数学实验线性代数分册习题(成都理工).doc

数学实验线性代数分册实验报告第1章 矩阵与行列式习题（要求写出实验过程和结果）1已知下列矩阵：（1），；（2），计算，（1）A=2 2 3;1 -1 0;-1 2 1A = 2 2 3 1 -1 0 -1 2 1 B=1 1 -1 ;1 1 0;2 1 1B = 1 1 -1 1 1 0 2 1 1 A+Bans = 3 3 2 2 0 0 1 3 2 A*Bans =10 7 1 0 0 -1 3 2 2 5*Aans = 10 10 15 5 -5 0 -5 10 5 syms d; d*A ans = 2*d, 2*d, 3*d d, -d, 0 -d, 2*d, d Aans = 2 1 -1 2 -1 2 3 0 1inv(A)ans = 1.0000 -4.0000 -3.0000 1.0000 -5.0000 -3.0000 -1.0000 6.0000 4.0000 A3ans = 5 16 18 2 5 6 -2 -4 -5（2）A=sym(a b c;c b a;1 1 1); B=sym(1 a c;1 b b;1 c a); C=A+B C = a+1, b+a, 2*c c+1, 2*b, b+a 2, c+1, a+1 A*B ans = a+b+c, a2+b2+c2, 2*a*c+b2 a+b+c, 2*a*c+b2, a2+b2+c2 3, a+b+c, a+b+c 5*A ans = 5*a, 5*b, 5*c 5*c, 5*b, 5*a 5, 5, 5 syms d; d*A ans = d*a, d*b, d*c d*c, d*b, d*a d, d, d Aans = conj(a), conj(c), 1 conj(b), conj(b), 1 conj(c), conj(a), 1 inv(A) ans = (a-b)/(-2*b*a+a2+2*c*b-c2), (b-c)/(-2*b*a+a2+2*c*b-c2), -b/(a-2*b+c) -1/(a-2*b+c), -1/(a-2*b+c), (a+c)/(a-2*b+c) (b-c)/(-2*b*a+a2+2*c*b-c2), (a-b)/(-2*b*a+a2+2*c*b-c2), -b/(a-2*b+c) A3 ans = a*(a2+c*b+c)+b*(a*c+c*b+a)+c*(a+c+1), a*(b*a+b2+c)+b*(c*b+b2+a)+c*(2*b+1), a*(a*c+b*a+c)+b*(c2+b*a+a)+c*(a+c+1) c*(a2+c*b+c)+b*(a*c+c*b+a)+a*(a+c+1), c*(b*a+b2+c)+b*(c*b+b2+a)+a*(2*b+1), c*(a*c+b*a+c)+b*(c2+b*a+a)+a*(a+c+1) a2+2*c*b+2*c+a*c+2*a+1, b*a+2*b2+c+c*b+a+2*b+1, a*c+2*b*a+2*c+c2+2*a+12设向量，问b能否由线性表示？A=2 -1 2 0;2 2 1 1;3 1 -1 2;1 2 -2 3; rref(A)ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 13已知矩阵，求对矩阵实施如下的初等变换后所得矩阵。（1）矩阵的第列乘以c；（2）矩阵的第3行的k倍加到第1行上去；（3）矩阵的第1行与第4行交换。（1）题目有误，假设是第一列syms c;A=sym(1 2 3 3;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16) A = 1, 2, 3, 3 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16 A(:,1)=c*A(:,1) A = c, 2, 3, 3 5*c, 6, 7, 8 9*c, 10, 11, 12 13*c, 14, 15, 16（2） syms m; A(1,:)=m*A(3,:)+A(1,:) A = 9*m*c+c, 10*m+2, 11*m+3, 12*m+3 5*c, 6, 7, 8 9*c, 10, 11, 12 13*c, 14, 15, 16 A(4,1,:)=A(1,4,:) A = 13*c, 14, 15, 16 5*c, 6, 7, 8 9*c, 10, 11, 12 9*m*c+c, 10*m+2, 11*m+3, 12*m+34已知矩阵，提取矩阵的第2、5行与第3、4列的元素构成矩阵B，提取矩阵的第3、4、5行与第1、4列的元素构成矩阵C（1）A=sym(a b c d e;1 2 3 4 5;e d c b a;2 3 4 5 6;1 0 1 0 1); B=A(2,5,3:4) B = 3, 4 1, 0（2） B=A(3:5,1,4) B = e, b 2, 5 1, 05用初等变换求矩阵的逆矩阵。 A=2 2 3;1 -1 0;-1 2 1; E=eye(3); B=A,EB = 2 2 3 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 -1 2 1 0 0 16已知，且，求A=1 1 -1;0 2 2;1 -1 0; B=1 -1 1;1 1 0;2 1 1; X=B*inv(A)X = -0.3333 0.3333 1.3333 0.6667 0.3333 0.3333 0.6667 0.8333 1.33337用Gauss消元法解线性方程组：（1）； （2）（1） A=1 -2 3 -4 4;0 1 -1 1 -3;1 3 0 4 1;0 -7 3 1 -3; rref(A)ans = 1 0 0 0 -8 0 1 0 0 3 0 0 1 0 6 0 0 0 1 0（2） A=1 -2 3 -4 4;0 1 -1 1 -3;1 3 0 4 1;0 -7 3 1 -3; rref(A)ans = 1 0 0 0 -8 0 1 0 0 3 0 0 1 0 6 0 0 0 1 0 A=2 1 -1 1 1;1 2 1 -1 2;1 1 2 1 3; rref(A)ans = 1.0000 0 0 1.5000 1.0000 0 1.0000 0 -1.5000 0 0 0 1.0000 0.5000 1.00008计算下列行列式的值：（1） ； （2）；（3）（1） A=1 3 2 0 5;2 -1 3 9 -16;4 5 7 9 -6;-30 25 0 11 1;23 5 -8 2 -12; det(A)ans = 0（2） A=sym(x 0 0 a0;-1 x 0 a1;0 -1 x a2;0 0 -1 x+a3); det(A) ans = x,0,0,a0,-1,x,0,a1,0-1,x,a2,0,0-1,x+a3 （3） A=sym(1 1 1 1;a b c d;a2 b2 c2 d2;a3 b3 c3 d3); det(A) ans = b*c2*d3-b*d2*c3-b2*c*d3+b2*d*c3+b3*c*d2-b3*d*c2-a*c2*d3+a*d2*c3+a*b2*d3-a*b2*c3-a*b3*d2+a*b3*c2+a2*c*d3-a2*d*c3-a2*b*d3+a2*b*c3+a2*b3*d-a2*b3*c-a3*c*d2+a3*d*c2+a3*b*d2-a3*b*c2-a3*b2*d+a3*b2*c9用Gramer法则解线性方程组 A=3 3 0 0 0 1;1 3 2 0 0 0;0 1 2 2 0 0;0 0 1 3 2 0;0 0 0 1 3 0; rref(A)ans = 1.0000 0 0 0 0 1.6667 0 1.0000 0 0 0 -1.3333 0 0 1.0000 0 0 1.1667 0 0 0 1.0000 0 -0.5000 0 0 0 0 1.0000 0.166710c为何值时，齐次线性方程组只有零解？syms c; A=c 1 1;1 c 1;1 1 c; a=det(A); c=solve(a,c)c = -2 1 1即c不等于 以上各数时，原齐次方程只有零解11判断下列向量组是否线性相关：（1），； （2），（1） A1=1;2;3;4; A2=3;1;0;3; A3=2;5;0;-1; A=A1,A2,A3; r=rank(A)r = 3（2） A1=1;0;1; A2=2;2;3; A3=5;3;1; A=A1,A2,A3; r=rank(A)r =312求向量组，的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组中的向量线性表示。A=1 -1 2 4;0 3 1 2;3 0 7 14;1 -1 2 0;2 1 5 6; rref(A)ans = 1.0000 0 2.3333 0 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 013求矩阵的秩。 A=1 0 1 0 0;1 1 0 0 0;0 1 1 0 0;0 0 1 1 1;0 1 0 1 1; r=rank(A)r = 4第2章 线性方程组习题（要求写出实验过程和结果）1 求齐次线性方程组的基础解系及通解。 format rat A=2 -1 3 -1;3 -2 3 -2;1 -1 -5 4;7 -5 -9 10; B=null(A,r)B = -3 -4 1 1 syms K1 K2 X=K1*B(:,1)+K2*B(:,2)X=-3*k1-4*k1k1k1即原方程组的通解为X=K1-3；-4；1；1，其中K1为任意常数2 判断方程组是否有解？ A=-2 1 1 ;1 -2 1;1 1 -2; b=1;-2;4; r=rank(A),rank(A,b)r = 2 3 即系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，故原方程无解。3 求方程组的基础解系及通解。 A=1 -1 2;1 -2 -2;3 -1 5;-2 2 3; b=1;2;3;-4; r=rank(A),rank(A,b)r = 3 4 即系数矩阵秩为2，增光矩阵秩为3，故原方程无解。4 求方程组的基础解系及通解。 A=1 -5 2 -3;-3 1 -4 2;-1 -9 0 -4;5 3 6 -1; b=11;-5;17;-1; r=rank(A),rank(A,b)r = 2 2 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩3，且等于未知量的个数，故原方程组有唯一解。 X=inv(A)*bWarning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.432414e-018.X = 1/2 -7/8 -11/2 0 第3章 矩阵的特征值与特征向量习题（要求写出实验过程和结果）1 求矩阵的特征多项式、特征值和特征向量。A=6 2 4;2 3 2;4 2 6;Poly(A)运行结果：ans= 1.0000 -15.0000 48.0000 -44.0000即矩阵A的特征多项式为x3-15x2+48x-44【m,n】=eig(A)运行结果：m = -0.3924 0.6337 0.6667 -0.6035 -0.7244 0.3333 0.6941 -0.2715 0.6667n = 2.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 11.0000即矩阵A的特征值为n1=2,n2=2,n3=11对应的特征向量为m1=( -0.3924, -0.6035, 0.6941) m2=(0.6337, -0.7244, -0.2715) m3=（0.6667，0.3333，0.6667）2 求矩阵的特征值和特征向量。A=sym(a1 0 0;0 a2 0;0 0 a3);kesai,lamda=eig(A)运行结果：kesai = 0, 1, 0 0, 0, 1 1, 0, 0 lamda = a3, 0, 0 0, a1, 0 0, 0, a2即矩阵A的特征值为m1=a3,m2=a1,m3=a2对应的特征向量为n1=(0,1,0) n2=(0,0,1) n3=(1,0,0)3设矩阵，求正交矩阵T，使得为对角矩阵。A=0 -2 2;-2 -3 4;2 4 -3;T=orth(A)运行结果 T = -0.3333 0.9428 0.0000 -0.6667 -0.2357 0.7071 0.6667 0.2357 0.7071norm(T*T-eye(3)运行结果： ans = 4.1869e-016思考与提高1 利用层次分析法解决即将毕业时所面临选择工作岗位的问题,考虑的准则可能有:能够发挥自己的才干为国家做贡献;合理的薪金和福利;适合个人的兴趣和发展;较好的发展空间;地理位置等.试根据自己的实际情况,建立层次模型并确定可供选择的工作的优先顺序。第4章 二次型习题（要求写出实验过程和结果）1 写出二次型的矩阵，并求二次型的秩。2 用合同变换将二次型化为标准形。