【备考】全国名校数学试题分类汇编（12月 第四期）C单元 三角函数（含解析）.doc

备考备考 2015 20152015 2015 届全国名校数学试题分类汇编 届全国名校数学试题分类汇编 1212 月月 第四期 第四期 c c 单元单元 三角函数 含解析 三角函数 含解析 目录 c1c1 角的概念及任意角的三角函数角的概念及任意角的三角函数 2 2 c2c2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2 2 c3c3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 6 6 c4c4 函数函数的图象与性质的图象与性质 1212sin yax c5c5 两角和与差的正弦 余弦 正切两角和与差的正弦 余弦 正切 1414 c6c6 二倍角公式二倍角公式 1717 c7c7 三角函数的求值 化简与证明三角函数的求值 化简与证明 2020 c8c8 解三角形解三角形 2222 c9c9 单元综合单元综合 3434 c1c1 角的概念及任意角的三角函数角的概念及任意角的三角函数 数学文卷 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 201411 5 已知角的终边过 点 则的值是 4 3 0 pkkk 2sincos a b c 或 d 随着的取值不同其值不同 2 5 2 5 2 5 2 5 k 知识点 三角函数定义 c1 答案 解析 b 解析 因为角的终边过点所以 4 3 0 pkkk 所以 22 4k 3k 5rk 33 sin 55 k k 44 cos 55 k k 故选 b 342 2sincos2 555 思路点拨 由三角函数定义 即可求得 sin y r cos x r c2c2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 3 已知 abc 中 tana 则 cosa 5 12 a b c d 12 13 5 13 5 13 12 13 知识点 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 c2 答案 d 解析 abc 中 tana a 为钝角 cosa 0 由 sin2a cos2a 1 5 12 sin cos a a 5 12 可得 cosa 12 13 思路点拨 abc 中 由 tana 0 判断 a 为钝角 利用 和 5 12 sin cos a a 5 12 sin2a cos2a 1 求出 cosa 的值 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 19 在 abc 中 角 a b c 所对的边分别为 b c 且 1 b 2 a12cos 2 sin2 2 c ba a 1 求 c 和边 c 2 若 且点 p 为 bmn 内切圆上一点 bcbm4 babn3 求的最大值 222 pcpbpa 知识点 二倍角公式 诱导公式 余弦定理 坐标法求最值 c2 c6 c8 h9 答案 解析 1 c c 2 最大值 33 112 36424 3 解析 1 2sin2 cos 2c 1 a b 2 cos 2c 1 2sin2 cos a b cos c a b 2 2cos2c cos c 1 0 cos c 或 cos c 1 1 2 c 0 cos c c 1 2 3 由余弦定理得c a2 b2 2abcos c3 2 建立坐标系 由 1 a 由 知 1 0 0 0 0 3cbbcbm4 babn3 bmn 的内切圆方程为 设 则令 0 3 4 0 nm 111 22 yx yxp 2 0 sin1 cos1 y x 2222 2 2222 22 31 332 32411 2 34sin62 3 cos 11 2 36424 3 sin11 2 36424 3 papbpcxyxyxy xyxy 思路点拨 1 根据二倍角公式 诱导公式及三角形内角范围 求得 c 再由余弦 3 定理求边 c 的长 2 由 1 知 abc 是 b 90 c 60 的直角三角形 故可以以 b 为 原点 直线 ba 为 x 轴 直线 bc 为 y 轴建立直角坐标系 从而得 bmn 的内切圆的参数方程 进一步得所求关于的函数 求此函数最大值即可 2 0 sin1 cos1 y x 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 16 已知函数 x x xfsin3 2 cos2 2 1 求函数的最小正周期和值域 xf 2 若为第二象限角 且 求的值 3 1 3 f 2sin2cos1 2cos 知识点 二倍角公式 两角和与差的三角函数 的性质 同角三角函数sin yax 关系 三角函数的求值与化简 c6 c5 c4 c2 c7 答案 解析 1 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 12 2 2 解析 1 1cos3sin12cos 3 f xxxx 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 即 1 33 f 1 12cos 3 x 1 cos 3 又 是第二象限角 2 2 sin 3 22 2 cos2sin 1 cos2sin22cos2sincos cos cossincossincossin 2coscossin2cos 原式 cossin 2cos 12 2 1 2 2 33 2 2 3 思路点拨 