数学建模竞赛2005年D题论文.doc

DVD在线租赁的数学研究摘要：本文主要研究在线DVD的租赁问题。通过分析会员订单和网站的DVD拥有量，对现实问题进行简化。历史数据显示，60%的会员每月租赁2次，另外40%的会员每月租赁1次,考虑极限，得出一定时限内至少满足部分会员DVD需求量的模型： （1）问题（二）为了合理分配网站现有DVD，使会员获得最大满意度。 我们根据每个会员对的偏爱程度量化出每个会员对的满意度。然后，根据0-1规划建立一个求最大满意度的线性规划模型： 目标函数： 约束条件： =(1,2,100),=(1,2,20) （2） 或 问题（三） 首先考虑，让所有会员都得到其满意度最高的3张DVD，由此可以得到一种的购买方案。 因题意要求95%的会员得到他想看的DVD，故合理预测需要285张DVD，假设会员对各种DVD的满意度之比与DVD需购数量之比一致，可得到的预测购买量；对这两组数据进行比较，排除对满意度影响最小的5人，以满足题目对95%的要求；，根据数据的统计结果得到：编号为C0007，C0021，C0032，C0048，C0066的会员排除后对满意度影响最小。然后根据预测的每种DVD的数量和余下的95名会员对的满意度，由模型（2）得到满意度最大时的分配方案。 我们在分析问题建立模型时，采用极限值的方法把实际问题给予简化，使得解题思路比较清晰，能够更好的考虑DVD的实际分配问题。采用线性规划的方法得出01规划的优化模型，使得实际问题简单化，程序化，便于得到最优方案。本文模型是用来解决DVD的现实租赁问题，适合大部分的网上在线交易，还可推广应用到婚介所结婚对象的搭配上，工业企业的产销平衡上等方面。问题重述顾客缴纳一定数量的月费成为网站会员，可以订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张基于其偏爱程度排序的DVD。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。考虑回答下面问题：1） 网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2） 表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。3） 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大符号说明:愿意观看的人数j=1,2,3,4,5;:每月内能够看到的人数占希望看到该总人数的百分比;:网站应准备的数量；:会员总数与接受调查的会员人数的比例；:会员能够看到的时限，单位（月）；:会员i对的偏爱程度；：网站现有DVD数量；：网站对DVD的购买总量模型假设1 租赁周期为一个月，每月租两次的会员可以在月中再租赁一次；2 一张DVD每人只租赁一次；3 DVD在租赁过程中无损坏；4. 会员 每月至少交一次订单；5会员每张订单只能租赁一次；6月底DVD全部收回，继续下个周期的租赁； 7不愿意观看的会员不会租赁；8. 假设会员对各种DVD的满意度之比与DVD需购数量之比一致。模型建立与求解问题（一）： 对每种DVD，要做到既保证希望看到的会员中至少有的会员在一月内能够看到该，又使网站的准备量最少。由于每张DVD每月被租赁2次的概率是60%，每张DVD每月被租赁1次的概率是40%，而月初无法确定哪些会员会租赁1次或2次。于是会出现下面两种极端方案和界于二者之间的情况；方案（一），全部满足每月租赁2次的会员，部分满足每月租赁1次的会员；方案（二），全部满足每月租赁1次的会员，部分满足每月租赁2次的会员。如果用方案（一）确定的准备量，可能会出现每月租赁1次的会员同时租赁同一种DVD。那麽，网站的DVD就会供不应求。而方案（二）则综合考虑了会员的最低需求量和网站的最低成本。如果按网站租赁情况出现界于二者之间的情况来考虑，则会出现网站成本降低而满足不了会员的需求量而导致会员的满意度降低，或者满足会员的DVD需求量却使得网站的成本过高，造成资源浪费。 因此根据方案（二）建立模型为： （1）模型求解由模型（1）和题中所给数据计算可以得到： 当保证希望看到的会员中至少有50%在一个月内能能够看到该时： 当保证在三个月内至少95%的会员能看到时：问题（二）问题分析：题中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，要得到使会员获得最大满意度的DVD分配方案，这可以通过建立线形规划模型来实现。由于每个会员对不同DVD的偏爱程度不同，且题中所给的列表中会员的在线订单中数字越小表示会员的偏爱程度越高。由于每个会员可以按偏爱程度在20种DVD中依次列出9种想要观看的DVD。为方便求最大满意度，我们根据每个会员对的偏爱程度量化出每个会员对的满意度：偏爱程度为1的满意度为9，偏爱程度为2的满意度为8，偏爱程度为3的满意度为7，偏爱程度为4的满意度为6，偏爱程度为5的满意度为5，偏爱程度为6的满意度为4，偏爱程度为7的满意度为3，偏爱程度为8的满意度为2，偏爱程度为9的满意度为1，且规定偏爱程度为0的满意度为0，由此得出 每个会员对的满意度列表（见附表1）。由于每个队员在一次订单中只能获得3张DVD，而网站提供的各种DVD数量不同，由0-1规划建立模型： 约束条件： = (1,2,100), =(1,2,20) （2） 