山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学 132柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学案 新人教版必修2.doc

山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-3-2柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习要求1掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；2了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；3会求简单组合体的体积及表面积学法指导通过对几何体的体积及球的体积和面积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心.注意：1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力题型多为选择、填空题.1 柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体v柱体 (s为底面面积，h为高)，v圆柱 (r为底面半径)锥体v锥体 (s为底面面积，h为高)，v圆锥 (r为底面半径)台体v台体 (s，s分别为上、下底面面积，h为高)，v圆台 (r，r分别为上、下底面半径)2.球的体积：球的半径为r，那么它的体积v .3.球的表面积：球的半径为r，那么它的表面积s . 一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，问题1我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式如何表示？答v正方体a3，v长方体abc，v圆柱r2h，v圆锥r2h.问题2根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？答如果设s为底面面积，h为高，一般柱体的体积公式为v柱体sh.问题3等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如何？答从圆柱和圆锥的体积公式，得等底、等高的圆柱的体积是圆锥的3倍；等底等高的圆锥、棱锥之间的体积相等问题4根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式？答v锥体sh(s为底面面积，h为高)问题5台体的上底面积s，下底面积s，高h，则台体的体积是怎样的？圆台的体积公式如何用上下底面半径及高表示？答v台(ss)h.v圆台(ss)hh(r2rrr2)(r、r分别为圆台上底、下底半径)一、棱柱、棱锥、棱台的体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用1已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线的长是2，则这个长方体的体积是()a6 b12 c24 d48解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则 x2(2x)2(3x)2(2)2，解得x2.三条棱长分别为2、4、6. v长方体24648.答案d2.直三棱柱abca1b1c1的体积为v，点p、q分别在侧棱aa1和cc1上如图，ap=c1q，则四棱锥bapqc的体积为（）av/2bv/3 cv/4dv/5=3.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为_答案解析本题考查几何体体积的求法，易知正三棱锥的侧棱长为，则其体积为()3.(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为a、b、c，则其体积为abc) 4.如图所示，e、f分别是边长为1的正方形abcd边bc、cd的中点，沿线af，ae，ef折起来，则所围成的三棱锥的体积为( )a.b.c. d.答案d 解析设b、d、c重合于g。5.（2012上海文数）已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 96 。解析：考查棱锥体积公式6.(2012新课标)已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc2，则此棱锥的体积为()a.b.c. d.【解析】sc是球o的直径，cascbs90.babcac1，sc2，asbs.取ab的中点d，显然abcd，abcs.ab平面cds.在cds中，cd，ds，sc2，利用余弦定理可得coscds.故sincds.scds，vvbcdsvacds scdsbdscdsad scdsba 1.【答案】a7.（2012江西理数）如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 。【答案】 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。8.已知高为3的棱柱abca1b1c1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥b1abc的体积为() a. b. c. d.解析vsh3. 答案：d9.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为_解析利用三棱锥的体积公式直接求解v d1edf vfdd1esd1deab111.10. （2011山东文数）如图，正方体的棱长为1，e为线段上的一点，则三棱锥的体积为.【解析】以为底面，则易知三棱锥的高为1，故. 【答案】11.如图所示的三棱锥pabc的三条侧棱两两垂直，且pb1，pa，pc，求其体积(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直) 解由题意知papb，papc，pbpcp，所以pa垂直平面pbc.所以pa是三棱锥apbc的底面pbc上的高，且spbcpbpc(因pbpc)，v三棱锥pabcv三棱锥apbcpaspbc，即三棱锥pabc的体积为.12.在棱长为a的正方体abcd-abcd中，p、q是对角线ac上的点，若pq=，则三棱锥p-bdq的体积为 （ ）a b c d不确定答案：a 13.四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积（ ）abcd以上全不正确答案：a 14.（2008四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( b )（） （） （） （）【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则 故选b【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；15.