极限求值的若干方法讨论.doc

目 录 中文摘要中文摘要 ABSTRACT 第一章第一章 引言引言 4 4 第二章第二章 几种初等的思想方法几种初等的思想方法 7 7 第三章第三章 两重要极限应用分析两重要极限应用分析 9 9 第四章第四章 幂指函数极限求值幂指函数极限求值 11 11 第五章第五章 等价代换求极限等价代换求极限 14 14 第六章第六章 泰勒中值定理求极限泰勒中值定理求极限 17 17 第七章第七章 综合方法求极限综合方法求极限 20 20 参考文献参考文献 21 21 致谢致谢 22 22 关于极限求值若干方法探讨关于极限求值若干方法探讨 数学与信息学院数学与应用数学 级 指导老师 摘摘 要 要 极限是高等数学的基本计算之一 本文针对不同类型的求极限题目 给 出了一些极限计算的思想方法及具体操作过程 关键词 关键词 极限 数列极限 函数极限 等价 幂指函数 泰勒 The discussion of evaluation certain method about limit School of Mathematics and Information Major in Mathematics and Applied Mathematics Grade Instructor Abstract The limit is one of higher mathematics basic computation this article asks the limit topic in view of the different type has given some limit computation thinking method and the concrete operating process Key words Limit sequence limit limit of function equal power index function Taylor 第一章第一章 引引 言言 高等数学是以函数为研究对象 以微分和积分及其应用为内容 以极限为 手段的一门科学 换句话说 高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论 由 于极限贯穿整个高等数学 故极限的计算就显得尤为重要 极限的计算不仅是高 等数学的基本计算之一 同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具 它在物 理学 工程学等相关学科上有广泛的应用 因此 求极限是学生必须练好的一门 基本功 然而 极限的题目错综复杂 针对不同问题我们的解决方法不尽相同 定义固然要掌握牢固 但 具体问题具体分析 面对这五花八门的极限问题有 些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的 在这里我们就对定义法不 再赘述 极限思想贯穿整个高等数学的课程之中 而给定函数的极限的求法则成为 极限思想的基础 极限的求法已经有所研究 因此有必要总结极限的求法 具体 计算方法包括 利用极限四则运算法则法 定义证明法 极限运算法则 利用 两个重要极限法 利用判定极限的两个准则法 利用等价无穷小替换法 利用 函数的连续性法 利用导数求极限法 洛必达法则 利用 Taylor 中值定理法 利用定积分定义及性质法 幂指函数极限求值 综合方法的综合运算等等 总而言之 极限理论使高等数学的基础 极限计算又是高等数学的重点和 难点 因其计算没有统一固定的方法 具有很强的技巧性 本文就极限的计算求值若干方法进行探讨 以期获得大家的赐教 第二章第二章 几种初等的思想方法几种初等的思想方法 如下几种思想方法 是朴素而初级的 这里我们将这些方法集中起来 给出了 一些极限计算的思想方法及具体操作过程 便于吸收消化 2 12 1 约分方法约分方法 对分式求极限通常约去零因子一达到化简的目的 例例 2 1 12 1 1 1 1 lim 1 m n x x x 12 12 1 1 1 lim 1 1 mm nn x xxxx xxxx 12 12 1 1 lim 1 mm nn x xxxm xxxn 1 1 m n x x x 0 说明 因为在1时为型的 无法得到具体结果 所以可先约去零因子 0 1x 2 22 2 分子分母化成有极限形式 分子分母化成有极限形式 对有些分子极限不存在的分式往往先约分 化 成分子分母有极限形式 再根据极限运算法则进行运算 例 2 2 1 2 2 arctanarctan limlim 21 1 nn nnn nn n 2 1 1 n nn n 2 narct ann0narct ann 说明 在时为型 极限不存在 但化成后 当 0 n 时分子分母极限都不存在 2 32 3 求和 求和 对于若干个项相加 通常先求和再求极限 1 2 1 1 11133 2 3 11 1 3332 1 3 n n nn 例 l i ml i m 注意 本题不可应用极限运算的加法法则按如下的 22 111111 1 333333 nn nnnnn l i ml i ml i ml i ml i m来计算 因为加法法则只可以 扩展到有限项相加 本题中求解函数是无限项之和 2 42 4 有理化 有理化 包括分子有理化和分母有理化 例 2 4 1 22 22 2222 1 1 lim1limlim 11 nnn xxxx xxx xxxxxx 1 11 11 lim 211 x n xx 例 2 4 2 2 20 42 lim 93 n x x 222 2220 42 42 93 lim 93 93 42 n xxx xxx 22 220 93 lim 42 n xx xx 2 20 933 lim 2 42 n x x 2 52 5 变量替换 变量替换 作适当的变量替换以求简化计算 2 sin x x x x 2 例2 5 1 l i m 2yx 解 令 00 2 2 