【志鸿全优设计】高中数学 第二章 第2节对函数的进一步认识(第3课时)目标导学 北师大版必修1.doc

2.3 映射 1了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是否为映射2理解映射与函数的区别与联系1映射设两个非空集合a与b之间存在着对应关系f，而且对于a中的_元素x，b中总有_的一个元素y与它对应，就称这种对应为从a到b的映射，记作f：ab.a中的元素x称为_，b中的元素y称为x的_，记作f：xy. 映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是特殊的对应【做一做11】 给出下列4个对应，是映射的是( )a bc d【做一做12】 在映射f：ab中，下列说法中不正确的为( )集合b中的任一元素，在集合a中至少有一个元素与它相对应集合b中至少存在一个元素在集合a中无原像集合b中可能有元素在集合a中无原像集合b中可能有元素在集合a中的原像不止一个a b c d2一一映射当映射f：ab满足：(1)a中的每一个元素在b中都有唯一的像与之对应；(2)_中的不同元素的_也不同；(3)b中的每一个元素都有_，那么就称映射f：ab是映射，映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的_ 映射和一一映射的区别与联系映射f：ab一一映射f：ab定义对于集合a中的每一个元素x，b中总有唯一的一个元素y与之对应，就称这样的对应为a到b的映射a到b的映射满足：a中的每一个元素在b中都有唯一的像与之对应，a中的不同元素的像也不同；b中的每一个元素都有原像，则该映射又称为一一映射对应方式多对一或一对一一对一原像b中的一些元素可能没有原像b中的任何元素有唯一的原像像a中的几个元素可能对应同一个像a中的任何元素有唯一的像方向性b到a不一定是映射b到a是一一映射【做一做2】 下列对应是集合m到集合n的一一映射的是( )amnr，f：xy，xm，ynbmnr，f：xyx2，xm，yncmnr，f：xy，xm，yndmnr，f：xyx3，xm，yn3函数与映射函数是特殊的映射，对于映射f：ab，当两个集合a，b均为非空_时，则从a到b的映射就是函数，所以函数一定是_，而映射不一定是函数在函数中，_的集合称为函数的定义域，_的集合称为函数的值域【做一做3】下列对应为a到b的函数的是( )aar，bx|x0，f：xy|x|baz，bn，f：xyx2caz，bz，f：xyda1,1，b0，f：xy0答案：1每一个唯一原像像【做一做11】 c【做一做12】 a2(2)a像(3)原像映射【做一做2】 d用排除法，选项a中集合m的元素0，在f下，n中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；选项b中集合m的元素1，在f下的像都是1，故排除b；选项c中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选d.3数集映射原像像【做一做3】 d由函数的定义可知，对于选项a,0r，且|0|0b，故a项中的对应不是a到b的函数；对于选项b,0z，且020n，故b项中的对应不是a到b的函数；对于选项c，当x0时，如2z，但无意义，故c项中的对应不是a到b的函数；对于选项d，是多对一的情形，符合函数的定义，是a到b的函数1映射f：ab到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：映射中的两个集合a和b可以是数集、点集或由图形组成的集合等；映射是有方向的，a到b的映射与b到a的映射往往是不一样的；映射要求对集合a中的每一个元素在集合b中都有像，并且像是唯一的；a中两个(或多个)元素可能有相同的像，这样集合a中元素的任意性和在集合b中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；映射允许集合b中存在元素在a中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”2如何理解一一映射的概念？剖析：(1)一对一：一一映射f：ab中，要求原像不同，像也不同集合a中不同的元素在集合b中有不同的像，集合b中的元素都有不同的原像(2)可逆性：若映射f：ab是一一映射，则集合b到集合a的映射一定是一一映射f：ba.题型一 判断映射【例1】下列对应是不是从a到b的映射？(1)ar，b正实数，f：x|x|；(2)ax|x2，xn，by|y0，yz，f：xyx22x2；(3)ax|x0，by|yr，f：xy.分析：从定义出发来判断从集合a到集合b的映射，是指按照某种对应法则f，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应反思：映射应满足存在性：集合a中的每一个元素在集合b中都有对应元素；唯一性：集合a中的每一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应题型二 求某一映射中的像或原像【例2】 已知集合ar，b(x，y)|x，yr，f：ab是从a到b的映射，f：x(x1，x21)，求a中元素在b中的对应的元素和b中元素在a中的对应元素分析：把x代入对应关系中可求得在b中对应的元素，在a中对应的元素可通过列方程组解出反思：求某一映射中的像或原像，要准确地利用映射的关系，恰当地列出方程或方程组题型三 求映射的个数问题【例3】 已知aa，b，c，b1,0,1，映射f：ab满足f(a)f(b)f(c)，求映射f：ab的个数分析：a中元素在f下对应b中的一个、两个或三个，并且满足f(a)f(b)f(c)，需分类讨论反思：理解映射的概念是解决本题的关键；另外，依映射的定义，若集合a中有m个不同元素，集合b中有n个不同元素，则a到b共有nm个映射，b到a共有mn个映射答案：【例1】 解：(1)中，当x0a时，|x|0b，即a中的元素0按对应法则f：x|x|在b中没有像，(1)不是映射(2)中，yx22x2(x1)210，对任意的x，总有y0.又当x2，且xn时，x22x2必为整数，即yz.由ax|x2，xn，by|y0，yz知，当xa时，x22x2b，对a中每一个元素x，按对应法则f：xyx22x2，在b中都有唯一的y与之对应，(2)是映射(3)中，对任意的xax|x0，按对应法则f：xy，存在两个yby|yr，即y和y与之对应，(3)不是映射【例2】 解：将x代入对应关系，可求出其在b中的对应元素为(1,3)由得x.所以在b中的对应元素为(1,3)，在a中的对应元素为.【例3】 解：(1)当a中三个元素都是对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有1个映射(2)当a中三个元素对应b中两个元素时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为101,011，(1)01，0(1)1.(3)当a中的三个元素对应b中的三个元素时，有2个映射，分别是(1)10,1(1)0.因此满足题设条件的映射有7个 1 设集合aa，b，c，集合br，以下对应关系中，一定能建立集合a到集合b的映射的是( )a对集合a中的数开平方b对集合a中的数取倒数c对集合a中的数取算术平方根d对集合a中的数立方2 已知映射f：ab，其中集合a3，2，1,1,2,3,4，集合b中的元素都是a中的元素的映射f的像，且对任意的aa，在b中和它对应的元素是|a|，则集合b中的元素的个数是( )a4 b5 c6 d73 设集合a，b都是坐标平面上的点集(x，y)|xr，yr，映射f：ab使集合a中的元素(x，y)映射成集合b中的元素(xy，xy)，则在f下，像(2,1)的原像为( )a(3,1) b. c. d(1,3)4 设集合a1,2,3，集合ba，b，c，那么从集合a到集合b的一一映射的个数为_5 判断下列对应是不是从集合a到集合b的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)a1,2,3,4，b3,4,5,6,7,8,9，对应关系f：x2x1；(2)a平面内的圆，b平面内的矩形，对应关系是“作圆的内接矩形”；(3)a1,2,3,4，b，对应关系f：x.答案：1d当a0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则a，c项错；当a0时，对a取倒数无意义，则b项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合a中的数立方能建立映射2aaa，|a|1,2,3,4，即b1,2,3,43b故应选b.46集合a中有3个元素，集合b中有3个元素，根据一一映射的定义可知从a到b的一一映射有6个5解：(1)是映射也是函数，但不是一