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4序轴法复合函数单调区间的一种简捷求法 成都市龙泉驿区教育局教研室 王富英 （610100）复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理（判定定理）：若都是单调函数，则n次复合函数在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是中减函数的个数为奇数。下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。例1 已知，若，求函数的单调区间。（89年高考理科（11）改编-原题为选择题） 解：令t=2,则，故是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R。当即或时， ；当即时， ；当时， ；当时， 。将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。如（图1）： ： -1 0 1 （图1）由图1可知，的递增区间为，0，1；递减区间为（-1，0），（1，+。这种求复合函数单调区间的方法我们称之为“序轴法”，其一般的解题步骤为：1、 求复合函数的定义域，并把各层函数分解出来；2、 求出各层函数单调区间及对应的在复合函数定义域内自变量x的取值区间；3、 由各层函数单调区间的端点值，把复合函数的定义域分成若干部分，并在序轴上标出；4、 将各层函数的增减性用升、降箭头在序轴上相应区间的上方标出；5、 由复合函数单调性的判定定理，在每个区间的下方，用升、降箭头标出单调性，从而得出复合函数的单调区间。这种方法已近程序化，层次清楚，操作方便，简便易行，且不容易出错。特别是对于由多个函数复合而成的复合函数则更为简捷。我们再举一例：例2、求函数的单调区间。解：因为，故令y(u)=,则是由三个函数复合而成的，其定义域为实数集R。当即或或时， ； 当时，即x-1,或时， ；当即时， ；当即或时， ；当时， ；当时， 。把及各层函数的单调性用箭头在序轴上标出(如图2)：y(u)u(t)t(x) f(x) -1 0 1 （ 图2） f(x)的单调递减区间为：;单调递增区间为： 。参考文献： 王富
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