如图，三棱柱 上一点，求 解法一：设 的距离为 把三棱柱 为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍.解法二： 小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，有利于体积变换.例 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为()a6 b. c2 d2解析因正六棱锥的高为2，所以vsh62.例 如图所示，已知高为3的棱柱abcabc的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥babc的体积为()a.b.c. d.答案d解析棱柱的高为3，b到底面abc的距离，即棱锥babc的高为3，体积v123.例 (0910学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为()a1b.c.d.答案d解析由三视图知，该几何体是三棱锥体积v111.例 一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱容器内底面正三角形边长为2，棱柱的内高为3，将一侧面置于水平桌面上，测得液体高度为，现将容器底面放于水平桌面上，则容器内液面高度为()a. b.c. d3答案c解析由题意可知，侧面置水平桌面上时，容器内的液体是一个四棱柱，高为3，底面是一梯形，梯形的下底是2，高是，可求得上底长为1，故体积v3，设直立正放于桌面上时，液面高度为x，则22x，x.例 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为()a32 b28c24 d20答案b解析上底面积s16226，下底面积s264224，体积v(s1s2)h(624)228.例 已知三棱柱abca1b1c1的体积为v，p、q分别在侧棱a1a和c1c上，且apc1q，则四棱锥bapqc的体积是()a.v b.vc.v d.v答案b解析vbapqcvbacc1a1vbacc1vc1abcv.例 (2010天津理，12)一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为_答案解析由三视图知，该几何体由一个高为2，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为221112.例 (08江西理)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点p.如果将容器倒置，水面也恰好过点p(图2)有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点p任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点p若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：_(写出所有真命题的代号)答案解析正放时，里边有一个正四棱锥实心装饰块，正放与倒置时，水面都经过正四棱锥顶，容器内水的体积一定，错，对侧面水平放置时，正四棱锥的体积，在水面上、下各一半，容器的容积上、下各一半，水面恰好过点p，但任意摆放时，水面上、下部分正四棱锥体积不等，故水面不过p点，对，错例 (09天津文)如图是一个几何体的三视图若它的体积是3，求a的值解析由三视图知，几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱v2a33，a.例 (07宁夏、海南)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()a.cm3 b.cm3c2000cm3 d4000cm3答案b解析由俯视图知此几何体的底面为一个边长为20的正方形，结合正视图、侧视图知，此几何体为四棱锥，高为20，所以其体积为202020cm3，故选b.例 如图，三棱柱abca1b1c1中，若e、f分别为ab、ac 的中点，平面eb1c1将三棱柱分成体积为v1、v2的两部分，那么v1v2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为s，体积为v，则v=v1+v2sh。e、f分别为ab、ac的中点，saef=s,v1=h(s+s+)=shv2=sh-v1=sh，v1v2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。例 已知四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求这个四面体体积的所有可能的值。解：根据已知条件及构成三角形的条件满足要求的四面体应分为三类。 （1）如图1，四面体各棱ab=ac=ad=2，bc=cd=bd=1，则ao=，所以四面体的体积v=。（2）如图2，四面体各棱ac=ad=2，ab=1，bc=bd=2，cd=1，设m、n分别为ab、cd的中点，am=。四面体的体积为v=（3）如图形，四面体各棱ab=ac=ad=2，bd=bc=2，cd=1，设m、n分别为ab、cd的中点，am=，四面体的体积为v=故四面体的所有可能的体积为或或二、旋转体的体积1.(2012上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_【解析】如图，由题意知l22，l2.又展开图为半圆，l2r.r1，故圆锥的高为，体积vr2h.2已知圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，则这个圆台的体积是 ()a. b2 c. d.解析s1，s24，r1，r2，s6(rr)l，l2，h.v(142).答案d3把由曲线y|x|和y2围成的图形绕x轴旋转360，所得旋转体的体积为_解析由题意，y|x|和y2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥v圆柱22416，2v圆锥2222，所求几何体体积为16.答案4已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_解析因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积v122.答案5若直角梯形的一个底角为45，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5)，求这个旋转体的体积解如图所示，在梯形abcd中，abcd，a90，b45，绕ab边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体设cdx，abx，则adabcd，bcx.s表s圆柱底s圆柱侧s圆锥侧ad22adcdadbc2xxx2.