信号分析与处理答案(第二版).doc

第二章习题参考解答2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。(1) 解 当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：， ， ，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应： (2) 解 (a)求冲激响应 ，当时，。特征方程 ，解得特征根为。所以： (2.1.2.1)通过原方程迭代知，代入式(2.1.2.1)中得： 解得， 代入式(2.1.2.1)： (2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以： (b)求阶跃响应通解为 特解形式为 ，代入原方程有 ， 即完全解为 通过原方程迭代之，由此可得 解得，。所以阶跃响应为： (3) 解 (4) 解 当t0时，原方程变为：。 (2.1.3.1) (2.1.3.2)将(2.1.3.1)、 (2.1.3.2)式代入原方程，比较两边的系数得： 阶跃响应：2.2 求下列离散序列的卷积和。(1) 解 用表格法求解 (2) 解 用表格法求解 (3) 和 如题图2.2.3所示 解 用表格法求解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 参见右图。当时：当时： 当时：当时：当时：(7) ， 解 参见右图：当时：当时： 当时： 当时： 当时： (8) ， 解 参见右图当时： 当时： 当时： 当时： (9) ， 解 (10) ， 解 或写作：2.3 求下列连续信号的卷积。(1) ， 解 参见右图：当时： 当时：当时：当时：当时：当时： (2) 和 如图2.3.2所示 解 当时：当时：当时： 当时： 当时： (3) ， 解 (4) ， 解 (5) ， 解 参见右图。当时：当时： 当时： 当时： (6) ， 解 (7) ， 解 (8) ， 解 (9) ， 解 2.4 试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。解 2.5 已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。(1) ； 解 ，(2) ； ，解 ， ，可定出 (3) ； ，解 ， ，可定出 2.6 某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于时闭合，试求输出响应。解 由于电容器二端的电压在时不会发生突变，所以。根据电路可以立出时的微分方程： ， 整理得 齐次解：非齐次特解：设 代入原方程可定出 ， 则： 2.7 积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为，试求零状态响应。解 根据电路可建立微分方程： 当时： 由可定出 ， 根据系统的时不变性知，当时： 当 时：2.8 求下列离散系统的零输入响应。(1) ； ，解 由， 可定出 ， (2) ； ，解 由， 可定出 .(3) ； ， 解 特征方程， 由 可定出 2.9 求下列离散系统的完全响应。(1) ； 解 齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程得： 由 可定出 (2) ； ， 解 齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程定出 由 可定出 2.10 试判断下列系统的稳定性和因果性。(1) 解 因果的；稳定的。(2) 解 因为冲激响应不满足绝对可和条件，所以是不稳定的；非因果的。(3) 解 稳定的，非因果的。(4) 解 不稳定的，因果的。(5) 解 不稳定的，因果的。(6) (为实数)解 时： 不稳定的，因果的； 时： 稳定的，因果的； 时： 不稳定的，因果的。(7) 解 不稳定的，非因果的。(8) 解 稳定的，非因果的。2.11 用方框图表示下列系统。(1) (2) (3) *2.12 根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应。(1) 解 当时： , 由原方程知当时：，由此可定出 (2) 解 当时： 齐次方程的通解为，由原方程迭代求解可得为： 由此可以定出 *2.13 根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应。(1) 解 当时：，代入原方程可确定 (2) 解 当时： 代入原方程，比较两边系数得： *2.14 试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。(1) ；，解 (a)求强迫响应： 假设特解为：代入原方程，可定出； 则强迫响应 (a)求自由响应： 利用冲激平衡法可知： 可定出；所以完全解形式：，由定出即完全响应为：所以自由响应为：(b)求强迫响应： 假设特解为：代入原方程，可定出； 则强迫响应 (c)求零输入响应：由 可定出 (d)求零状态响应 零状态响应自由响应强迫响应零输入响应 综上所求，有： (2) ；，解法一 用z变换求解。