2019版高考数学复习第7章不等式5阅读与欣赏（六）教案理.docx

5 阅读与欣赏（六）应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值常见的变形技巧有以下几种：加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f(x)x(x3)的最大值是()A4B1C5D1【解析】因为x0，所以f(x)3231.当且仅当3x，即x1时等号成立，所以f(x)的最大值是1.【答案】D平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值 若x0，y0，且2x28，求x的最大值思路点拨由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值【解】(x)2x2(62y2)32x233.当且仅当2x21，即x，y时，等号成立故x的最大值为.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值 已知a0，b0且ab2，求的最小值思路点拨由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值【解】由题得111，因为a0，b0，ab2，所以22，所以ab1，所以1.所以4(当且仅当ab1时取等号)，所以的最小值是4.变形后使用基本不等式 设a1，b1，且ab(ab)1，那么()Aab有最小值2(1) Bab有最大值(1)2Cab有最大值1 Dab有最小值2(1)【解析】因为ab(ab)1，ab()2，所以(ab)1，它是关于ab的一元二次不等式，解得ab2(1)或ab2(1)(舍去)，所以ab有最小值2(1)又因为ab(ab)1，ab2，所以ab21，它是关于的一元二次不等式，解得1或1(舍去)，所以ab32，即ab有最小值32.【答案】A形如型函数变形后使用基本不等式若y中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值 求函数y(x1)的值域思路点拨将(x5)(x2)用(x1)来表示再变形为f(x)AxC的形式，然后运用基本不等式求解【解】因为yx15，当x10时，即x1时，y259(当且仅当x1时取等号)；当x10，即x0，y0，求xy的最小值【解】法一：因为x0，y0，所以xy(xy)1(xy)33232.当且仅当，且1，即x1，y2时，上式等号成立故xy的最小值是32.法二：因为1，所以x.因为x0，y0，所以y20.所以xyyy2332.求以形如或可化为1型为条件的cxdy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1”的代换求乘法本题中的条件1也可化为2xyxy0. 若a，b为常数，且0x1，求f(x)的最小值思路点拨根据待求式的特征及0x0，1x0.又1x(1x)，因此可考虑利用“1”的代换法【解】因为0x0.所以11x(1x)x(1x)a2b2a2b22ab(ab)2.上式当且仅当时，等号成立所以(ab)2.故函数f(x)的最小值为(ab)2. 若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值是_思路点拨由于所给条件式中含两个变量a，b，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值【解析】因为ab4ab10，所以b4.又因为a1，所以b0.所以(a1)(b2)ab2ab26a96(a1)15.因为a10，所以6(a1)1521527.当且仅当6(a1)(a1)，即a2时取等号【答案】27已知条件含形如axbxycyd0(abc0)型的关系式，求关于x、y一次式的和或积的最值问题常将关系式中axbxycyd0变形，用一个变量x(或y)表示另一个变量y(或x)后求解 代换减元求最值 设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz的最大值为_【解析】x23xy4y2z0zx23xy4y2，所以3231.等号成立条件为x2y，代入到可得z(2y)232yy4y22y2，所以x2y，z2y2，所以x2yz2y2y2y22(y22y)2(y1)222.【答案】2在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解 建立求解目标不等式求最值 已知x，y均为正实数，且xyxy3，则xy的最小值为_【解析】因为x，y均为正实数，所以xy