1 利用二倍角公式 两角和与差的三角函数公式把函数 f x 化为 再确定其周期和值域 2 由 1 及已知得 12cos 3 x 1 cos 3 2 2 sin 3 然后把所求化简得 所求 从而得所求值 cossin 2cos 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 12 如果 那么 2 tansin5sincosfxxxx 2f 知识点 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 c2 答案 6 5 解析 f tanx sin2x 5sinx cosx 2 22 sin5sin cos sincos xxx xx 2 2 tan5tan tan1 xx x f x 则 f 2 2 2 5 1 xx x 6 5 思路点拨 把已知函数解析式的分母 1 化为 sin2x cos2x 然后分子分母同时除以 cos2x 利用同角三角函数间的基本关系弦化切后 可确定出 f x 的解析式 把 x 2 代入即可求出 f 2 的值 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 13 已知 则的值 2 cos 63 p a 5 sin 2 6 p a 为 知识点 诱导公式 二倍角公式 c2 c7 答案 解析 解析 1 9 2 2 5 sin 2sin 2cos2 6626 21 2cos121 639 pppp aaa p a 思路点拨 用已知角表示未知角 再结合二倍角公式即可 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 2 已知 等于 34 costan 254 则 a 7b c d 1 7 1 7 知识点 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 c2 答案 b 解析 由 tan 则 4 cos 5 3 2 3 4 tan 4 1 7 思路点拨 根据同角三角函数基本关系求出正切值 再求结果 c3c3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 17 10 分 已知函数f x 2sinxcos x cos2x m 6 1 求函数f x 的最小正周期 2 当x 时 函数f x 的最小值为 3 求实数m的值 4 4 知识点 三角函数的图象与性质 c3 答案 1 3 2 解析 1 f x 2sinxcos x cos2x m 6 2sinx cosx sinx cos2x m sinxcosx sin2x cos2x m 3 2 1 23 sin2x cos2x m sin2x cos2x m 3 2 1 cos2x 2 3 2 1 2 1 2 sin 2x m 6 1 2 f x 的最小正周期 t 2 2 当 x 有 2x 4 4 2 3 6 3 1 sin 2x 得到 f x 的最小值为 m 由已知 有 m 3 则 m 3 3 2 3 2 3 2 3 2 思路点拨 i 先利用和差角公式及辅助角公式对函数进行化简可得 f x sin 2x m 6 1 2 根据周期公式可求 ii 由 x 可得 2x 4 4 2 3 6 3 结合正弦函数的性质可求 1 sin 2x 求出函数的 f x 的最小值为 m 3 3 2 3 2 根据已知可求 m 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 5 已知函 数f x sin 2x 若存在 0 使得f x f x 3 恒成立 则 等于 4 a b c d 6 3 4 2 知识点 三角函数的图象与性质 c3 答案 d 解析 f x a sin 2x 2a f x 3a sin 2x 6a 4 4 因为 f x a f x 3a 且 a 0 所以 2x 2a 2 2x 6a 4 4 a 即存在 a 使得 f x a f x 3a 恒成立 2 2 思路点拨 首先求出 f x a 和 f x 3a 然后根据正弦的周期性求出 a 的值 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 2 函数 的最小正周期为 4 2cos 2 xxf 知识点 三角函数的周期 c3 答案 解析 解析 由正余弦函数的周期公式 故答案为 22 2 t pp p w 思路点拨 直接利用函数周期公式即可 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 16 本小题 满分 12 分 已知函数 22 3 sin coscossin 2 f xxxxx i 求及的单调递增区间 ii 求在闭区间的最值 6 f f x f x 4 4 知识点 三角函数的图象与性质 c3 答案 i k k k ii 最大值为 1 最小值为 3 2 5 12 12 1 2 解析 i f x sin2x cos2x sin 2x 则 f 1 2 3 23 6 3 2 2x k2 2 k 3 2 2 k z 单调递增区间 k k k 5 12 12 z ii 由则 2x sin 2x 1 x 4 4 3 5 66 3 1 2 所以最大值为 1 最小值为 1 2 思路点拨 先化简再求单调区间 求出最值 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 5 设函数 图象的一条对称轴方程是 sin cos2f xxx a b c d 4 x 0 x 4 x 2 x 知识点 三角函数的图象与性质 c3 