【步步高】高三数学大一轮复习 9.8曲线与方程教案 理 新人教A版 .DOC

9.8曲线与方程2014高考会这样考1.考查曲线方程的概念；2.考查直接法、定义法、相关点法求轨迹方程；3.和向量、平面几何知识相结合求动点轨迹，并研究轨迹的有关性质复习备考要这样做1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程；2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法1 曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线c(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2 求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点p(x，y)(3)列式列出动点p所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程3 两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题难点正本疑点清源求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入法(相关点法)：动点p(x，y)依赖于另一动点q(x0，y0)的变化而变化，并且q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点p(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程1 已知点a(2,0)、b(3,0)，动点p(x，y)满足x26，则点p的轨迹方程是_答案y2x解析(3x，y)，(2x，y)，(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.2 已知两定点a(2,0)、b(1,0)，如果动点p满足|pa|2|pb|，则点p的轨迹所包围的图形的面积为_答案4解析设p(x，y)，由|pa|2|pb|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.p的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆即轨迹所包围的面积等于4.3 方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()a两条直线 b两条射线c两条线段 d一条直线和一条射线答案d解析原方程可化为或10，即2x3y10 (x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线4 已知点p是直线2xy30上的一个动点，定点m(1,2)，q是线段pm延长线上的一点，且|pm|mq|，则q点的轨迹方程是 ()a2xy10 b2xy50c2xy10 d2xy50答案d解析由题意知，m为pq中点，设q(x，y)，则p为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.5 若点p到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为 ()a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线答案d解析依题意，点p到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点p的轨迹是抛物线.题型一直接法求轨迹方程例1已知m(4,0)，n(1,0)，若动点p满足6|.(1)求动点p的轨迹c的方程；(2)设q是曲线c上任意一点，求q到直线l：x2y120的距离的最小值思维启迪：设动点坐标，列式化简即可解(1)设动点p(x，y)，则(x4，y)，(3,0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化简得3x24y212，即1.点p的轨迹方程是椭圆c：1.(2)由几何性质意义知，l与平行于l的椭圆c的切线l的距离等于q与l的距离的最小值设l：x2yd0.将其代入椭圆方程消去x，化简得：16y212dy3(d24)0.144d2192(d24)0d4，l和l的距离的最小值为.点q与l的距离的最小值为.探究提高(1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点，列方程化简其关键是根据条件列出方程来(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上 如图所示，过点p(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于a，l2交y轴于b，求线段ab中点m的轨迹方程解设点m的坐标为(x，y)，m是线段ab的中点，a点的坐标为(2x,0)，b点的坐标为(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.线段ab中点m的轨迹方程为x2y50.题型二定义法求轨迹方程例2已知两个定圆o1和o2，它们的半径分别是1和2，且|o1o2|4.动圆m与圆o1内切，又与圆o2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线思维启迪：利用两圆内、外切的充要条件找出点m满足的几何条件，结合双曲线的定义求解解如图所示，以o1o2的中点o为原点，o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|o1o2|4，得o1(2,0)、o2(2,0)设动圆m的半径为r，则由动圆m与圆o1内切，有|mo1|r1；由动圆m与圆o2外切，有|mo2|r2.|mo2|mo1|3.点m的轨迹是以o1、o2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支a，c2，b2c2a2.点m的轨迹方程为1 (x)探究提高求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量 已知点f，直线l：x，点b是l上的动点若过b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m，则点m的轨迹是 ()a双曲线 b椭圆c圆 d抛物线答案d解析由已知：|mf|mb|.由抛物线定义知，点m的轨迹是以f为焦点，l为准线的抛物线题型三相关点法求轨迹方程例3设f(1,0)，m点在x轴上，p点在y轴上，且2，当点p在y轴上运动时，求点n的轨迹方程思维启迪：点n的运动依赖于点p，可以通过p、m、n三点坐标关系探求点n的轨迹方程解设m(x0,0)，p(0，y0)，n(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即.x0，即y24x.故所求的点n的轨迹方程是y24x.探究提高“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 已知长为1的线段ab的两个端点a、b分别在x轴、y轴上滑动，p是ab上一点，且，求点p的轨迹c的方程解设a(x0,0)，b(0，y0)，p(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因为|ab|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化简得y21.