柯西不等式和排序不等式.doc

柯西不等式设，及，为任意实数，则有不等式成立，其中当且仅当=0或（）等号成立。这就是著名的柯西（）不等式。 柯西不等式的证明利用二次函数证明柯西不等式 构造二次函数 = 且恒成立即 其中当且仅当即 时等号成立。利用不等式的基本性质证明柯西不等式根据高中所学习的基本不等式，实数所以，要证明 ，只需证 证明： =故 当且仅当(为常数，)时，上式等号成立。利用数学归纳法证明（1）当时，有=当且仅当，即（为常数，）时，上式等号成立。（2）假设当时，命题成立。（3）当时，有 = 当且仅当，所有的同号。即（为常数，）时，等号成立。由数学归纳法命题成立。 由算术平均数推导得出柯西不等式如果那么（当且仅当时取“”号）。将算术平均数变形可得： 对且，设，（）由不等式，有将个不等式相加得 故 则有当且仅当且所有的同号，即（为常数，）时，上式等号成立。利用向量的内积证明柯西不等式设两个向量=,=，内积由=所给出，则有，由 （不等式） 有即 故 当且仅当即(为常数，)时，上式等号成立。利用不等式证明柯西不等式关于函数，（）,故是上的凸函数，由不等式（其中,）即 令，则有 即 故原不等式成立。 利用二次型正定性证明柯西不等式由完全平方公式：对任意数 （）将个不等式相加得设二次型 故为半正定，必有二次型矩阵正定则 ,即 当且仅当时等号成立，故原不等式成立。柯西不等式的变形在中学数学中，常常运用的是柯西不等式的变形，这里我们给出四种柯西不等式的变形公式变形1 ,有，等号成立当且仅当变形2 ，有，等号成立当且仅当变形3 ，有，等号成立的充分必要条件是（）变形4 ，有，等号成立的充分必要条件是。4 柯西不等式的推广定理4.1 设且，,（，,）,则即 当且仅当=时等号成立。证明 （由数学归纳法证明）（1） 当时，由柯西不等式知定理成立（2） 假设当时，不等式成立即 （3） 则当时，由归纳假设 = = (1)当且仅当=时等号成立 = (2)当且仅当时等号成立将（1），（2）两式相乘，得 又因为 =所以 当且仅当 时等号成立。因此 所以，当时，不等式也成立故对任意,不等式都成立。排序不等式设有两组数 a_1 , a_2 , a_n; b_1 , b_2 , b_n 满足 a_1 a_2 a_n, b_1 b_2 b_n ，则有 a_1 b_n + a_2 b_n-1+ . + a_n b_1 a_1 b_t_1 + a_2 b_t_2 + a_n b_t_n a_1 b_1 + a_2 b_2 + +a_n b_n. 式中t_1，t_2，t_n是1，2，n的任意一个排列， 当且仅当 a_1 = a_2 = . = a_n 或 b_1 = b_2 = . = b_n 时等号成立。 排序不等式的证明：逐步调整法。 当n=2时，不妨设a_1 a_2， b_1 b_2，那么 a_1 b_1 + a_2 b_2 - ( a_2 b_1 + a_1 b_2) = ( a_1 - a_2 )( b_1 - b_2 ) 0. 因此n=2时成立。 当n2时，只需分别证明两个不等式即可。 不妨设a_1 a_2 . a_n，b_1 b_2 . b_n。 A. 乱序和同序和 考察 a_1 b_t_1 + a_2 b_t_2 + . + a_n b_t_n。 如果t_1=1，那么考察t_2。如果t_i=i，i=1, ., k，那么考察t_k+1。 现不妨设第一个满足t_kk的项脚标为m，即a_1 b_1 + a_2 b_2 + . + a_m b_t_m + . + a_n b_t_n，t_mm。 并且找到含有b_m的项，设其为a_l b_m，lm。 于是，由于a_m a_l，b_t_m b_m，所以a_m b_m + a_l b_t_m a_m b_t_m + a_l b_m. 因此，这两项排成同序和后变大。 调整后的式子变为 a_1 b_1 + a_2 b_2 + . + a_m b_t_m + . + a_n b_t_n a_1 b_1 + a_2 b_2 + . + a_m b_m + . + a_n b_t_n 因为这样的项是有限的，所以经过有限步调