【五年经典推荐 全程方略】高三数学 专项精析精炼 考点9 正弦定理和余弦定理 .doc

考点9 正弦定理和余弦定理 1.（2010天津高考理科7）在abc中，内角a,b,c的对边分别是a,b,c，若，则a=( )【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化.【规范解答】选a.根据正弦定理及得：.，【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角.2.（2010北京高考文科7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )（a） （b）（c） （d）【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识.【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和.【规范解答】选a.等腰三角形的底边长为.所以班徽的面积为.3.（2010湖南高考理科4）在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a,b,c，若c=120，,则（ ）(a)ab (b)ab (c)a=b (d)a与b的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生运用知识和等价转化的能力.【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.【规范解答】选a.c=120，2a2=a2+b2-2abcos120，a2=b2+ab，（）2+-1=0，= 1，ba. 【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解,尤其是均值不等式的考查.4.（2010北京高考理科0）在abc中，若b = 1，c =，则a= .【命题立意】本题考查利用三角形中的余弦定理求解.【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出.【规范解答】由余弦定理得，即，解得或（舍）.【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好.5.（2010广东高考理科11）已知a,b,c分别是abc的三个内角a,b,c所对的边，若a=1,b=, a+c=2b,则sinc= .【命题立意】本题考查正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出，的大小，再求出，从而求出【规范解答】由a+c=2b及得，由正弦定理得，得，由知，所以，所以【答案】16.（2010山东高考理科15）在中，角所对的边分别为a，b，c，若，则角的大小为 【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先根据求出b，再利用正弦定理求出，最后求出a. 【规范解答】由，得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以.【答案】30或7.（2010江苏高考13）在锐角三角形abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若，则的值是_.【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想.【思路点拨】对条件采用角化边，对采用切化弦并结合正弦定理解决.【规范解答】，.，由正弦定理得，上式 .【答案】4【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化.本题若考虑到已知条件和所求结论对于角a、b和边a、b具有轮换性，可采用以下方法解决：当a=b或a=b时满足题意，此时有：，= 4.8.（2010辽宁高考文科17）在abc中，a,b,c分别为内角a,b,c的对边，且2asina=(2b+c)sinb+(2c+b)sinc.()求a的大小.（）若sinb +sinc=1,试判断abc的形状.【命题立意】本题考查了正弦定理、余弦定理和考生的运算求解能力.【思路点拨】(i)根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角.(ii)利用（i）的结论，求出角b(或角c)，判断三角形的形状.【规范解答】【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sina，用b替换sinb,用c替换sinc.sina,sinb,sinc的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分.(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用,如本例中b+c60.9.（2010浙江高考文科18）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a,b,c,设s为abc的面积，满足.（）求角c的大小.（）求的最大值.【命题立意】解析本题主要利用余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查考生的运算求解能力.【思路点拨】利用面积公式求角c，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简，求最值.【规范解答】()由题意可知absinc2abcosc， 所以tanc.因为0c，所以c.（)由已知sina+sinb = sina+sin(-c-a)sina+sin(-a)sina+cosa+sinasin(a+).当a，即abc为正三角形时取等号，所以sina+sinb的最大值是.【方法技巧】求时，利用，转化为求关于角a的三角函数的最值问题.10.（2010辽宁高考理科17）在abc中，a, b, c分别为内角a, b, c的对边，且（）求a的大小.（）求的最大值.【命题立意】考查了正弦定理、余弦定理、三角函数的恒等变换及三角函数的最值.【思路点拨】（i）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角.（ii）由（i）知角c60-b，代入sinb+sinc中，看作关于角b的函数，进而求出最值.【规范解答】（）由已知，根据正弦定理得，即，由余弦定理得，故 ，又0a180，a=120. （）由（）得： 故当b30时，sinb+sinc取得最大值1.【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sina，用b替换sinb,用c替换sinc.sina, sinb,sinc的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分.(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，如本例中b+c60.11.（2010浙江高考理科18）在abc中,角a，b，c所对的边分别为a,b,c，已知， (i)求sinc的值()当a=2， 2sina=sinc时，求b及c的长 【命题立意】本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查考生的运算求解能力. 【思路点拨】利用二倍角余弦公式求的值，再利用正弦定理求，利用