方程两边进行z变换，则有： 解法二：时域解法。求强迫响应： 当时： 即为常值序列， 设特解为，代入原方程可定出当时：仅在激励作用下，由原方程知，即：特解在时均满足方程。求自由响应：完全解：由经迭代得：由可定出完全解中系数为： 则自由响应分量为：零输入响应： 由 可以定出： 零状态响应：*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质：(1) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为；(2) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为。证(1) 已知，根据系统的线性试不变性有： ；令，则有：证(2) 已知，根据系统的线性试不变性有： 令 则 ，所以 证毕。*2.16 考察题图2.16(a)所示系统，其中开平方运算取正根。(1) 求出和之间的关系；(2) 该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？(3) 若输入信号是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应。解 (1) 由系统框图可得(2) 由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。又因为当输入为时，输出为），故系统是时不变的。 (3) 由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。*2.17 一个线性系统对的响应为，(1) 该系统是否为时不变系统？(2) 该系统是否是因果系统？(3) 若 a)；b)，求该系统对每个输入的响应。解 (1) 当时，输入为输出为当时，输入为输出为显然 ，是时变系统。(2) 当时，如显然，响应出现于激励之前，所以是非因果系统。(3) 因为不是LTI系统，所以输出响应不能用来计算。对于线性时变系统，输出响应可求解如下： 任意信号仍可分解为冲激函数的和，即有：因为（这里是的二元函数）由于系统为线性的，故有：对于此例有，当时： （注意：）即 当时： 第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。解 (a) 解 (b) 解 (c) 解 (d) 3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。解 (a) 解 (b) 设， 由傅氏变换的微积分性质知： 解 (c) 利用傅氏变换性质知：解 (d) 或 解 (e) 解 (f) 3.3 若已知，试求下列信号的傅里叶变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 令 则有：, ， 3.4 在题图3.2(b)中取，将进行周期为的周期延拓，得到周期信号，如题图3.4(a)所示；取的个周期构成截取函数，如题图3.4(b)所示。(1) 求周期信号傅里叶级数系数；(2) 求周期信号的傅里叶变换；(3) 求截取信号的傅里叶变换。解 (1) 设单个三角波脉冲为，其傅里叶变换根据傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系知： (2) 由周期信号的傅里叶变换知： (3) 因为 3.5 绘出下列信号波形草图，并利用傅里叶变换的对偶性，求其傅里叶变换。(1) (2) 提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换解(1) ， 根据对偶知： 解(2) 3.6 已知的波形如题图3.6(a)所示，(1) 画出其导数及的波形图；(2) 利用时域微分性质，求的傅里叶变换； (3) 求题图3.6(b)所示梯形脉冲调制信号的频谱函数。 解(1) 及的波形如下：(2) (3) 3.7 求下列频谱函数的傅里叶逆变换。(1)解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (3.7.5.1) 又 (3.7.5.2)由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知： (6) 解 *3.8 设输入信号为，系统的频率特性为，求系统的零状态响应。解 3.9 理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数，相频特性为线性函数，如题图3.9所示。现假设输入信号为的矩形脉冲，试求系统输出信号。 解 利用傅里叶变换的对称性，可以求得该系统的冲激响应为： ，令得： 其中： 3.10 在题图3.10(a)所示系统中，采样信号如图(b) 所示，是一个正负交替出现的冲激串，输入信号的频谱如图(c)所示。(1) 对于，画出和的频谱；(2) 对于，确定能够从中恢复的系统。 