或1根据模型（2）和满意度列表，利用数学软件LINGD求解可得会员最大满意度是Z=2360（源程序附后），前30位会员的DVD分配方案如下表会员号C0001C0002C0003C0004C0005DVD号D003，D008，D016D001D013，D014，D017D011，D012，D019D013，D015，D019会员号C0006C0007C0008C0009C0010DVD号D012，D015，D016D004，D007，D008D013D002，D003，D015D010，D012，D018会员号COO11C0012C0013C0014C0015DVD号D008，D010，D013D011，D014，D019D009，D013，D019D016，D017D007，D009，D017会员号C0016C0017C0018C0019C0020DVD号D001，D008，D009D001，D004，D017D007，D011，D018D008，D015，D017D006，D009，D020会员号C0021C0022C0023C0024C0025DVD号D009，D013，D015D003，D007，D011D002，D012，D013D008，D011，D013D015，D017，D019会员号C0026C0027C0028C0029C0030DVD号D003，D008，D016D002，D006，D010D005，D007，D009D008，D013，D020D003，D009，D017问题（三）问题分析：问题三是在已知会员对的满意度的基础上，制定的购买量及分配方案，使得一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且使会员总的满意度最大。可以看做是对问题二的进一步推广，在问题二所建的模型的基础上进行改进。为使网站成本最低，既DVD的购买量最少，可以考虑一种临界状况。如果所有会员都能得到希望看的DVD，则可考虑为每月只借1次的会员都借到希望看的DVD，每月借2次的会员上半月对的需求情况与下半月对的需求情况相同。在这种情况下只须考虑当月一份订单的分配就可以了。首先考虑让所有会员都得到满意度最高的3张DVD，由此可以得到一种的购买方案（三）。由于每个会员1次可以获得3张DVD。在此基础上，100位会员至少需要300张DVD，每种DVD的购买量即表（1）。表（1）DVD编号D001D002D003D004D005购买量1810171511DVD编号D006D007D008D009D010购买量1915172016DVD编号D011D012D013D014D015购买量1616161217DVD编号D016D017D018D019D020购买量101615177但是，考虑到现实生活中不可能100%满足，所以该网站要使 一个月内95%的会员得到他想看的DVD就可以了。因此可以简化为5%的会员得不到想看的DVD，在这种情况下可以得到一种临界状况即每月只借1次的40%的会员中有5%借不到，此时又可使网站少购买15张DVD，即网站只须购买95%*100*3=285张DVD就能满足最低需求。 下面考虑满足需求的285张DVD应分别属于哪种DVD才使得总的满意度最大。因为会员对的满意度之比应与对的需求量之比相一致，所以可以根据问题二中的每个会员对的满意度列表得出会员对总的满意度，由此可以得出的满意度之比，依此比例为基准来合理分配285张DVD。得出预测购买方案（三）模型： （3）模型求解： 由模型（3）利用MAPLE9软件预测出每种DVD的购买量即表（2）。表（2）DVD编号D001D002D003D004D005购买量1712161212DVD编号D006D007D008D009D010购买量1614161516DVD编号D011D012D013D014D015购买量1514141416DVD编号D016D017D018D019D020购买量1314141510为了满足一个月内95%的会员得到他想看的DVD，且满意度最大，对两种方案所得数据进行比较，结合会员对每种DVD的满意度，根据统计原理在方案（三）内排除编号为C0007，C0021，C0032，C0048，C0066的会员5人。把另外的95%的会员按照模型（2）重新得出新的分配方案（四），即为所要决定的的购买量见表（3）和DVD的分配方案见表（4）（源程序附后）。表（3）DVD编号D001D002D003D004D005购买量1810161212DVD编号D006D007D008D009D010购买量1913161715DVD编号D011D012D013D014D015购买量1616151115DVD编号D016D017D018D019D020购买量91615157表（4）会员号C0001C0002C0003C0004C0005DVD号D003，D008，D001，D013，D017D012，D019会员号C0006C0007C0008C0009C0010DVD号D015D016D013，D014D003，D015D010，D012会员号C0011C0012C0013C0014C0015DVD号D008，D010，D019D009，D019D016，D007，D009，会员号C0016C0017C0018C0019C0020DVD号D008，D004，D007，D015，D017D009，会员号C0021C0022C0023C0024C0025DVD号D003，D007，D011D002，D012，D013D008，D011，D013D015，D017，D019会员号C0026C0027C0028C0029C0030DVD号D003，D008，D016D002，D006，D010D005，D007，D009D008，D013，D020D003，D009，D017会员号C0031C0032C0033C0034C0035DVD号D007，D009，D016D002，D019，D020D001，D013，D020D015，D017，D020会员号C0036C0037C0038C0039C0040DVD号D009，D011，D019D001，D011，D012D003，D011，D014D009，D015，D018D003，D008，D018会员号C0041C0042C0043C0044C0045DVD号D010，D018，D019D004，D014，D015D008，D0015，D019D001，D004，D019D005，D006，D019会员号C0046C0047C0048C0049C0050DVD号D008，D012，D014D005，D006，D011D005，D014，D019D001，D005，D006会员号C0051C0052C0053C0054C0055DVD号D003，D017，D018D001，D004，D015D010，D015，D019D002，D007，D012D001，D004，D008会员号C0056C0057C0058C0059C0060DVD号D003，D010，D018D005，