高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.1函数及其表示.doc

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.1函数及其表示一、求函数的定义域、值域1、确定函数的定义域的原则（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。2、确定函数定义域的依据（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；（5）若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)定义域由不等式ag(x)b解出;(6)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域。3、求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.4、例题解析例1(2012大连模拟)求函数的定义域;(2)已知函数f(2x)的定义域是-1,1，求f(x)的定义域；(3)求下列函数的值域.y=x2+2x,x0,3,y=log3x+logx3-1,分析：(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可；(2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解;(3)根据解析式的特点，分别选用图象观察法；均值不等式法；单调性法求值域.解答：(1)要使该函数有意义，需要则有：解得:-3x0或2x3,所以所求函数的定义域为 (-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1,故f(x)的定义域为.(3)y=(x+1)2-1在0,3上的图象如图所示,由图象知：0y32+23=15,所以函数y=x2+2x，x0,3的值域为0,15.,定义域为(0,1)(1,+)，当0x1时，当x1时，综上可知，其值域为(-,-31,+).因为x2-1-1，又y=2x在r上为增函数,2-1=.故值域为,+).【规律方法】求函数定义域的方法(1) 求具体函数y=f(x)的定义域：(2)(2)求抽象函数的定义域：若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.例2设函数则不等式的解集是（ a ）. b. c. d.解析 由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解例3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nn*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为r，所以它们不是同一函数；（3）由于当nn*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。例4求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为注：上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。二、分段函数及实际应用题1、相关链接（1）解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决；（2）对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式，然后再写成分段函数；（3）对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值。2例题解析例1我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费.思路分析：计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量x在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数来表示.解答：设y表示本季度应缴纳的水费(元)，当0x5时，y=1.3x；当5x6时，应将x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分为基本消费1.35，第二部分由基本消费与加价消费组成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=3.9x-19.5，此时y=1.35+3.9x-19.5=3.9x-13，当6x7时，同理y=6.5x-28.6综上可知：.例2某出版公司为一本畅销书定价如下：这里的nn*表示购书的数量，c(n)是订购n本书所付的钱数(单位：元).若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？思路分析：分析题意知，先弄清分段点是解题的关键；列出买书的费用函数，在每一段上求最值，比较大小再求出整个函数的最值.解析：设甲买n本书，则乙买(60-n)本书(不妨设甲买的书少于乙买的书)，则n30,nn*当1n11且nn*时，4960-n59，出版公司赚的钱数f(n)=12n+10(60-n)-560=2n+300；当12n24且nn*时，3660-n48，出版公司赚的钱数f(n)=12n+11(60-n)-560=n+360;当25n30且nn*时，3060-n35，出版公司赚的钱数f(n)=1160-560=360；当1n11且nn*时，302f(n)322；当12n24且nn*时，372f(n)384；当25n30且nn*时，f(n)=360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元.三、求函数的解析式1、函数的解析式的求法函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x)=f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式,此时要注意g(x)的范围;(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).2、例题解析（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求；解：（1）配凑法：，（或）；（2）换元法：令（），则，；（3）待定系数法：设，则，；（4）方程组法： 把中的换成，得 ，得。提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意义的x的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.四、函数的综合应用例1 已知函数f(x)的定义域为r，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x)（1）若f(5)=9,求：f(5);（2）已知x 2,7时，f(x)=(x2)2，求当x16,20时，函数g(x)=2xf(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间1000,1000上的根数为n，求n的最小值。解 （1）由f(x+2)=f(2x)及f(x+7)=f(7x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。 f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x) =f7(3+x)=f(7+(3+x) =f(x+10)f(x)是以10为周期的周期函数。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）当x16,17,x106,7f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2当x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7f(x)=f(x20)=f4(x20) =f(24x)=(x22)2g(x)= x 16,17时，g(x)最大值为16，最小值为9；x（17，20，g(x)g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0所以最少有401个解。且这401个解的和为200。注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)= 一般地：当x3，2时，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2当x3,7,f(x)=(x2)2故当x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kz）例2 设a是正数，ax+y=2(x0,y0)，记y+3xx2的最大值是m(a)，试求（1）m(a)的表达式；（2）m(a)的最小值。解 将代数式y+3xx2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求m(a)。（1）设s(x)=y+3xx2,将y=2ax代入消去y，得：s(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a0 0x下面分三种情况求m(a)(i)当03a0)，即时解得 0a1或2a0)即时，解得：1a2，这