广东省广州市越秀区高三数学上学期摸底考试试题 理 新人教A版.doc

1 20142014 届越秀区高三摸底考试试卷届越秀区高三摸底考试试卷 数数 学 理科 学 理科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用 2b 铅笔在 考生号 座号 处填涂考生号 座位号 用黑色 字迹钢笔或签字笔将自己所在学校 班级 以及自己的姓名填写在答题卷上 2 选择题每小题选出答案后 用 2b 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使 用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2b 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卷的整洁 考试结束后 将试卷和答题卷一并交回 参考公式 参考公式 圆锥的侧面积公式srl 其中r是圆锥的底面半径 l是圆锥的母线长 一 选择题 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设集合 2 4 ax x 10 bx x 则ab r a 21 xx b 21 xx c 12 xx d 12 xx 2 已知 3 logf xx 则 3 3 f a 1 3 b 1 3 c 1 2 d 1 2 3 设a r 则 1a 是 直线10axy 与直线10 xay 平行 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 4 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图与侧视图都是底边长为 6 腰长为 5 的等腰 三角形 则这个几何体的全面积为 a 12 b 15 c 21 d 24 5 在 abc中 3 sin 5 a 8ab ac 则 abc的面积为 a 3 b 4 c 6 d 12 5 2 6 函数 23 x f xex 的零点所在的一个区间是 a 1 0 2 b 1 0 2 c 1 1 2 d 3 1 2 7 若双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的渐近线与圆 22 2 1xy 相切 则双曲线的离 心率为 a 4 3 b 2 3 3 c 2 d 2 8 若过点 2 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 74yaxx 都相切 则a的值为 a 2 或 49 16 b 3 或 5 16 c 2 d 5 16 二 填空题 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 若复数z满足i2iz 则复数z的实部是 10 9 2 1 x x 的展开式中的常数项是 用数字作答 11 执行如图所示的程序框图 则输出的s的值是 12 已知实数 x y满足1 43 xy 则zxy 的最大值 是 13 在区间 0 2 上随机取一个数a 在区间 0 4 上随机取 一个数b 则关于x的方程 2 20 xaxb 有实根的概 率是 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 ab为 o的直径 弦ac bd相交于点p 若3ab 1cd 则cosapb 的值为 15 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知曲线c的参数方程是 15cos 25sin x y 为参数 以直角坐标系的原点o为极 点 x轴的正半轴为极轴 并取相同的长度单位建立极坐标系 则曲线c的极坐标方程 3 是 三 解答题 解答题 本大题共6小题 满分80分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 sin 0 0 0 f xaxa x r的最大值是 1 最小 正周期是2 其图像经过点 1 m 1 求 f x的解析式 2 设a b c为 abc的三个内角 且 3 5 f a 5 13 f b 求 f c的 值 17 本小题满分 12 分 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物 的 50 位顾客的相关数据 如下表所示 一次购物量n 件 1 n 34 n 67 n 910 n 12n 13 顾客数 人 x 20105 y 结算时间 分钟 人 0 511 522 5 已知这 50 位顾客中一次购物量少于 10 件的顾客占 80 1 确定x与y的值 2 若将频率视为概率 求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望 3 在 2 的条件下 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算 且各顾客的 结算相互独立 求该顾客结算前的等候时间不超过 2 分钟的概率 18 本小题满分 14 分 如图 菱形abcd的边长为 4 60bad acbdo 将菱形abcd沿对 角线ac折起 得到三棱锥bacd 点m是棱bc的中点 2 2dm 1 求证 om平面abd 2 求证 平面dom 平面abc 3 求二面角dabo 的余弦值 4 19 本小题满分 14 分 已知数列 n a满足 1 1 2 a 1 1 1 2 nn n aan n 1 求数列 n a的通项公式 2 令 nn bna 数列 bn 的前n项和为tn 试比较tn与 3 21 n n 的大小 并予以证 明 20 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy cab ab 的左 右焦点分别为 1 1 0 f 2 1 0 f p为椭 圆c 上任意一点 且 12 cosfpf 的最小值为 1 3 1 求椭圆c的方程 2 动圆 222 2 3 xytt 与椭圆c相交于a b c d四点 当t为何值 时 矩形abcd的面积取得最大值 并求出其最大面积 21 本小题满分 14 分 已知函数 1 ln 02 2 x f xx x 1 是否存在点 m a b 使得函数 yf x 的图像上任意一点p关于点m对称的 点q也在函数 yf x 的图像上 若存在 求出点m的坐标 若不存在 请说 明理由 2 定义 21 1 1221 n n i in sffff nnnn 其中 n n 求 2013 s 3 在 2 的条件下 令12 nn sa 若不等式2 1 n am n a 对 n n且 2n 