高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.1.2 复数的有关概念课件5 北师大版选修22.ppt

数系的扩充和复数的概念 x 1 0无解 3x 2 0无解 x2 2 0无解 n z q r x2 1 扩充原则 添加 新数 原数集是新数集的真子集 在新数集中 原有的运算及其性质仍然成立 1 数系的扩充 用图形表示包含关系 复习回顾 知识引入 引入一个新数 叫做虚数单位 并规定 虚数单位 2 实数可以与它进行四则运算 进行四则运算时 原有的加 乘运算律仍然成立 为了解决负数开方问题 即 将实数a和数i相加记为 a i 把实数b与数i相乘记作 bi 将它们的和记作 a bi a b r 虚数的历史 1545年卡尔丹在解方程的过程中第一次大胆使用了负数平方根的概念 当时被他称作 诡辩量 1637年法国数学家笛卡尔率先提出 虚数 这个词 并在很多方面得到了应用 虚数 被证明 不虚 了 1777年著名的数学家欧拉首次用 表示 1的平方根 只是存在于 幻想之中 并用 imaginary 即虚幻的缩写 来表示它的单位 1801年 高斯系统地使用这个符号 才使i通行于世 复数全体所组成的集合叫复数集 用字母c表示 1 复数 把形如a bi a b r 的数叫复数 i叫做虚数单位 imaginaryunit 一 复数的有关概念 用z表示复数 即z a bi a b r 叫做复数的代数形式 2 复数的代数形式 规定 0i 0 0 bi bi 3 两个复数相等 有两个复数z1 a bi a b r 和z2 c di c d r 注意 1 若z1 z2均为实数 则z1 z2具有大小关系 2 若z1 z2中不都为实数 z1与z2只有相等或不相等两关系 而不能比较大小 4 复数的分类 虚数 b 0 纯虚数 a 0且b 0 实数0 a b 0 实数 b 0 nzqrc 思考 1 数集n z q r c的关系是怎样的 2 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间关系 数系的扩充 z q r 自然数集 整数集 无理数集 实数集 复数集 虚数 c 回顾反思 1 说明下列数是否是虚数 并说明各数的实部与虚部 练习 2 有下列命题 1 若a b为实数 则z a bi为虚数 2 若b为实数 则z bi必为纯虚数 3 若a为实数 则z a一定不是虚数其中真命题的个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 b 例1 实数m取什么值时 复数是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 1 当 即时 复数z是实数 2 当 即时 复数z是虚数 3 当 且 即时 复数z是纯虚数 新授课 分析 在本题是复数的标准形式下 即z a bi a b r 根据复数的概念 只要对实部和虚部分别计算 总体整合即可 点评 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数 虚数 纯虚数 首先要保证参数值有意义 如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m 3 0 就会酿成根本性的错误 其次对参数值的取舍 是取 并 还是 交 非常关键 多与少都是不对的 解答后进行验算是很有必要的 对于复数z a bi a b r 既要从整体的角度去认识它 把复数z看成一个整体 又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 这是解复数问题的重要思路之一 1 下列命题中假命题是 a 自然数集是非负整数集b 实数集与复数集交集为实数集c 实数集与虚数集交集是 0 d 纯虚数集与实数集交集为空集 答案 c 解析 复数可分为实数和虚数两大部分 虚数中含有纯虚数 因此 实数集与虚数集没有公共元素 c是假命题 故选c 变式练习 2 已知a b r 则a b是 a b a b i为纯虚数的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 答案 c 解析 当a b 0时 此复数为0是实数 故a b不正确 计算 1 1 b 新授课 例2已知 其中 求 解 由复数相等的定义 得方程组 解得 点评 1 复数相等的条件 是求复数值及在复数集内解方程的重要依据 2 根据复数相等的定义可知 在a c b d中 只要有一个不成立 那么a bi c di 所以 一般地 两个复数只有说相等或不相等 而不能比较大小 例如 1 i和3 5i不能比较大小 1 已知x2 y2 2xyi 2i 求实数x y的值 2 已知复数z k2 3k k2 5k 6 i k r 且z 0 求k的值 变式练习 附表一 复数与实数 虚数 纯虚数及0的关系 附表二 课堂练习 1 设集合c 复数 a 实数 b 纯虚数 若全集s c 则下列结论正确的是 a a b cb a bc a b d b b c2 复数 2x2 5x 2 x2 x 2 i为虚数 则实数x满足 a x b x 2或 c x 2d x 1且x 2 3 已知集合m 1 2 m2 3m 1 m2 5m 6 i 集合p 1 3 m p 3 则实数m的值为 a 1b 1或4c 6d 6或 14 满足方程x2 2x 3 9y2 6y 1 i 0的实数对 x y 表示的点的个数是 5 复数z a b i z c d i a b c d r 则z z 的充要条件是 6 设复数z log2 m2 3m 3 ilog2 3 m m r 如果z是纯虚数 求m的值 7 若方程x2 m 2i x 2 mi 0至少有一个实数根 试求实数m的值 8 已知m r 复数z m2 2m 3 i 当m为何值时 1 z r 2 z是虚数 3 z是纯虚数 4 z 4i 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数 古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 英文calculate 计算 一词是从希腊文calculus 石卵 演变来的 中国古藉 易 系辞 中说 上古结绳而治 后世圣人易之以书契 直至1889年 皮亚诺才建立自然数序数理论 自然数 返回 零不仅表示 无 更是表示空位的符号 中国古代用算筹计算数并进行运算时 空位不放算筹 虽无空位记号 但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件 印度 阿拉伯命数法中的零 zero 来自印度的 sunya 字 其原意也是 空 或 空白 中国最早引进了负数 九章算术 方程 中论述的 正负数 就是整数的加减法 减法的需要也促进了负整数的引入 减法运算可看作求解方程a x b 如果a b是自然数 则所给方程未必有自然数解 为了使它恒有解 就有必要把自然数系扩大为整数系 整数 返回 分数 原始的分数概念来源于对量的分割 如 说文 八部 对 分 的解释 分 别也 从八从刀 刀以分别物也 但是 九章算术 中的分数是从除法运算引入的 其 合分术 有云 实如法而一 不满法者 以法命之 这句话的今译是 被除数除以除数 如果不能除尽 便定义了一个分数 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数 返回 为表示各种几何量 例如长度 面积 体积 与物理量 例如速率 力的大小 人类很早已发现有必要引进无理数 约在公元前530 毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度 即 不能是有理数 15世纪达芬奇 leonardodavinci 1452 1519 把它们称为是 无理的数 irrationalnumber 开普勒 j kepler 1571 1630 称它们是 不可名状 的数 法国数学家柯西 a cauchy 1789 1875 给出了回答 无理数是有理数序列的极限 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数 人们想到用 无限不循环小数 来定义无理数 这也是直至19世纪中叶以前的实际做法 无理数 返回 实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定 从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流 使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论 尤其是关于实数系的连续性的理论 在这方面 外尔斯特拉斯 1859年开始 梅雷 1869 戴德金 1872 与康托尔 1872 作出了杰出的贡献 实数 返回 复数 从16世纪开始 解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式 用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题 卡尔达诺在 大法 1545 中阐述一元三次方程解法时 发现难以避免复数 关于复数及其代数运算的几何表示 是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔 阿尔根和高斯等人建立的 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程 他于1843