根据题设，x2(5)，则x2.所以旋转体体积vad2cdad2(abcd)12212(32).例 圆柱有一个内接长方体ac1，长方体对角线长是10cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100 cm2，求圆柱的体积解设圆柱底面半径为r cm，高为h cm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则.v圆柱shr2h5210250(cm3)圆柱体积为250 cm3.例 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则h.例 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则h.例 已知圆柱的侧面展开图矩形面积为s，底面周长为c，它的体积是()a. b.c. d.答案d解析设圆柱底面半径为r，高为h，则，r，h.vr2h2.例 体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为()a54 cm3 b54cm3c58cm3 d58cm3答案a解析由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26， 小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54 cm3，故选a.例 (0910学年泰安高模)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为()a8 b2c4 d答案d解析由三视图可知，该几何体是底半径为1，高为2的圆柱，沿经过轴的截面分割开的半个圆柱，故其体积v(12)2.例 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是()a1:1 b1:6 c1:7 d1:8答案c解析如图，设圆锥底半径obr，高poh，o为po中点，po，oa，v圆锥po2r2h.v圆台oor2h.，故选c.点评由圆锥的平行于底面的截面性质，截得小圆锥与原来圆锥的高的比为1:2，故体积比为1:8，因而上、下两部分体积比为1:7.例 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1:3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()a1:3 b1: (1)c1:9 d. :2答案b解析由面积比为1:3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1:，故截面把圆锥母线分为1: (1)两部分，故选b.例 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180(如图)，那么圆台的体积是_答案cm3解析180360，l20h10，v(rrr1r2)h(cm3)例 已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为_答案7解析由已知圆台上、下底面积分别为s上，s下4.则v圆台(4)37.例 底半径为1，高为1的圆柱，内接长方体如图，设矩形abcd的面积为s，长方体a1b1c1d1abcd的体积为v，设矩形abcd的一边长abx.(1)将s表达为x的函数；(2)求v的最大值解析(1)矩形abcd内接于圆o，ac为o的直径，ac2，abx，bc，sabbcx(0x2)(2)长方体的高aa11，vsaa1x，0x2，0x2r1，则(rr)12，2(r2r1)6解得r11，r22，r2r11，故选a.例 两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()a2 b.c. d.答案c.解析设大球半径为r，则r32，r，故选c.例 若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为()a21 b23c2 d25答案a解析r2hr3h2r，故选a.例 湖面上漂着一个球，湖面结冰后将球取出，冰面上留下了一个面直径为24，深为8的空穴，则球的半径为()a8 b12c13 d8答案c解析122(r8)2r2，r13.故选c.例 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_答案3解析r34r2r3.例 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和400cm2.求球的表面积解析如图为球的过球心的截面，由球的截面性质知，ao1bo2，且o1、o2分别为两截面圆的圆心，则oo1ao1，oo2bo2，设球的半径为r.o2b249，o2b7cm，同理o1a2400，o1a20cm.设oo1xcm，则oo2(x9)cm.在rtoo1a中，r2x2202，在rtoo2b中，r2(x9)272，x220272(x9)2，解得x15，r2x2202252，r25cm.s球4r22 500cm.球的表面积为2 500cm2.例 如图99，一个底面半径为r的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加r2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=r2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。例 体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是s1、s2、s3，试比较它们的大小解析设正方体的棱长为a，球的半径为r，等边圆柱的底面半径为r，则s16a2，s24r2，s36r2.由题意知，r3a3r22r，ra，ra，s2424a2a2，s3626a2a2，s23a2a2，即s1s3.s1、s2、s3的大小关系是s2s3s1.1.（2012辽宁文数）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（a）4 （b）3 （c）2 （d）解析：选a.由已知，球的直径为，表面积为2.（2012湖北文数）圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm.【答案】4【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.3.已知过球面上三点a、b、c的截面到球心o的距离等于球半径的一半，且ab18 cm，bc24 cm，ac30 cm，求球的体积和表面积【答案】【解析】ab2bc2ac2，abc是直角三角形，abc90，过a、b、c三点的截面圆的半径为ac15 cm.