点p的轨迹方程为y21.利用参数法求轨迹方程典例：(14分)已知抛物线y24px (p0)，o为顶点，a、b为抛物线上的两动点，且满足oaob，如果omab于m点，求点m的轨迹方程审题视角(1)点m的运动是由a点的运动引起的，而a的变动又和oa的斜率有关(2)若oa的斜率确定，a的坐标确定，m的坐标也确定，所以可选oa的斜率为参数规范解答解设点m的坐标为(x，y)，直线oa的方程为ykx，1分显然k0，则直线ob的方程为yx.2分由解得a点的坐标为，类似地可得b点的坐标为(4pk2，4pk)，6分从而知当k1时，kab.故得直线ab的方程为y4pk(x4pk2)，即y4px， 9分直线om的方程为yx.10分可知m点的坐标同时满足，由及消去k得4pxx2y2，即(x2p)2y24p2 (x0)，12分当k1时，容易验证m点的坐标仍适合上述方程故点m的轨迹方程为(x2p)2y24p2(x0)，它表示以点(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆14分温馨提醒(1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简捷但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手(2)个别考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终结论(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程.方法与技巧求轨迹的方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程(3)代入法(相关点法)：当所求动点m是随着另一动点p(称之为相关点)而运动如果相关点p所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法失误与防范1 求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义2 求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 方程(x2y24)0的曲线形状是()答案c解析由题意可得xy10或它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分2 abc的顶点a(5,0)，b(5,0)，abc的内切圆圆心在直线x3上，则顶点c的轨迹方程是 ()a.1 b.1c.1 (x3) d.1 (x4)答案c解析如图，|ad|ae|8，|bf|be|2，|cd|cf|，所以|ca|cb|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以a、b为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1 (x3)3 动点p为椭圆1 (ab0)上异于椭圆顶点(a,0)的一点，f1、f2为椭圆的两个焦点，动圆c与线段f1p、f1f2的延长线及线段pf2相切，则圆心c的轨迹为 ()a椭圆 b双曲线c抛物线 d直线答案d解析如图所示，设三个切点分别为m、n、q.|pf1|pf2|pf1|pm|f2n|f1n|f2n|f1f2|2|f2n|2a，|f2n|ac，n点是椭圆的右顶点，cnx轴，圆心c的轨迹为直线4 平面直角坐标系中，已知两点a(3,1)，b(1,3)，若点c满足12(o为原点)，其中1，2r，且121，则点c的轨迹是()a直线 b椭圆 c圆 d双曲线答案a解析设c(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一条直线二、填空题(每小题5分，共15分)5 p是椭圆1上的任意一点，f1、f2是它的两个焦点，o为坐标原点，则动点q的轨迹方程是_答案1解析由，又22，设q(x，y)，则(x，y)，即p点坐标为，又p在椭圆上，则有1，即1.6 已知m(2,0)，n(2,0)，则以mn为斜边的直角三角形的直角顶点p的轨迹方程是_答案x2y24 (x2)解析设p(x，y)，因为mpn为直角三角形，|mp|2|np|2|mn|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.m，n，p不共线，x2，轨迹方程为x2y24 (x2)7 过椭圆1 (ab0)上任意一点m作x轴的垂线，垂足为n，则线段mn中点的轨迹方程是_答案1解析设mn的中点p(x，y)，则点m(x,2y)在椭圆上，1，即1.三、解答题(共22分)8 (10分)已知点a(1,0)，直线l：y2x4，点r是直线l上的一点，若，求点p的轨迹方程解，r，a，p三点共线，且a为rp的中点，设p(x，y)，r(x1，y1)，则由，得(1x1，y1)(x1，y)，则，即x12x，y1y，将其代入直线y2x4中，得y2x，点p的轨迹方程为y2x.9 (12分)(2011陕西)如图，设p是圆x2y225上的动点，点d是p在x轴上的投影，m为pd上一点，且|md|pd|.(1)当p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的长度解(1)设m的坐标为(x，y)，p的坐标为(xp，yp)，由已知得p在圆上，x2(y)225，即轨迹c的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入c的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段ab的长度为|ab|.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 已知点m(3,0)，n(3,0)，b(1,0)，动圆c与直线mn切于点b，过m、n与圆c相切的两直线相交于点p，则p点的轨迹方程为()ax21 (x1) bx21 (x0) dx21 (x1)答案a解析设另两个切点为e、f，如图所示，则|pe|pf|，|me|mb|，|nf|nb|.从而|pm|pn|me|nf|mb|nb|4221)2 有一动圆p恒过定点f(a,0) (a0)且与y轴相交于点a、b，若abp为正三角形，则点p的轨迹为()a椭圆 b双曲线 c抛物线 d圆答案b解析设p(x，y)，动圆p的半径为r，由于abp为正三角形，p到y轴的距离dr，即|x|r.而r|pf|，|x|.整理得：(x3a)23y212a2，即1.点p的轨迹为双曲线3 点p是以f1、f2为焦点的椭圆上一点，过焦点作f1pf2外角平分线的垂线，垂足为m，则点m的轨迹是 ()a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线答案a解析如图，延长f2m交f1p延长线于n.|pf2|pn|，|f1n|2a.连接om，则在nf1f2中，om为中位线，则|om|f1n|a.m的轨迹是圆二、填空题(每小题5分，共15分)4 设p是圆x2y2100上的动点，点a(8,0)，线段ap的垂直平分线交半径op于m点，则点m的轨迹为_答案椭圆解析如图，设m(x，y)，由于l是ap的垂直平分线，于是|am|pm|，又由