解(1) 由此可以绘出及的频谱图如下： (2) 从的频谱可以看出，由恢复的系统如图所示:3.11 在题图3.11(a)所示系统中，已知输入信号的傅里叶变换如题图(b)所示，系统的频率特性和分别如图(c)和图(d)所示，试求输出的傅里叶变换。解： 参见题图的标注。*3.12 在题图3.12(a)所示的滤波器中，。如果滤波器的频率特性函数满足： (，为常数)则称该滤波器为信号的匹配滤波器。(1) 若为图(b)所示的单个矩形脉冲，求其匹配滤波器的频率特性函数；(2) 证明图(c)所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；(3) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应，并画出的波形；(4) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应，并画出的波形。解 (1) 解 (2) 参见图(c)标注. 又 ， 即与（）中有相同的函数形式。解 (3) ， 解 (4) (取) 为一三角波*3.13 求题3.1中和的功率谱密度函数。解 (1) 参见3-1题。首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式：周期信号的傅里叶变换为： 其中是傅里叶级数展开式系数。考虑截取信号：根据频域卷积定理，截取信号的傅里叶变换为： 当时，趋向于集中在处，其他地方为零值，所以功率谱密度函数为： 由于，所以： 由此可求题给信号的功率谱密度函数： 解 (2) *3.14 求题3.2中和的能量谱密度函数。解 设的能量谱密度函数为，。设的能量谱密度函数为，。*3.15 信号的最高频率为500Hz，当信号的最低频率分别为0，300Hz，400Hz时，试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率，并解释如何从采样后信号中恢复。解(1) ，所以 (2) ，取当代入式中可知，只有当不等式才能成立：，所以采样频率只能取Hz。(3) ， 当代入式中可知，当不等式成立：，所以最低采样频率。*3.16 正弦信号的振幅电平为V，现采用12位的量化器进行舍入式量化，求量化误差的方均根值和量化信噪比。解 ，；，；，；*3.17 绘出，的波形，并证明它们在0，1区间上是相互正交的。解 由三角函数和符号函数的意义可绘出的波形如图所示。显然： 即在0，1区间上满足正交的定义。*3.18 求信号的自相关函数。解 当： 当：第四章习题解答4.1 求下列离散周期信号的傅里叶级数系数。(1) 解 ，若取 则： (2) 解 若取： 则 (3) 解 ，若取 则： (4) ，周期解 (5) 解 (6) 解 4.2 已知周期信号的傅里叶级数系数及其周期，试确定信号。(1) ， 解 ，将此式与的定义式比较可知： 若取 则(2) ， 解 4.3 求下列序列的傅里叶变换。(1) 解 (2) 解 令 有： (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 4.4 利用傅里叶变换的性质求下列序列的傅里叶变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 4.5 已知的傅里叶变换为，求下列序列的傅里叶变换。(1) 解 ；(2) 解 ，(3) 解 (4) 解 4.6 已知离散信号的傅里叶变换为，求其对应的时域信号。(1) 解 (2) 解 和的定义式比较知： (3) 解 (4) 解 (5) 解 4.7 设两个离散LTI系统的频率响应分别为 将这两个系统级联后，求描述整个系统的差分方程。解 将这两系统级联后，求描述整个系统的差分方程级联后系统的频率响应为： 的频率响应为： 比较后得知级联后系统的差分方程为： 4.8 设一离散LTI系统的差分方程为，(1) 求该系统的频率响应；(2) 若系统的激励为，求系统的零状态响应。解 (1) 方程两边进傅里叶变换得： 解 (2) *4.9 设和是周期信号，且 ， 试证明离散时间调制特性，即证明其中。证明 令 类似可证： 证毕。*4.10 周期三角形序列如题图4.10(a)所示，其单个周期内的序列构成有限长序列、，如图(b)和图(c)所示。(1) 求的傅里叶变换；(2) 求的傅里叶变换(3) 求的傅里叶级数系数；(4) 证明傅里叶级数系数表示或的等间隔采样，即有： 或 N为周期解(1) 解(2) 解(3) 周期，解 (4) 由上面知： 而 比较知：*4.11 一个离散时间系统的单位冲激响应为，利用傅里叶变换求该系统对下列输入信号的响应。解 ， *4.12 如果为系统的输入，为系统的输出，对下面每组信号判断是否存在一个离散时间LTI系统，当输入为时，输出为？如果不存在，说明为什么。如果存在，它是否是唯一的？求出该LTI系统的频率响应。(1) ， 解 所以输人输出为非线性关系，则不存在一个LTI系统能满足此输人输出关系。(2) ， 解 ； 所以该输人输出关系可以对应一个频率响应为的LTI系统，且是唯一的。