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第十七章 一元二次方程知识点第一节 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程三个条件：（）是整式方程（）含有一个未知数（）未知数的最高次数是，三个条件缺一不可。一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节 一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 由应用直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，达到降次转化之目的因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1 配方法：解方程ax2+bx+c=0 (a0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式 问题：已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根3 .一元二次方程根的判别式求根公式：x=，当b2-4ac0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2=（3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根第三节 一元二次方程的应用知识点 1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2bxc(a0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两个实数根为x1、x2，则从而得到二次三项式因式分解公式：ax2bxc=a(xx1)(xx2)(a0)条件对于二次三项式当=b24ac0时，能分解因式；当=b24ac0时，不能分解因式3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2bxc所对应的一元二次方程ax2bxc=0的两根x1、x2(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2bxc=a(xx1)(xx2)即可说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆(3)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理1、二次三项式的因式分解例1、；(2)4y28y1分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式解：(1)方程的根是(2)方程4y28y1=0的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解4y28y1=0可化为4x28y1=0再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“4”(3)把4分解为22，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变2、形如Ax2BxyCy2的因式分解例2、分解因式5x22xyy2分析：形如Ax2BxyCy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2BxyCy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5，b=2y，c=y2解：关于x的方程5x22xyy2=0的根是点拨：本题将y视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题例3、分解因式3x2y210xy4；分析：将3x2y210xy4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解解：关于xy的方程3(xy)210xy4=0的根是，3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x24x2k，当k取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即=b24ac0；(2)不能分解的条件是0；(3)=0时，二次三项式是完全平方式解：=(4)2432k=1624k(1)当0时，即1624k0，时，二次三项式3x24x2k在实数范围内能分解因式；(2)当0时，即1624k0，时，3x24x2k不能分解因式；(3)当=0时，即1624k=0，时，3x24x2k是一个完全平方式当时，例5、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式=0解：对于二次三项式9x2(m6)xm2，其中a=9，b=(m6)，c=m2，=b24ac=(m6)249(m2)=m224m108原二次三项式是一个完全平方式，=0，即m224m108=0，