恒成立 求实数m的取值范围 5 20142014 届越秀区高三摸底考试数学 理科 参考答案届越秀区高三摸底考试数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共8 8题 每小题题 每小题5 5分 满分分 满分4040分 分 题号 12345678 答案 bdcd acba 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 1 10 84 11 300 12 4 13 1 3 14 1 3 15 2cos4sin 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 分 16 16 1 依题意得1a 由 2 2t 解得1 所以 sin f xx 因为函数 f x的图像经过点 1 m 所以sin 1 即sin1 因为0 所以 2 所以 sin cos 2 f xxx 2 由 1 得 cosf xx 所以 3 cos 5 f aa 5 cos 13 f bb 因为 0 a b 所以 2 4 sin1 cos 5 aa 2 12 sin1 cos 13 bb 因为 a b c为 abc的三个内角 所以 coscos cos f ccabab coscossinsin abab 35412 513513 63 65 17 17 1 依题意得 20 1050 80 x 550 20 y 解得10 x 5y 2 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所以收集的 50 位顾客一次购物 的结算时间可视为总体的一个容量为 50 的随机样本 将频率视为概率得 10 0 5 0 2 50 p x 20 1 0 4 50 p x 10 1 5 0 2 50 p x 5 2 0 1 50 p x 5 2 5 0 1 50 p x 所以x的分布列为 x0 511 522 5 p0 20 40 20 10 1 x的数学期望为0 5 0 2 1 0 4 1 5 0 22 0 12 5 0 11 25ex 3 记 该顾客结算前的等候时间不超过 2 分钟 为事件a 该顾客前面第i位顾客的结 算时间为 1 2 i x i 由于各顾客的结算相互独立 且 12 xx的分布列都与x的分 布列相同 所以 6 121212 0 5 0 5 0 5 1 0 5 1 5 p ap xp xp xp xp xp x 121212 1 0 5 1 1 1 5 0 5 p xp xp xp xp xp x 0 2 0 20 2 0 40 2 0 20 4 0 20 4 0 40 2 0 20 44 为所求 18 18 1 因为o为ac的中点 m为bc的中点 所以 omab 因为om 平面abd ab 平面abd 所以 om 平面abd 2 因为在菱形abcd中 od ac 所以在三棱锥b acd 中 od ac 在菱形abcd中 ab ad 4 60bad 所以bd 4 因为o为bd的中点 所以 1 2 2 odbd 因为o为ac的中点 m为bc的中点 所以 1 2 2 omab 因为 222 8odomdm 所以 90dom 即od om 因为ac 平面abc om 平面abc acomo 所以od 平面abc 因为od 平面dom 所以平面dom 平面abc 3 作oe ab 于e 连结de 由 2 知 od 平面abc 所以od ab 因为od oeo 所以ab 平面ode 因为de 平面ode 所以ab de 所以 deo 是二面角d abo 的平面角 在 rt doe中 2od 3 oa ob oe ab 22 7deodoe 所以 21 cos 7 oe deo de 所以二面角 dabo 的余弦值为 21 7 19 19 1 当2 n时 121321 nnn aaaaaaaa 23 1111 2222n 23 1111 2222n 1 11 1 1142 1 22 1 2 n n 又 1 1 2 a 也适合上式 所以 1 2 n n an n 2 由 1 得 1 2 n n a 所以 2 nn n n bna 因为 123 123 2222 n n n t 所以 2341 1123 22222 n n n t 由 得 1231 11111 222222 n nn n t 7 所以 121 1 1 1112 2 12 1 222222 1 2 n n nnnn nnn t 因为 33222 2 221 2 21212212 21 2 n n nnn nnnnnnn t nnnn 所以确定 n t与 3 21 n n 的大小关系等价于比较2n与21n 的大小 当1n 时 1 22 1 1 当2n 时 2 22 2 1 当3n 时 3 22 3 1 当4n 时 4 22 4 1 可猜想当3n 时 221 n n 证明如下 当3n 时 011 2 1 1 nnnn nnnn cccc 011 2221 nn nnnn ccccnn 综上所述 当1n 或2n 时 3 21 n n t n 当3n 时 3 21 n n t n 20 20 1 因为p是椭圆c上一点 所以 12 2pfpfa 在 12 fpf中 12 2ff 由余弦定理得 222 1212 12 12 cos 2 pfpfff fpf pfpf 2 2 1212 1212 24 44 1 22 pfpfpfpf a pfpfpfpf 因为 2 122 12 2 pfpf pfpfa 当且仅当 12 pfpfa 时等号成立 因为1a 所以 2 12 22 442 cos11 2 a fpf aa 因为 12 cosfpf 的最小值为 1 3 所以 2 21 1 3a 解得 2 3a 又1c 所以 222 2bac 所以椭圆c的方程为 22 1 32 xy 2 设 00 a xy 则矩形abcd的面积 00 4sx y 因为 22 00 1 32 xy 所以 2 2 0 0 2 1 3 x y 所以 2 2 22222 0 0000 323 1632124 332 x sx yxx 因为 0 33x 且 0 0 x 所以当 2 0 3 2 x 时 2 s取得最大值 24 8 此时 2 0 1y 22 00 10 2 txy 所以当 10 2 t 时 矩形abcd的面积最大 最大面积为2 6 21 21 1 假设存在点 m a b 使得函数 yf x 的图像上任意一点p关于点m对称的点 q也在函数 yf x 的图像上 则函数 yf x 图像的对称中心为 m a b 由 2 2f xfaxb 得 2 1 ln1 ln2 222 xax b xax 即 2 2 2 22ln0 244 xax b