苏锡常镇数学.DOC

苏锡常镇四市高三数学试卷第页(共6页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)201103一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 若集合UR，Ax|x20，Bx|x1，则AUB_.2. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线8kx2ky28的渐近线方程为_3. 函数f(x)(sinxcosx)2的最小正周期为_4. 已知i是虚数单位，计算的结果是_5. 已知奇函数f(x)的图象关于直线x2对称，当x0,2时，f(x)2x，则f(9)_.6. 已知常数t是负实数，则函数f(x)的定义域是_7. 某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为523，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是_8. 右图给出的是计算1的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i_.(第8题)9. 已知圆O的方程为x2y22，圆M的方程为(x1)2(y3)21，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是_10. 已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_.11. 设等差数列an的前n项和为Sn，若1a54,2a63，则S6的取值范围是_12. 已知过原点O的直线与函数y3x的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y9x的图象于C点，当BCx轴时，点A的横坐标是_13. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为_(第13题)14. 设mN，若函数f(x)2xmm10存在整数零点，则m的取值集合为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)设平面向量a(cosx，sinx)，b(cosx2，sinx)，c(sin，cos)，xR，(1) 若ac，求cos(2x2)的值；(2) 若x，证明：a和b不可能平行；(3) 若0，求函数f(x)a(b2c)的最大值，并求出相应的x值(本小题满分14分)在菱形ABCD中，A60，线段AB的中点是E，现将ADE沿DE折起到FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G.(1) 证明：直线BG平面FDE；(2) 判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论17. (本小题满分14分)如图，ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2.(1) 若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；(2) 求的最小值18. (本小题满分16分)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，)，设椭圆E的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.(1) 求椭圆E的方程及圆O的方程；(2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上19. (本小题满分16分)设函数f(x)x(x1)2，x0.(1) 求f(x)的极值；(2) 设0a1，记f(x)在(0，a上的最大值为F(a)，求函数G(a)的最小值；(3) 设函数g(x)lnx2x24xt(t为常数)，若使g(x)xmf(x)在(0，)上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值20. (本小题满分16分)设数列an是一个无穷数列，记Tnai2a1a32n2an1，nN*.(1) 若an是等差数列，证明：对任意的nN*，Tn0；(2) 对任意的nN*，若Tn0，证明：an是等差数列；(3) 若Tn0，且a10，a21，数列bn满足bn2an，由bn构造一个新数列3，b2，b3，设这个新数列的前n项和为Sn，若Sn可以写成ab(a、bN，a1，b1)，则称Sn为“好和”问S1，S2，S3，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由.苏锡常镇四市高三数学附加题试卷第页(共2页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过A作圆O的割线APN，证明：.B. 选修42：矩阵与变换已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵C. 选修44：坐标系与参数方程已知A是曲线12sin上的动点，B是曲线12cos()上的动点，试求线段AB长的最大值D. 选修45：不等式选讲已知m、n是正数，证明：m2n2.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AA1和CC1上(含线段端点)(1) 如果AEC1F，试证明B、E、D1、F四点共面；(2) 在(1)的条件下，是否存在一点E，使得直线A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，确定点E的位置；如果不存在，试说明理由(1) 当kN*时，求证：(1)k(1)k是正整数；(2) 试证明大于(1)2n的最小整数能被2n1整除(nN*)苏锡常镇四市高三数学参考答案第页(共4页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数学参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. (2,1)2. y2x3. 4. i5. 26. 3t，4t7. 8. 109. 1或710. 311. 12,4212. log3213. 14. 0,3,14,30二、 解答题：本大题共6小题，共90分15. (1) 解：若ac，则ac0，(1分)cosxsinsinxcos0，sin(x)0，(2分)所以cos(2x2)12sin2(x)1.