答案 d 解析 f x sinxcos2x f sin cos2 1 f 0 0 2 2 2 函数 f x sinxcos2x 图象不关于 x 对称 排除 a 4 f x sin x cos2 x sinxcos2x f x f x sinxcos2x 为奇函数 不是偶函数 故不关于直线 x 0 对称 排除 b 又 f sincos 2 1 f 0 0 故函数 f x sinxcos2x 图象不关于 x 2 2 2 对称 排除 c 4 又 f x sin x cos2 x sinxcos2x f x f x 关于直线 x 对称 2 故 d 正确 思路点拨 利用函数的对称性对 a b c d 四个选项逐一判断即可 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 31 sin2cos 22 f xxxxr 1 若 求函数的最大值和最小值 并写出相应的 x 的值 53 244 x f x 2 设的内角的对边分别为 满足且abc a b c a b c3 0cf c sin2sinba 求的值 a b 知识点 三角函数性质 解三角形 c3 c8 答案答案 解析解析 1 时函数得最小值为 2 a 1 b 2 3 4 x 3 1 2 解析解析 1 2 3131 cos21 sin2cossin2sin 21 222226 x f xxxxx 因为 所以 则当时 函数得最大值 53 244 x 4 2 643 x 2 623 xx 为 0 当时函数得最小值为 43 2 634 xx 3 1 2 2 因为 f c sin 2c 1 0 则 sin 2c 1 6 6 0 c 0 2c 2 2c 2c 6 6 11 6 c sinb 2sina 由正弦定理得 b 2a 由余弦定理得 c2 a2 b2 ab 3 6 2 3 由 解得 a 1 b 2 思路点拨 一般研究三角函数的性质 通常先利用公式把函数化成一个角的三角函数再进 行解答 在解三角形时 注意利用正弦定理和余弦定理进行边角的转化和求值 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 13 已知函数 的最大值为 1 3 2cos 2sin xxaxf 则 a 知识点 三角函数的性质 c3 答案答案 解析解析 0 0 或或3 解析解析 因为的最大值为 1 所以 31 sin2cos 2 asin2cos2 322 f xaxxxx 解得 a 0 0 或或 2 31 1 24 a 3 思路点拨 研究三角函数的性质 一般先化成一个角的三角函数再进行解答 本意注意应 用 asinx bcosx 的最值的结论进行作答 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 17 已知函数 若函数的图像与直线 a 2 2sincos2 3cos30f xxxx f xya 为常数 相切 并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列 1 求的表达式及 a 的值 f x 2 将函数的图象向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 得到函数 求 f x 3 yg x 其单调增区间 知识点 三角函数的化简求值 三角函数的图象与性质 c3 c7 答案 解析 1 2 解析 2sin 2 2 3 f xxa 5 1212 kkkz 1 由题意得 由解析式可 2 2sincos2 3cos32sin 2 3 f xxxxx 知函数的最小正周期为 2 12sin 22 23 f xxa 2 将函数的图象向左平移个单位 得到 再向上平移 1 个单位 f x 3 2sin 2 3 yx 得到 即由2sin 21 3 yx 2sin 21 3 g xx 整理得 所以函数222 232 kxkkz 5 1212 kxkkz 的单调增区间是 yg x 5 1212 kkkz 思路点拨 把式子化成一个三角函数的形式 即可求出最小正周期 再根据图象的平移可 求出函数的单调区间 数学文卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 2 函数 的最小正周期为 4 2cos 2 xxf 知识点 三角函数的周期 c3 答案 解析 解析 由正余弦函数的周期公式 故答案为 22 2 t pp p w 思路点拨 直接利用函数周期公式即可 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 18 已知函数 2 2sin sin3sin coscos 3 f xxxxxx 1 求函数的最小正周期和单调递增区间 f x 2 若 求函数的最值及取得最值时相应的值 0 2 x f xx 知识点 三角函数的图象与性质 c3 答案 1 单调递增区间 2 当 x 时 3 k 6 k kz 6 2 当 x 时 1 max f x 2 min f x 解析 1 2 2sin sin3sin coscos 3 f xxxxxx 2sin 2x t 2x 3sin2cos2xx 6 2 2 2 2 k 6 2 2 k kz 单调递增区间 36 kxk 3 k 6 k kz 2 若 则 0 2 x 7 2 666 x 当 x 时 2 当 x 时 1 6 max f x 2 min f x 所以当 x 时 2 当 x 时 1 6 max f x 2 min f x 思路点拨 先化简再根据单调性周期性求出结果 数学文卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 