当然该输人输出关系也可以对应一个的非线性系统。 注意该题和(1)的区别，在题(2)中，所对应的LTI系统的输人输出关系可以用差分方程：描述，而在题(1)中，则找不到满足线性的时域方程。(3) ， 解 该输人输出关系可以对一个LTI系统，其频响可为：显然能产生这种输人输出关系的LTI系统不是唯一的，如则是另一个LTI系统。4.13 用闭式表达以下有限长序列的DFT。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 4.14 已知以下，试求IDFT。(1) (2) 其中为某一正整数且。解 (1) 解 (2) 4.15 已知有限长序列，DFT=，试利用频移定理求(1) (2) 解 (1) 解 (2) *4.16 题图4.16是的有限长序列，试绘图解答(1) 与的线性卷积；(2) 与的4点圆周卷积；(3) 与的10点圆周卷积；(4) 若与的圆周卷积和线性卷积相同，求长度L的最小值。解 (1) 利用表格法可求得线性卷积为：解 (2) 当L=4时：根据上面信号波形的图示，直接按照周期卷积取主值来计算圆周卷积： 上式中周期卷积的具体计算过程和线性卷积的计算过程类似。 或者根据线性卷积和周期卷积的关系以及周期卷积和圆周卷积的关系求解。周期卷积和线性卷积的关系： 这里圆周卷积是周期卷积的主值区间0，3。同时考虑到线性卷积的非零值区间为0，6所以利用上式计算圆周卷积时，只需考虑在0，3区间内有非零值的移位的叠加： = 解 (3) 当L=10时根据上图可求得： 解 (4) 使卷积与圆周卷积结果相同的最小长度分别为两参与运 算的序列长度。4.17 已知两个有限长序列，分别用卷积与DFT两种方法求解。解法一 直接卷积和： 解法二 用DFT计算： 类似可求得 4.18 若(1) 求频率特性，作出幅频特性草图；(2) 求DFT的闭式表达式。解 (1) 解 (2) 第五章习题解答5.1 根据定义求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注意比较所得结果。(1) 为任意值解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 由(1)(3); (4)(5) 之间的比较知，在时具有相同函数形式的两个不同时域函数，具有相同的单边拉普拉斯变换。5.2 求下列信号的单边拉普拉斯变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 (7) 解 (8) 解 (9) 解 (10) ()解 5.3 已知的拉普拉斯变换为，求下列信号的拉普拉斯变换。(1) 解 (2) 解 ， (3) 解 (4) 解 ，5.4 求下列信号的拉普拉斯逆变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 ；(4) 解 ；(5) 解 ，(6) 解 ， (7) 解 (8) 解 5.5 求下列函数拉普拉斯逆变换的初值和终值。(1) 解 (2) 解 5.6 比例积分器的电路如题图5.6所示，输入信号分别为以下二种情况时，求输出信号，并画出其波形草图。(1) (2) 解 (1) 波形参见右图.解(2) 5.7 某一LTI系统的微分方程为：系统的初始条件为 ，激励信号，试求：(1) 冲激响应；(2) 零输入响应，零状态响应及全响应；(3) 用初值定理求全响应的初值；(4) 用初值定理求零状态响应的初值。解 (1) 解(2) 对原方程二边进行拉普拉斯变换得： 解 (3) 解 (4) 5.8 在题图5.8所示电路中，以前开关S位于“1”端，已进入稳定状态。时，开关从“1”倒向“2”，求。解 由题意知 根据电路可列出时的微分方程为： 整理得 设 ，方程二边进行拉普拉斯变换得： 5.9 求题图5.9所示电路的传输函数。(1) 题图5.9(a)(2) 题图5.9(b)解(1) 设一中间参量，参见图），根据极点电压法可立方程如下 由第2个方程解得 ，代入第1个方程得 解(2) 设置中间参量(参见图b),根据电路可立方程： 整理得： ， 5.10 用复频域等效模型法求解题5.8。解 复频域等效模型参见下图。根据电路可立方程： ()5.11 已知传输函数的零极点分布如题图5.11所示，并知，试写出的表示式，并说明系统的稳定性。解 根据零极点分布图可知： 又由，可确定。由于所有极点均位于左半平面，所以该系统是稳定系统。5.12 求下列信号的单边变换，并注明收敛域。(1) 解 (2) 解 (3) ()解 (4) 解(5) 解 (6) 解 (7) 解 5.13 求下列的逆变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 5.14 利用卷积定理求。(1) ， 解 ； (2) ， 解 ； 5.15 用单边变换求解差分方程，解 方程两边取变换，并考虑初始条件得： 整理得： 5.16 系统结构如题图5.16所示(1) 求该系统的单位冲激响应； (2) 若激励为，求输出。解(1) 系统差分方程为：两边取变换得：；则 解(2) *5.17