3-5第五节 函数的极值与最大值最小值.ppt

第五节函数的极值与最大值最小值 定义设函数f x 在点x0之某邻域内有定义 若对于该邻域内的一切x x0除外 恒有 f x0 f x 或f x0 f x 则称f x 在点x0处取得极大值 或极小值 把x0点称为f x 的极大值点 或极小值点 函数的极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 由函数极值之定义可知 其概念是一个局部性的概念 函数在某区间内某一点取得极大值 或极小值 在已给区间内 函数可能取得多个极大值和极小值 在图中我们可看到极值处的导数是水平的 即可导函数在极值点的导数为0 定理1 必要条件 若函数f x 在点x0可导且取得极值f x0 则f x0 0 证明 设f x0 为极大值 当正数h很小时 有 由于f x 在点x0可导 有它左右极限相等 有 使f x0 0的点x0称为函数f x 的驻点 定理1说明如果函数可微 只能在驻点处取得极值 取得极值的点称为极值点 还有是不可导的点 其他的点都不必考虑 但驻点不一定是极值点 例如y x3 y 0 0 x 0不是极值点 为了研究极值点我们研究定理2 定理2 第一充分条件 设函数f x 在点x0连续 且在x0的某一空心邻域U0 x0 内可导 x U0 1 若x0 x x0时 f x x0时 f x 0 则f x0 为极小值 3 若不论xx0 f x 都不变号 则f x0 不是极值 证明 我们只证明 1 同理可证明 2 3 由 1 的假设和定理1知f x 在 x0 x0 的邻域内递增 在 x0 x0 的邻域内递减 所以在 x0 x0 都有f x0 f x 证明他是极大值 例2求函数f x x2e x的极值 解 f x 2xe x x2e x x 2 x e x 令f x 0 得到x 0 x 2x 0当x0所以是极小值f 0 0 x 2当00 当x 2时 f x 0 f 2 4 e2是极大值 为了使我们容易判别极大值和极小值 现在研究定理3 定理3 第二充分条件 设函数f x 在x0的某邻域内可导 且f x0 0 f x0 0 1 若f x0 0 则f x0 是极小值 证明 我们只证明 1 同理可以证明 2 因为 当x x0 x0 时f x 0 当x x0 x0 时f x 0 由定理2可知f x0 是极大值 存在 0 当0 x x0 时 有f x x x0 0 二阶导数表示切线的变化率 这里的记忆方法同曲线的凹凸性一样 上凸的必定是极大值 解 由于x 0是不可导点 它的二阶导数不存在 只好用第一判别法 为极小值 二函数之最大值 最小值 函数的极值是局部性的 它是在某一个邻域内的函数的最大 小 值例如极值f x1 在区间上它 不是最值 最值是函数在区间内的最大或最小的函数值 它可能在区间内取到 此时它是极值 也可能在边界上得到 此时它不一定是极值 在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值 闭区间的性质 求函数在闭区间内的最值的步骤是计算f x 求出 a b 内的所有驻点和不可导点 即找到全部可能极值点 2 计算上述各点的函数值 比较上述函数值的大小 其中最大的是最大值 最小的是最小值 例4取函数在 0 2 上的最大值和最小值 解 及不可导的点x 1 区间的端点0 2 例5从一块边长为a的正