设球的半径为r，则r2()2152.r2300，r10 cm.v球r34 000 cm3.s球4r21 200 cm2.4.用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为a. b. c. d. 答案：b点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。5已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。6.（2008四川理，8）设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )（）（）（）（）【解】：设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，则： 这三个圆的面积之比为： 故选d【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；7.（2012四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点m，n，那么m、n两点间的球面距离是（a） （b） （c） （d）解析：由已知，ab2r,bcr,故tanbac cosbac连结om，则oam为等腰三角形am2aocosbac，同理an，且mncd 而acr,cdr故mn：cdan:ac mn，连结om、on，有omonr于是cosmon所以m、n两点间的球面距离是 答案：a四、简单组合体的表面积和体积例1如图，梯形abcd中，adbc，abc90，ada，bc2a，dcb60，在平面abcd内过点c作lcb，以l为轴旋转一周求旋转体的表面积和体积解在梯形abcd中，abc90，adbc，ada，bc2a，dcb60，cd2a，abcdsin 60a，ddaa2ad2bc2ad2a，dodda.由于以l为轴将梯形abcd旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a；圆锥的母线长2a，底面半径a.圆柱的侧面积s122aa4a2，圆锥的侧面积s2a2a2a2，圆柱的底面积s3(2a)24a2，圆锥的底面积s4a2，旋转体的表面积ss1s2s3s5(49)a2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积v柱sh(2a)2a4a3.v锥sha2aa3.vv柱v锥4a3a3a3.小结求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减跟踪训练1在abc中，ac3，bc4，ab5，以ab所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积解过c点作cdab，垂足为d.abc以ab所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥高的和为ab5，底面半径dc，故s表dc(bcac).vdc2addc2bddc2(adbd).即所得旋转体的表面积为，体积为.例2 四边形，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积解：例3 如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.解： 小结：此题若用 计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用导出来，我们用 的体积之间有比例关系，可以直接求出.五、由三视图还原几何体并求体积三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它的长和高，侧视图反映它的宽和高。1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a. b3 c. d6解析将三视图还原为实物图求体积由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，2.一几何体的三视图如图所示(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积解(1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm，高为20 cm的圆柱，上部为底面直径为8 cm，母线长为5 cm的圆锥易求得圆锥高h3(cm)，体积v4220423336(cm3)，表面积s42242045196(cm2)该几何体的体积为336 cm3，表面积为196 cm2.3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a22 b42c2 d4解析该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为()2，所以该几何体的体积为2.4(2010陕西文，8)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()a2 b1c. d.答案b解析由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为v11.解析2：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为6.7.（2012北京文数）如图，正方体的棱长为2，动点e、f在棱上。点q是cd的中点，动点p在棱ad上，若ef=1，dp=x，e=y(x,y大于零)，则三棱锥p-efq的体积：（a）与x，y都有关； （b）与x，y都无关；（c）与x有关，与y无关； （d）与y有关，与x无关；答案：c8.（2012浙江文数）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（a）cm3 （b）cm3（c）cm3 （d）cm3解析：选b，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题9.（2012北京理数）如图，正方体abcd-的棱长为2，动点e、f在棱上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef=1，e=x，dq=y，d（，大于零），则四面体pe的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关答案：d10.（2012湖南文数）图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= 4 cm11. (2012浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_答案1解析由图可知三棱锥底面积s13(cm2)，三棱锥的高h2 cm，根据三棱锥体积公式，vsh21(cm3)12.