31 sin2cos 22 f xxxxr 1 若 求函数的最大值和最小值 并写出相应的 x 的值 53 244 x f x 2 设的内角的对边分别为 满足且abc a b c a b c3 0cf c sin2sinba 求的值 a b 知识点 三角函数性质 解三角形 c3 c8 答案答案 解析解析 1 时函数得最小值为 2 a 1 b 2 3 4 x 3 1 2 解析解析 1 2 3131 cos21 sin2cossin2sin 21 222226 x f xxxxx 因为 所以 则当时 函数得最大值 53 244 x 4 2 643 x 2 623 xx 为 0 当时函数得最小值为 43 2 634 xx 3 1 2 2 因为 f c sin 2c 1 0 则 sin 2c 1 6 6 0 c 0 2c 2 2c 2c 6 6 11 6 c sinb 2sina 由正弦定理得 b 2a 由余弦定理得 c2 a2 b2 ab 3 6 2 3 由 解得 a 1 b 2 思路点拨 一般研究三角函数的性质 通常先利用公式把函数化成一个角的三角函数再进 行解答 在解三角形时 注意利用正弦定理和余弦定理进行边角的转化和求值 数学文卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 13 已知函数 的最大值为 1 3 2cos 2sin xxaxf 则 a 知识点 三角函数的性质 c3 答案答案 解析解析 0 0 或或3 解析解析 因为的最大值为 1 所以 31 sin2cos 2 asin2cos2 322 f xaxxxx 解得 a 0 0 或或 2 31 1 24 a 3 思路点拨 研究三角函数的性质 一般先化成一个角的三角函数再进行解答 本意注意应 用 asinx bcosx 的最值的结论进行作答 c4c4 函数函数的图象与性质的图象与性质sin yax 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 16 已知函数 x x xfsin3 2 cos2 2 3 求函数的最小正周期和值域 xf 4 若为第二象限角 且 求的值 3 1 3 f 2sin2cos1 2cos 知识点 二倍角公式 两角和与差的三角函数 的性质 同角三角函数sin yax 关系 三角函数的求值与化简 c6 c5 c4 c2 c7 答案 解析 1 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 12 2 2 解析 1 1cos3sin12cos 3 f xxxx 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 即 1 33 f 1 12cos 3 x 1 cos 3 又 是第二象限角 2 2 sin 3 22 2 cos2sin 1 cos2sin22cos2sincos cos cossincossincossin 2coscossin2cos 原式 cossin 2cos 12 2 1 2 2 33 2 2 3 思路点拨 1 利用二倍角公式 两角和与差的三角函数公式把函数 f x 化为 再确定其周期和值域 2 由 1 及已知得 12cos 3 x 1 cos 3 2 2 sin 3 然后把所求化简得 所求 从而得所求值 cossin 2cos 数学文卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 3 已知函数 6 cos 6 sin xxy 则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为 a 6 2 xb 12 2 xc 6 xd 12 x 知识点 二倍角公式 的性质 c6 c4sin yax 答案 解析 d 解析 已知函数为 所以其周期为 且可判断其一 1 2 23 ysinx 条对称轴方程为 故选 d 12 x 思路点拨 先利用二倍角公式将函数化为 再由的 1 2 23 ysinx sin yax 性质得结论 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 13 将函数 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半 纵坐 sin0 22 f xx 标不变 再向右平移个单位长度得到的图像 则 6 sinyx 6 f 知识点 函数的图象与性质 c4sin yax 答案 解析 由题知 思路点拨 先求出函数的解析式再求结果 c5c5 两角和与差的正弦 余弦 正切两角和与差的正弦 余弦 正切 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 16 已知函数 x x xfsin3 2 cos2 2 5 求函数的最小正周期和值域 xf 6 若为第二象限角 且 求的值 3 1 3 f 2sin2cos1 2cos 知识点 二倍角公式 两角和与差的三角函数 的性质 同角三角函数sin yax 关系 三角函数的求值与化简 c6 c5 c4 c2 c7 答案 解析 1 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 12 2 2 解析 1 1cos3sin12cos 3 f xxxx 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 即 1 33 f 1 12cos 3 x 1 cos 3 又 