(4分)(2) 证明：假设a和b平行，则cosxsinxsinx(cosx2)0，即2sinx0，sinx0，而x时，sinx0，矛盾(6分)故假设不成立，所以a和b不可能平行(7分)(3) 解：若0，c(0,1)，则f(x)a(b2c)(cosx，sinx)(cosx2，sinx2)(9分)cosx(cosx2)sinx(sinx2)12sinx2cosx14sin，(11分)所以f(x)max5，此时，x2k，kZ.(14分)16. 证明：(1) 延长DE、CB相交于H，连HF. 菱形ABCD，且E为AB中点， BECD，BECD，(2分) B为HC中点 G为线段FC中点， BGHF.(4分) BG平面FDE，HF平面FDE， 直线BG平面FDE.(6分)(2) 垂直(7分)由菱形ABCD及A60，得ABD是正三角形(8分) E为AB中点， AEDE， FEDE.(10分) 平面FDE和平面EBCD垂直，且这两个平面的交线是DE，FE在平面FDE内， FE平面EBCD，(12分) FE在平面FEC， 平面FEC和平面EBCD垂直(14分)17. 解：(1) E为AC中点， AECE. 34， F不在BC上(2分)若F在AB上，则AEAF3AE4AF3， AEAF5. AF4.(4分)在ABC中，cosA.(5分)在AEF中，EF2AE2AF22AEAFcosA2， EF.(6分)即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)(7分)(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CEx，CFy，则xy5，1(8分)111(当xy时取等号)；(10分)若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AEx，AFy，则xy5，111(当xy时取等号)(13分)答：最小值是.(14分)18. (1) 解： e即， ac. a2b2c2， bc. 1过点P(2，)， 1，解得a28，b2c24.(2分)故椭圆方程为1.(3分) A(4,0)，B(0,2)， 直线AB的方程为yx2，即x2y40，则O到AB的距离为d， 圆O的半径r2，(5分)故圆O的方程为x2y24.(6分)(2) 证明：椭圆E的右准线l的方程为x4.(7分)设l上取定的点M为(4，t)，圆O上的任意的一点N为(x0，y0)，定点Q为(x，y)， NM与NQ的比是常数且Q不同于M， NQ2NM2，是正的常数(1)，即(x0x)2(y0y)2(x04)2(y0t)2，(8分)xy2xx02yy0x2y2(xy16t28x02ty0)，将xy4代入有2xx02yy0x2y248x02ty0(20t2)， 有无数组(x0，y0)，从而(10分)将代入得162t224(20t2)，即(16t2)2(20t2)40， (1)(16t2)40. 1， ，(12分)即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值(13分)又16t2，代入得x2y24，即x2y24，于是x2y2x，即2y2，(15分)故点Q在圆心、半径为的定圆上(16分)19. 解：(1) f(x)(3x1)(x1)，(1分)令f(x)0，得x1，x21，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)增极大值减极小值增 当x时，有极大值f；(2分)当x1时，有极小值f(1)0.(3分)(2) 易知f(x)在上递增，递减，(1，)递增(4分) 当0a时，G(a)(a1)2，(5分)特别当a时，有G(a)；(6分)当a1时，F(a)f，则G(a).(7分)故对任意的0a1，G(a)的最小值为.(8分)(3) 由已知得h1(x)xmg(x)2x23xlnxmt0在(0，)上恒成立，由h1(x)(9分)得x(0,1)时，h1(x)0，x(1，)时，h1(x)0，故x1时，h1(x)取极小值，也是最小值从而当且仅当h1(1)mt10，mt1时，h1(x)0在(0，)恒成立(11分)同样的，h2(x)f(x)xmx32x2m0，在(0，)恒成立由h2(x)3x(x)得x(0，)时，h2(x)0，x(，)时，h2(x)0，故x时，h2(x)取极小值，也是最小值从而当且仅当h2()m0，m时，h2(x)0在(0，)上恒成立(13分) t1m.(14分)由m的唯一性知t，此时m.(16分)20. 证明：(1) 对于任意的正整数n， Tni1ai2a1a32n2an1， 2Tniai4a12a32n3an1，得Tna3a1i(ai1ai)2n2(an1an2)(1分) 数列an是等差数列， Tn2(a2a1)(a2a1)i2n2(a2a1)(a2a1)(2i2n2)0， Tn0.(3分)(2) 对于任意的正整数n，Tni1ai2a1a32n2an10， Tn1i1ai2a1a32n3an20，得2n2an32n3an22n2an10，即an32an2an10， an3an2an2an1，(5分)由T1i1ai2a1a323a20，即a3a2a2a1，(6分)于是，对一切正整数n都有an2an1an1an，故数列an是等差数列(7分)(3) 由(2)知an是等差数列，其公差是1，所以ana1(n1)n1，bn2an2n1，(8分)当n2时，Sn3242n12n1，(9分)S1321， 对一切正整数n都有Sn2n1.(10分)由ab2n1，ab12n，a、bN，a1，b1，a只能是不小于3的奇数(11分)当b为偶数时，ab1(a1)(a1)2n，因为a1和a1都是大于1的正整数，所以存在正整数t、s使得a12t，a12s，(12分)2s2t2,2t(2st1)2,2t2且2st11，t1，s2，相应的n3，即有S332，S3为好和；(14分)当b为奇数时，ab1(a1)(1aa2ab1)，由于1aa2ab1是b个奇数之和，仍为奇数，又a1为正偶数，所以(a1)(1aa2ab1)2n不成立，这时没有好和(16分)苏锡常镇四市高三数学附加题参考答案第页(共2页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明： AT是圆O的切线，ATPANT，又TAPNAT， ATPANT，(3分) ，(4分)同理，(6分)两式相乘.(8分) ATAS， .(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：这个变换的逆变换是先作关于x轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转45变换，(2分)其矩阵是(6分).(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：曲线12sin的直角坐标系方程为x2(y6)236，(2分)其圆心为(0,6)，半径为6；(4分)曲线12cos()的直角坐标系方程为(x3)2(y3)236，(6分)其圆心为(3，3)，半径为6.(8分) AB的最大值