D007，D008D013，D014，D017D006，D007，D018D001，D007，D010会员号C0061C0062C0063C0064C0065DVD号D004，D012，D017D002，D004，D012D003，D011，D018D004，D006，D008D009，D011，D020会员号C0066C0067C0068C0069C0070DVD号D005，D017，D018D004，D006，D013D001，D010，D019D001，D003，D010会员号C0071C0072C0073C0074C0075DVD号D005，D009，D018D006，D010，D012D010，D011，D013D004，D011，D015D009，D013，D016会员号C0076C0077C0078C0079C0080DVD号D001，D002，D003D010，D015，D018D002，D003，D016D007，D019，D020D006，D008，D013会员号C0081C0082C0083C0084C0085DVD号D006，D012，D014D007，D008，D013D003，D006，D010D006，D008，D016D007，D017，D019会员号C0086C0087C0088C0089C0090DVD号D003，D011，D018D005，D006，D012D004，D005，D017D001，D005，D006D006，D012，D015会员号C0091C0092C0093C0094C0095DVD号D003，D009，D011D012，D015，D017D001，D006，D009D001，D004，D010D007，D009，D011会员号C0096C0097C0098C0099C0100DVD号D009，D017，D019D002，D012，D014D001，D006，D018D002，D013，D014D009，D016，D018模型评价与改进 我们在分析问题建立模型时，采用极限值的方法把实际问题给予简化，使得解题思路比较清晰，能够更好的考虑DVD的实际分配问题。模型（2）通过对会员的满意度进行量化，采用线性规划的方法得出01规划的优化模型，使得实际问题简单化，程序化，便于得到最优方案。问题（3）通过对会员满意度进行加权，再在模型（1）（2）的基础上，得出的购买量和分配方案。本文模型缺点是通过考虑各种情况下的极限值，来确定最小需求量。由于实际生活中，问题往往比较复杂，所以所得结果与现实需求有些许偏差。实际中，网站为了持续发展，扩大规模，必须不断购进各种新DVD，因此需要根据各种新DVD的宣传力度、明星阵容、所属种类、观众期望程度等方面因素，综合分析、预测其中DVD的租赁情况，及网站的需求量购买，使的公司的成本最低，而会员对网站的满意度最大。模型推广本文模型是用来解决DVD的现实租赁问题，适合决大部分的网上在线交易。可以推广使用到一般的物品租赁领域和商品销售领域，使其在获得经济利益最大的前提下，合理的订购和分配物品。还可推广应用到婚介所结婚对象的搭配上，工业企业的产销平衡上等方面。附录参考文献1蔡海涛等. 运筹学典型例题与解法 .长沙：国防科技大学出版社，20032韩中庚. 数学建模方法及应用. 北京：高等教育出版社，20053刁在均，郑汉鼎等. 运筹学 .第二版. 北京：高等教育出版社，20014叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材.第一版.；湖南教育出版社发行，5姜启源，数学模型.第二版；北京：高等教育出版社，19936周义仓，赫孝良，数学模型，西安：西安交通大学出版社，19997谢金星，薛毅，北京：优化建模与LINDO/LINGO软件：清华大学出版社，2005源程序：问题二的源程序：model:sets:dvd/1.20/:total;huiyuan/1.100/;pianai(huiyuan,dvd):data0;bianliang(huiyuan,dvd):data1;endsetsmax=sum(pianai(i,j):data1(i,j)*data0(i,j);for(bianliang:bin(data1);for(huiyuan(j):sum(bianliang(j,i):data1(j,i)=3);for(dvd(i):sum(bianliang(i,j):data1(i,j)=total(i);data:total=8 1 22 10 8 40 40 1 8 15 19 20 10 2 5 8 30 10 8 38 ;data0=0 0 8 0 0 0 1 9 0 5 3 0 0 2 0 7 4 0 0 6 9 0 1 0 0 3 0 0 6 0 0 8 0 4 7 0 0 2 5 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0 0 6 9 7 2 0 8 0 1 5 0 0 0 0 6 0 3 4 0 0 7 9 0 5 1 0 2 0 8 0 5 0 0 0 0 6 3 0 0 1 0 0 7 0 8 2 4 0 9 0 6 0 4 0 0 2 0 5 1 0 0 7 0 0 9 8 0 0 3 0 0 0 4 7 0 0 9 8 2 0 6 0 0 0 0 5 0 0 1 3 7 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 1 9 8 0 4 0 5 6 0 0 7 8 1 0 0 3 5 0 4 0 0 0 0 9 6 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 9 6 8 0 0 0 0 5 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 9 0 8 2 0 7 0 5 0 0 4 3 0 0 2 0 0 6 0 3 0 0 4 8 0 5 7 1 0 0 0 9 0 2 0 0 0 0 5 0 0 8 0 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