是第二象限角 2 2 sin 3 22 2 cos2sin 1 cos2sin22cos2sincos cos cossincossincossin 2coscossin2cos 原式 cossin 2cos 12 2 1 2 2 33 2 2 3 思路点拨 1 利用二倍角公式 两角和与差的三角函数公式把函数 f x 化为 再确定其周期和值域 2 由 1 及已知得 12cos 3 x 1 cos 3 2 2 sin 3 然后把所求化简得 所求 从而得所求值 cossin 2cos 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 15 本小题 满分 14 分 已知函数其中向量 nmxf cos3 cos sinxxxm 若的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于 sin2 sin cosxxxn 0 xf 1 求的取值范围 2 在中 分别是角的对边 当最大时 求abc cba cba 3 a 1 af 的面积最大值 abc 知识点 余弦定理 两角和与差的正弦函数 c5 c8 答案 解析 1 2 2 1 0 3 4 解析 1 由题意知xxxnmxf 2sin3sincos 22 6 2sin 22sin32cos xxx 1 2 0 22 22 t 解得 2 1 0 2 由 1 知即 1 6 sin 2 2 1 max aaf 2 1 6 sin a 又 得 0 a 6 7 66 a 6 5 6 a 3 2 a 由余弦定理得即 2 1 23 222 bcbccba 1 bc 4 3 2 3 1 2 1 sin 2 1 abcs abc 思路点拨 1 由两向量的坐标 利用平面向量的数量积运算法则列出关系式 根据 f x 的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于 得到周期的一半大于等于 利用 周期公式即可求出 的取值范围 2 把 的最大值代入 f a 1 求出 a 的度数 利 用余弦定理列出关系式 把 a 的度数代入并利用基本不等式求出 bc 的最大值 即可确定出 三角形面积的最大值 数学文卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 16 本小题 满分 14 分 已知函数其中向量 nmxf cos3 cos sinxxxm 若的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于 sin2 sin cosxxxn 0 xf 1 求的取值范围 2 在中 分别是角的对边 当最大时 求abc cba cba 3 a 1 af 的面积最大值 abc 知识点 余弦定理 两角和与差的正弦函数 c5 c8 答案 解析 1 2 2 1 0 3 4 解析 1 由题意知xxxnmxf 2sin3sincos 22 6 2sin 22sin32cos xxx 1 2 0 22 22 t 解得 2 1 0 2 由 1 知即 1 6 sin 2 2 1 max aaf 2 1 6 sin a 又 得 0 a 6 7 66 a 6 5 6 a 3 2 a 由余弦定理得即 2 1 23 222 bcbccba 1 bc 4 3 2 3 1 2 1 sin 2 1 abcs abc 思路点拨 1 由两向量的坐标 利用平面向量的数量积运算法则列出关系式 根据 f x 的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于 得到周期的一半大于等于 利用 周期公式即可求出 的取值范围 2 把 的最大值代入 f a 1 求出 a 的度数 利 用余弦定理列出关系式 把 a 的度数代入并利用基本不等式求出 bc 的最大值 即可确定出 三角形面积的最大值 数学文卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 7 已知函数 的部分图象如图所示 则tan 42 yx oaobab 知识点 向量在几何中的应用 c5 f2 答案 解析 6 解析 因为 0 由图tan 42 yx 42 xk pp p 42 xk pp p 得 故 由 1 由图得2x 2 0atan 42 yx 424 xk ppp p 43xk 故 3x 3 1b 所以 5 1 1 1 oa ob ab 5 1 1 1 6 oa obab 思路点拨 先利用正切函数求出 a b 两点的坐标 进而求出与的坐标 再oa ob ab 代入平面向量数量积的运算公式即可求解 c6c6 二倍角公式二倍角公式 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 19 在 abc 中 角 a b c 所对的边分别为 b c 且 1 b 2 a12cos 2 sin2 2 c ba a 1 求 c 和边 c 2 若 且点 p 为 bmn 内切圆上一点 bcbm4 babn3 求的最大值 222 pcpbpa 知识点 二倍角公式 诱导公式 余弦定理 坐标法求最值 c2 c6 c8 h9 答案 解析 1 c c 2 最大值 33 112 36424 3 解析 1 2sin2 cos 2c 1 a b 2 cos 2c 1 2sin2 cos a b cos c a b 2 2cos2c cos c 1 0 cos c 或 cos c 1 1 2 c 0 cos c c 1 2 3 由余弦定理得c a2 b2 2abcos c3 3 建立坐标系 由 1 a 由 知 1 0 0 0 