（2012天津文数）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。13.（2012天津理数）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【答案】【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积v=2+ = 【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。14.(2011广东理)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()a18 b12c9 d6解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故v339.15设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为_ m3.解析由三视图可知原几何体是一个三棱锥，由“长对正，宽相等，高平齐”的原则可知三棱锥的高为2，底面三角形的底边长为4，高为3，则所求棱锥的体积为v3424.答案416.某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为_ m3.a12 b45 c57 d81【解析】由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体，示意图如图所示，该几何体的体积为vv圆锥v圆柱r2h1r2h2 324325124557.【答案】c六、割补法求体积例1已知正方体ac1的棱长为a，e，f分别为棱aa1与cc1的中点，求四棱锥a1ebfd1的体积【解析】因为ebbffd1d1ea，所以四棱锥a1ebfd1的底面是菱形，连接ef，则efbefd1，由于三棱锥a1efb与三棱锥a1efd1等底同高，所以.又,又，所以。例2 如图中多面体是经过正四棱柱底面顶点b作截面a1bc1d1而截得的，已知aa1cc1，截面a1bc1d1与底面abcd成45的二面角，ab1，则这个多面体的体积为()a.b.c. d.【解析】以正方形abcd为底面，dd1为棱将上图补成一个正四棱柱abcda2b1c2d1，如下图所示，截面a1bc1d1与底面abcd成45的二面角，原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半aa1cc1，易知d1bd为截面与底面abcd所成的二面角的平面角d1bd45.ab1，bd，dd1.正四棱柱abcda2b1c2d1的体积v1.所求多面体的体积为.【答案】a注(1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解例 正六棱锥pabcdef中，g为pb的中点，则三棱锥dgac与三棱锥pgac体积之比为()a11 b12c21 d32【解析】设棱锥的高为h，vdgacvgdacsadch，vpgacvpabcvgabcsabc.又sadcsabc21，故vdgacvpgac21.【答案】c例 已知直三棱柱abca1b1c1，用一平面去截它，得截面a2b2c2，且aa2h1，bb2h2，cc2h3，若abc的面积为s.求证：介于截面与下底面之间的几何体体积vs(h1h2h3)解析连结ab2、b2c、ca2，这样就把几何体abca2b2c2分成三个三棱锥vvcabb2vcaa2b2vca2b2c2，vcabb2vb2abcsh2，vcaa2b2vcaa2bva2abcsh1，vca2b2c2va2cb2c2va2bcc2vba2c2cvbacc2vc2abcsh3.vs(h1h2h3)点评在求某几何体的体积时，大家经常采用的“割补法”和“等积变形”等方法，都是设法实现复杂向简单，未知向已知的转化请读者想一想，此题还可以用什么方法解？例 （2007江西理，12）如图，在四面体abcd中，截面aef经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心o，且与bc，dc分别截于e、f，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥abefd与三棱锥aefc的表面积分别是s1，s2，则必有（ ）as1s2cs1=s2 ds1，s2的大小关系不能确定解：连oa、ob、oc、od，则vabefdvoabdvoabevobefdvaefcvoadcvoaecvoefc又vabefdvaefc，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故sabdsabesbefdsadcsaecsefc又面aef公共，故选c点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。七、方法技巧专题几何体与球的切接问题（一）几何体的外接球例1(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】27【解析】设so1是正四面体sabc的高，外接球的球心o在so1上，设外接球半径为r，ao1r，则在abc中，用解直角三角形知识得r.(2) 求棱长为1的正四面体外接球的体积【解析】设so1是正四面体sabc的高，外接球的球心o在so1上，设外接球半径为r，ao1r，则在abc中，用解直角三角形知识得r.从而so1，在rtaoo1中，由勾股定理，得r2(r)2()2，解得r.v球r3()3.注：(1)球的表面积和体积都是半径r的函数对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系画出轴截面是正确解题的关键长方体的外接球直径是长方体的对角线(2)正四面体的高线与底面的交点是abc的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正四面体高的.1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()a16b20c24 d32【解析】由vsh，得s4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为r.所以球的表面积为s4r224.故选c.【答案】c2.(2013石家庄质检)已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为()a. b.c. d2【解析】如图，设正三棱柱底面边长为a，o2c2a，oc22，o2o.a1a2o1o22oo22.3.若一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为_解析如图，把四面体abcd补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2r，球的表面积s4r23.答案34.已知pa、pb、pc两两垂直且pa=，pb=，pc=2，则过p、a、b、c四点的