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第四节多元函数的极值 二 条件极值 一 二元函数的极值 一 二元函数的极值 定义4 6设函数在点的某一邻域内有定义 对于该邻域内异于的点都满足不等式 极大值 极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 则称函数在点有极小值 极大值 为函数极小值点 极大值点 例 例 例 从以上例子看出 若函数在某点取得极值 这点的偏导数等于零或不存在 下面介绍极值存在的必要条件与充分条件 定理4 5 必要条件 设函数在点取得极值 且在该点处两个一阶偏导数都存在 则必有 则对于的某邻域内任意 都有 类似地可证 必有 说明一元函数在处有极大值 故当 时 与一元函数相同 我们称一阶偏导数都等于零的点为函数的驻点 如何判定一个驻点是否为极值点呢 定理4 6 充分条件 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又 2 极值点也可能不是驻点 因为偏导数不存在的点也可能是极值点 如锥面在顶点处偏导数不存在 但顶点是极值点 令 3 当时 可能有极值 也可能没有极值 还需另作讨论 2 当时 函数在点没有极值 由此可得求二元可微函数极值的一般步骤 第一步 求函数的一阶和二阶偏导数 例4 28求函数的极值 解求方程组 得驻点 又 求最值的一般方法 1 求函数在D内的所有驻点和偏导数不存在的点 2 求出函数在D内的所有驻点和偏导数不存在点处的函数值 以及在区域边界上的最大值和最小值 3 相互比较函数值的大小 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值 与一元函数相类似 我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 二元函数的最值 例4 29求函数在圆域上的最大值 解显然 函数在圆周上的值到处是 令 得驻点 所以在处取得最大值2 在很多实际问题中 根据问题本身的性质 知道函数f x y 在区域D内一定能取到最大值 最小值 又如果函数在D内只有一个驻点 那么这驻点处的函数值就是f x y 在D上的最大值 最小值 而不必再进行检验 例4 30要制作一个容量V为长方体箱子 问如何选择尺寸 才能使所用材料最省 此水箱的用料面积 解设箱子的长为 宽为 则其高为 令 根据题意可知 水箱所用材料的面积的最小值一定存在 并在开区域D内取得 又函数在D内只有唯一的驻点 因此可断定当 时 S取得最小值 条件极值对自变量有附加条件的极值 无条件极值对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值 二 条件极值 条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算 问题求目标函数 求解步骤 1 构造辅助函数 lagrange函数 为常数 2 对函数分别关于 求偏导数 并令其等于零 得方程组 3 解方程组 若是方程组的解 则是可能的条件极值点 4 判别是否为极值点 在实际问题中 可根据问题本身的性质来判定 例4 31某工厂生产两种型号的仪器 其产量分别为台和台 两种仪器的产量与所需的成本的关系可以用一个以应变量z为成本 以自变量 x y 为两种仪器产量的函数表示 单位 万元 若根据市场调查预测 需这两种仪器共8台 问应如何安排生产 才能使成本最小 构造拉格朗日函数 解本题归结为 求函数在约束条件下的最小值 解方程组 得唯一解 由于实际问题的最小值存在 是唯一的驻点 故 是本题的最小值点 即 两种型号的仪器各生产5台和3台