0 3cbbcbm4 babn3 bmn 的内切圆方程为 设 则令 0 3 4 0 nm 111 22 yx yxp 2 0 sin1 cos1 y x 2222 2 2222 22 31 332 32411 2 34sin62 3 cos 11 2 36424 3 sin11 2 36424 3 papbpcxyxyxy xyxy 思路点拨 1 根据二倍角公式 诱导公式及三角形内角范围 求得 c 再由余弦 3 定理求边 c 的长 2 由 1 知 abc 是 b 90 c 60 的直角三角形 故可以以 b 为 原点 直线 ba 为 x 轴 直线 bc 为 y 轴建立直角坐标系 从而得 bmn 的内切圆的参数方程 进一步得所求关于的函数 求此函数最大值即可 2 0 sin1 cos1 y x 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 16 已知函数 x x xfsin3 2 cos2 2 7 求函数的最小正周期和值域 xf 8 若为第二象限角 且 求的值 3 1 3 f 2sin2cos1 2cos 知识点 二倍角公式 两角和与差的三角函数 的性质 同角三角函数sin yax 关系 三角函数的求值与化简 c6 c5 c4 c2 c7 答案 解析 1 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 12 2 2 解析 1 1cos3sin12cos 3 f xxxx 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 即 1 33 f 1 12cos 3 x 1 cos 3 又 是第二象限角 2 2 sin 3 22 2 cos2sin 1 cos2sin22cos2sincos cos cossincossincossin 2coscossin2cos 原式 cossin 2cos 12 2 1 2 2 33 2 2 3 思路点拨 1 利用二倍角公式 两角和与差的三角函数公式把函数 f x 化为 再确定其周期和值域 2 由 1 及已知得 12cos 3 x 1 cos 3 2 2 sin 3 然后把所求化简得 所求 从而得所求值 cossin 2cos 数学文卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 3 已知函数 6 cos 6 sin xxy 则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为 a 6 2 xb 12 2 xc 6 xd 12 x 知识点 二倍角公式 的性质 c6 c4sin yax 答案 解析 d 解析 已知函数为 所以其周期为 且可判断其一 1 2 23 ysinx 条对称轴方程为 故选 d 12 x 思路点拨 先利用二倍角公式将函数化为 再由的 1 2 23 ysinx sin yax 性质得结论 c7c7 三角函数的求值 化简与证明三角函数的求值 化简与证明 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 16 已知函数 x x xfsin3 2 cos2 2 9 求函数的最小正周期和值域 xf 10 若为第二象限角 且 求的值 3 1 3 f 2sin2cos1 2cos 知识点 二倍角公式 两角和与差的三角函数 的性质 同角三角函数sin yax 关系 三角函数的求值与化简 c6 c5 c4 c2 c7 答案 解析 1 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 12 2 2 解析 1 1cos3sin12cos 3 f xxxx 函数 f x 的最小正周期为 2 值域为 1 3 2 即 1 33 f 1 12cos 3 x 1 cos 3 又 是第二象限角 2 2 sin 3 22 2 cos2sin 1 cos2sin22cos2sincos cos cossincossincossin 2coscossin2cos 原式 cossin 2cos 12 2 1 2 2 33 2 2 3 思路点拨 1 利用二倍角公式 两角和与差的三角函数公式把函数 f x 化为 再确定其周期和值域 2 由 1 及已知得 12cos 3 x 1 cos 3 2 2 sin 3 然后把所求化简得 所求 从而得所求值 cossin 2cos 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 13 已知 则的值 2 cos 63 p a 5 sin 2 6 p a 为 知识点 诱导公式 二倍角公式 c2 c7 答案 解析 解析 1 9 2 2 5 sin 2sin 2cos2 6626 21 2cos121 639 pppp aaa p a 思路点拨 用已知角表示未知角 再结合二倍角公式即可 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 6 设向量 其 cos sin cos sin ab 中 若 则 0 22abab a b c d 4 4 2 2 知识点 向量数量积的坐标运算 已知三角函数值求角 f2 f3 c7 答案 解析 d 解析 因为 22abab 所以 又因为 2222 2283 ababa bab cos sin cos sin ab 所以coscossinsincos 0a b 因为 所以 故选 d 0 2 思路点拨 利用向量的模与向量数量积的关系 转化为数量积运算 从而得 