算更加简便。【解答】720（3615） =7203615 =2015 =300【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”、“去括号”的方法进行简便运算。（4）除法运算性质 两个数的和（或差）除以同一个数，可以用这个数分别去除这个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和（或差）。字母表示为： （a+b）c=ac+bc（a-b）c=ac-bc例1 （72+48）12【分析】括号内的两个数分别是除数的倍数，可用72和48分别除以12，商分别为6和4，最后用6加上4，使运算简便。【解答】（72+48）12 =7212+4812 =6+4 =10 【评注】此题运算了除法的基本性质。例2 （720-108）36【分析】括号内的两个数分别是除数的倍数，可用720和108分别除以36，商分别为20和3，最后用20减去3，使运算简便。【解答】（720-108）36 =72036-10836 =20-3 =17 【评注】此题运算了除法的基本性质。（5）商不变规律 如果被除数和除数同时乘以或除以一个数（零除外），它们的商不变。用字母表示如下： 如果 ab=c 那么 (am）(bm）=c （m0） (am）(bm）=c （m0）例1 47525【分析】根据“商不变”规律，将被除数475和除数25分别扩大4倍，使运算简便。【解答】47525 =（4754）（254） =1900100 =19 【评注】此题运算了商不变规律进行简便运算。例2 36024【分析】根据“商不变”规律，将被除数475和除数25分别缩小12倍，使运算简便。【解答】36024 =（36012）（2412） =302 =15 【评注】此题运算了商不变规律进行简便运算。5、拓展练习（1） 1（23）（34）（45）（56）【分析】此题既繁又有难度，而对于没有学过分数的小学生来说，做出这道题根本不可能。但我们根据除法的运算性质去掉括号后，就会连续出现“AA”，这样就可以巧算了。【解答】1（23）（34）（45）（56） =123344556 =12（33）（44）（55）6 =126 =162 =3【评注】此题运用了“去括号”性质和“加括号”性质，使运算简便