高考数学第一轮基础复习课后作业 97 用向量方法证明平行与垂直 理 新人教B版.doc

9-7 用向量方法证明平行与垂直(理) 1.已知正方体abcda1b1c1d1中，e为侧面bcc1b1的中心若zxy，则xyz的值为() a1b. c2d.答案c解析.xyz12.2(2011银川月考)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的可能是()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1,0,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3,1)答案d解析欲使l，应有na，na0，故选d.3二面角l等于120，a、b是棱l上两点，ac、bd分别在半平面、内，acl，bdl，且abacbd1，则cd的长等于()a. b. c2 d.答案c解析如下图二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，|2|2|2|2|222232cos604，|2.4(2011宁德模拟)已知空间三点a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()a(1,1,1)b(1，1，1)c(1,1,1)或(1，1，1)d(1，1,1)或(1,1，1)答案c解析设a(x，y，z)，由条件知(2，1,3)，(1，3,2)，a，a，|a|，将选项代入检验知选c.5平面经过三点a(1,0,1)、b(1,1,2)，c(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()a. b(6，2，2)c(4,2,2) d(1,1,4)答案d解析设平面的法向量为n，则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选d.6将边长为1的正方形abcd沿对角线bd折成直二面角，若点p满足，则|2的值为()a. b2c. d.答案d解析由题意，翻折后acabbc，abc60，|2|2|2|2|2211cos601cos451cos45.7(2011南通模拟)设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_答案垂直解析ab1223(4)10，且a与b分别是平面、的法向量，.8(2011金华模拟)已知点a(4,1,3)，b(2，5,1)，c为线段ab上一点且，则点c的坐标为_答案(，1，)解析c为线段ab上一点，存在实数0，使，又(2，6，2)，(2，6，2)，(，2，)，c(，1，)9.如下图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e、f分别是棱bc、dd1上的点，如果b1e平面abf，则ce与df的和的值为_答案1解析以d1为原点，直线d1a1、d1c1、d1d为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,1)，b(1,1,1)，b1(1,1,0)，设dft，cek，则d1f1t，f(0,0,1t)，e(k,1,1)，要使b1e平面abf，易知abb1e，故只要b1eaf即可，(1,0，t)，(k1,0,1)，1kt0，kt1，即cedf1.10(2011绍兴月考)已知e、f、g、h分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da的中点，用向量方法求证：(1)e、f、g、h四点共面；(2)bd平面efgh.证明(1)如上图，()，由共面向量定理知：e、f、g、h四点共面(2)()，且e、h、b、d四点不共线，ehbd.又eh平面efgh，bd平面efgh，bd平面efgh.11.二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150 b45 c60 d120答案c解析由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小为60.12在棱长为1的正方体ac1中，o1为b1d1的中点求证：bo1平面acd1.证明建立如下图所示的空间直角坐标系，o为ac的中点，由于正方体的棱长为1，则b(1,0,0)，o1(，1)，d1(0,1,1)，o(，0)(，1)，(，1)，bo1od1，又bo1平面acd1，od1平面acd1，bo1平面acd1.13.直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d、e分别为ab、bb的中点求证：cead.证明设a，b，c，根据题意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，()()cba.c2b20.，即cead.14.在长方体abcda1b1c1d1中，aa12ab2bc，e、f、e1分别是棱aa1，bb1，a1b1的中点求证：平面c1e1f平面cef.证明以d为原点，da，dc，dd1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设bc1，则c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e1(1，2)设平面c1e1f的法向量n(x，y，z)(1，0)，(1,0,1)，即，令x1，则y2，z1，n(1,2,1)设平面efc的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，即.令a1，则m(1,0,1)mn1(1)20110，平面c1e1f平面cef.15(2011海口调研)在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，pad是等边三角形，底面abcd是边长为2的菱形，bad60，e是ad的中点，f是pc的中点(1)求证：be平面pad；(2)求证：ef平面pab；(3)求直线ef与平面pbe所成角的余弦值解析解法一：(1)e是ad中点，连接pe，ab2，ae1.be2ab2ae22abaecosbad41221cos603.ae2be2134ab2，beae.又平面pad平面abcd，交线为ad，be平面pad.(2)取pb中点为h，连接fh，ah，ae綊bc，又hf是pbc的中位线，hf綊bc，ae綊hf，ahfe是平行四边形，efah，又ef平面pab，ah平面pab，ef平面pab.(3)由(1)知，bcbe，pebc，又pe，be是平面pbe内两相交直线，bc平面pbe，又由(2)知，hfbc，hf平面pbe，feh是直线ef与平面pbe所成的角，易知bepe，在rtpeb中，eh，tanfeh，cosfeh.故直线ef与平面pbe所成角的余弦值为.解法二：容易证明ep，ea，eb两两垂直，建立空间直角坐标系exyz如下图易求bepe，则e(0,0,0)，a(1,0,0)，b(0，0)，c(2，0)，d(1,0,0)，p(0,0，)，因为f是pc的中点，则f(1，)(1)010000，即ebea，00000，即ebep，ea，ep是平面pad内的两相交直线，eb平面pad.(2)取pb中点为h，连接fh，ah，则h(0，