再由得结论 cos 0 0 c8c8 解三角形解三角形 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 18 12 分 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 c asinc ccosa 3 1 求a 2 若a 2 abc的面积为 求b c 3 知识点 解三角形 c8 答案 1 2 b c 2 3 解析 1 由c asinc ccosa及正弦定理得 3 sinasinc cosasinc sinc 0 3 由于 sinc 0 所以 sin a 又 0 a 故a 6 1 2 3 2 abc的面积s bcsina 故bc 4 1 23 而a2 b2 c2 2bccosa 故b2 c2 8 解得b c 2 思路点拨 根据正弦定理求出 a 再根据余弦定理求出边 b c 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 10 若满 足条件ab c 的三角形abc有两个 则边长bc的取值范围是 3 3 a 1 b c 2 d 2 22332 知识点 解三角形 c8 答案 c 解析 c ab 设 bc a 3 3 由正弦定理得 即 sinsin abbc ca 3 3 2 sin a a 解得 sina 由题意得 当 a 时 满足条件的 abc 有两个 2 a 3 2 3 所以 1 解得 a 2 则 bc 的取值范围是 2 3 22 a 33 思路点拨 由已知条件 c 的度数 ab 及 bc 的值 根据正弦定理用 a 表示出 sina 由 c 的 度数及正弦函数的图象可知满足题意 abc 有两个 a 的范围 然后根据 a 的范围 利用特殊 角的三角函数值即可求出 sina 的范围 进而求出 bc 的取值范围 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 19 在 abc 中 角 a b c 所对的边分别为 b c 且 1 b 2 a12cos 2 sin2 2 c ba a 1 求 c 和边 c 2 若 且点 p 为 bmn 内切圆上一点 bcbm4 babn3 求的最大值 222 pcpbpa 知识点 二倍角公式 诱导公式 余弦定理 坐标法求最值 c2 c6 c8 h9 答案 解析 1 c c 2 最大值 33 112 36424 3 解析 1 2sin2 cos 2c 1 a b 2 cos 2c 1 2sin2 cos a b cos c a b 2 2cos2c cos c 1 0 cos c 或 cos c 1 1 2 c 0 cos c c 1 2 3 由余弦定理得c a2 b2 2abcos c3 4 建立坐标系 由 1 a 由 知 1 0 0 0 0 3cbbcbm4 babn3 bmn 的内切圆方程为 设 则令 0 3 4 0 nm 111 22 yx yxp 2 0 sin1 cos1 y x 2222 2 2222 22 31 332 32411 2 34sin62 3 cos 11 2 36424 3 sin11 2 36424 3 papbpcxyxyxy xyxy 思路点拨 1 根据二倍角公式 诱导公式及三角形内角范围 求得 c 再由余弦 3 定理求边 c 的长 2 由 1 知 abc 是 b 90 c 60 的直角三角形 故可以以 b 为 原点 直线 ba 为 x 轴 直线 bc 为 y 轴建立直角坐标系 从而得 bmn 的内切圆的参数方程 进一步得所求关于的函数 求此函数最大值即可 2 0 sin1 cos1 y x 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 201412 17 本小题满分 12 分 在中 已知 且 cos2a 2sin 1 abc 2 1abac 2 2 cb 1 求角的大小和边的长 abc 2 若点在内运动 包括边界 且点到三边的距离之和为 d 设点到pabc pp 的距离分别为 x y 试用 x y 表示 d 并求 d 的取值范围 bc ca 知识点 解三角形 c8 答案 1 a bc 2 3 3 2 3 32 yx d3 2 3 d 解析 cos2a 2sin b c 2 1 1 2sin a 2sin b c 2 1 sina sin b c 2 a b c 2 3a 180 a 60 由余弦定理 bc ac ab 2ac ab cosa 2 1 2 2 1 cos60 3 bc 3 由题意得 d 在 p 与 c 点重合时最小为 d 在 ab 上时取最大值 3 2 此时有 x sinb y sina ab 将 sina sin60 3 2 sinb 1 2 代入得 2y 3 2x 2 即 y 3 3x d x y 0 1 3 x 3 x 的取值范围为 0 到 1 所以 d 最大为 3 所以 d 的取值范围为到 3 3 2 思路点拨 根据余弦定理求出角和边 利用 d 的关系式求出最值 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 15 本小题 满分 14 分 已知函数其中向量 nmxf cos3 cos sinxxxm 若的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于 sin2 sin cosxxxn 0 xf 1 求的取值范围 2 在中 分别是角的对边 当最大时 求abc cba cba 3 a 1 af 的面积最大值 abc 知识点 余弦定理 两角和与差的正弦函数 c5 c8 答案 解析 1 2 2 1 0 3 4 解析 1 由题意知xxxnmxf 2sin3sincos 22 6 2sin 22sin32cos xxx 1 2 0 22 22 t 解得 2 1 0 2 由 1 知即 1 6 sin 2 2 1 max aaf 2 1 6 sin a 又 得 0 a 6 7 66 a 6 5 6 a 3 2 a 由余弦定理得即 2 1 23 222 bcbccba 1 bc 4 3 2 3 1 2 1 sin 2 1 abcs abc 思路点拨 1 由两向量的坐标 利用平面向量的数量积运算法则列出关系式 根据 f x 的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于 得到周期的一半大于等于 利用 周期公式即可求出 的取值范围 2 把 的最大值代入 f a 1 求出 a 的度数 利 用余弦定理列出关系式 把 a 的度数代入并利用基本不等式求出 bc 的最大值 即可确定出 三角形面积的最大值 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 5 在 中 则 abc 2 105 45 00 bccaac 知识点 正弦定理 c8 答案 解析 1 解析 00 45 105ac 0 30b 由正弦定理得 2bc sinsin bcac ab 1 2 sin 2 1 sin2 2 bcb ac a 故答案为 1 思路点拨 由 a 与 c 的度数 利用三角形内角和定理求出 b 的度数 再由 sina sinb 及 bc 的长 利用正弦定理即可求出 ac 的长 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 18 本小题 满分 12 分 在中 内角 a b c 对边的边长分别是 已知 abc a b c2 3 cc i 若的面积等于 求 abc 3 a b ii 若 求三角形的面积 sinsin2sin2cbaa 知识点 解三角形 c8 答案 i a b 2 ii 3 解析 i s abc absin60 3ab 4 1 2 由余弦定理得 4 a b 2ab a b 8 a b 8 2 4 0 a b 2 1 2 ii sinc sin b a 2sin2asin a b sin b a 2sin2asin a b sin b a 2sin2a sinacosb cosasinb sinbcosa cosbsina 2sin2a2sinbcosa 2sinacosacosa sina sinb 0 当 cosa 0 即 a 90 时 b 180 90 60 30 由正弦定理得 a b sin90sin30sin60 abc 4 3 3 2 3 3 s 1 2absinc 2 3 3 当 sina sinb 时 a b 或 a b 舍去 则 a b 60 abc 是等边三角形 a b c 2 s 3 4 3 3 2 2 思路点拨 根据余弦定理求出边 根据正弦定理求出面积 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 14 已知 的一个内角为 并且三边长构成公差为 4 的等差数列 则的面积为abc 120oabc 知识点 解三角形 c8 答案 153 解析 设三角形的三边分别为 x 4 x x 4 则 cos120 222 4 4 1 2 4 2 xxx x x 化简得 x 16 4 x 解得 x 10 所以三角形的三边分别为 6 10 14 则 abc 的面积 s 6 10sin120 15 1 2 3 思路点拨 因为三角形三边构成公差为 4 的等差数列 设中间的一条边为 x 则最大的边 为 x 4 最小的边为 x 4 根据余弦定理表示出 cos120 的式子 将各自设出的值代入即可 得到关于 x 的方程 求出方程的解即可得到三角形的边长 然后利用三角形的面积公式即可 求出三角形 abc 的面积 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 9 在 中 若的形状一定是abc sin12cossinabbcac 则abc a 等边三角形b 不含的等腰三角形c 钝角三角形d 直角三角形60o 知识点 解三角形 c8 答案 d 解析 sin a b 1 2cos b c sin a c sin a b 1 2cosasinb sinacosb cosasinb 1 2cosasinb sinacosb cosasinb 1 sin a b 1 a b 90 abc 是直角三角形 思路点拨 利用三角形的内角和 结合差角的余弦公式 和角的正弦公式 即可得出结 论 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 31 sin2cos 22 f xxxxr 1 若 求函数的最大值和最小值 并写出相应的 x 的值 53 244 x f x 2 设的内角的对边分别为 满足且abc a b c a b c3 0cf c sin2sinba 求的值 a b 知识点 三角函数性质 解三角形 c3 c8 答案答案 解析解析 1 时函数得最小值为 2 a 1 b 2 3 4 x 3 1 2 解析解析 1 2 3131 cos21 sin2cossin2sin 21 222226 x f xxxxx 因为 所以 则当时 函数得最大值 53 244 x 4 2 643 x 2 623 xx 为 0 当时函数得最小值为 43 2 634 xx 3 1 2 2 因为 f c sin 2c 1 0 则 sin 2c 1