limlim sin 2 sin yy yyyy yy 0 2 lim sin y yy y 2 2 62 6 夹逼定理 夹逼定理 不仅可用于求函数的极限 而且对于求数列极限也是很有效的 一种方法 1 n 2 6 1 lim 1234 nnnnn 例求 1 1 12344 44 n n nnnn n 解 4 4 lim 12344 nnnn n 故 2 6 2 123 nnn n 例求l i m 11 31233 3 3 33 nn nnn n 解 而l i m 1233 nnn n 故l i m 2 72 7 单调有界定理单调有界定理 单调有上界的数列有极限 单调有下界的数列有极限 1211 2 7 1 1 2 nn xa xaaaxxaxn 例设a 0 求极限 lim n n x nn xx解 易证为单调数列 再证有界 1 11 k xaankxa 显然 设时 1 11211 kk nkxaxaaaaa 则当时 nn xx可知有界 因此 数列的极限存在 1 lim 114 2 n n xAAAaAa 设则故 第三章第三章 两重要极限应用分析两重要极限应用分析 1 重要极限之一重要极限之一 0 sin lim1 x x x sin x x 0 1 应用原则 应该为在其变化过程中的型未定式 0 与中的必须完全相等 可以是一个含有自变量的表达式 xsin x 2 注意事项 自变量的变化过程不一定是趋近于 0 的 可以是任何一种变化 过程 但必须保证以上原则 3 重要极限的应用 3 1 x0 t an3x 例求 l i m si n5x 解 由题目知 0 tan3 lim sin5 x x x 0 sin31 lim sin5cos3 x x xx sin3 3 sin5 0 5 31133 lim1 5 cos3155 x x x x x x sin lim x x x 例32 求 解 令 tx 00 sinsin limlim1 tt tt tt 则 2 重要极限之二重要极限之二 1 lim 1 n e n 1 0 1 lim 1lim 1 x x xx exe x 其他形式或者 1 应用原则 此极限为在其变化过程得型极限问题 括号内 1 的对象 1 和括号外的幂次恰好互为倒数关系 n x 可以是一个含有自变量的表达式 2 注意事项 自变量的变化过程可以是趋近于 0 的 可以是趋近于的变化 过程 但必须保证以上原则 3 重要极限的应用 3 1 3 31 n n n 例求 l i m 解 由题目知 33 3 11111 lim 1 lim11lim 11 nn n nnn nnnnn 1ee 例 3 4 求 2 3 lim 2 x x x x 解 由题目知 22 22 2 311 limlim1lim1 222 xxx xxx x xxx 2 24 2 11 lim11 22 x x e xx 当然 两个重要极限得问题也有其他的求解方法 关键在于灵活运用所学 的知识 如能选取恰当的方法解决适合的问题 就会简单快捷求出题解 希望以 上总结能对初学者起到提示的作用 第四章第四章 幂指函数求值幂指函数求值 1 1 1 0 0 lim 11 1 lim1 1 1 x x k k xe k e 上一章我们利用重要极限 主要解决幂指函数型的幂指函数的极 限求值 一般要把幂指函数变成为实数 而后利用幂指函数的连续性得 但用这种方法求幂指函数的极限非常有限 对于一般幂指函数型 还要考虑洛必达法则 但较为复杂 本章给出联合应用第二重要极限和洛必达法则 求型的幂指函数极限 并通过举例说明此法对很多题目 0 nn yf xaxxf xx uv 用起来的简易型 设有幂指函数 的变域有聚点特殊情况 可以是以两 个自然数集为变域的函数 00 1limlim0 xxxx f xaxba 结论 设存在有限 且 则 0 lim x xx f x 0 0 lim lim xx x b xx f xa 00 xxxxxx 注 该结论对 都可证明成立 进一步 若 1 ab 也考虑推广 2 sin 2 2 1 lim 31 x x x x xx yf xy x 例4 1 已知 求 解 因为 2 2 11 lim lim 313 xx xx f x x 2 lim lim sin2 x xx xx 故 2 sin 2 lim sin 2 22 22 1111 limlim 313139 x x x x x xx xxxx xx 0 0 0 0 2lim lim lim xx x xx xx xx f xxxf x f xf xf x x 11 结论 设 1且存在 0 当0 0 且 1 都可以则 1 1 若存在或为 则有 1 0 0 00 lim lim lim lim1 xx xx x xx x xxxx f xe 00 00 xxf xf xxx xxxxxx 其中当0 0 则在该过程下 limlim gG fF 该定理说明 在求幂指函数的极限时 其底与指数可分别用它们个则等价的 无穷小 大 代换 极限的存在性及其值不变 tanx 0 5 3 limarcsin x xx 例求 0tan arcsin 2xxxxxx 解 当时 于是 00 limlim x xx xx xx 0 原式 2 2 2 1 1 定理4 设在同一过程下 1 都是无穷小 大 2 3 与 与各是可以比较的非等价无穷小 大 则有 lim lim 该定理说明 求幂指函数的极限时 若底或指数是两个无穷小 大 之差 当这两个无穷小 大 可以比较且不等价时 仍可用它们各自的等价无穷小 大 代换 极限的存在性及其值不变 tan 0 lim 2sin xx x xx 例5 4 求 0sin sintan xxxxxxx 解 当时 即2 与时同阶不等价的无穷小 即 tan xx 即与是同阶不等价的无穷小 于是 2 2 0000 lim 2sinlim 2limlim xxxx xx xxxx xxxxxx 原式 2 11 第六章第六章 泰勒中值定理求极限泰勒中值定理求极限 0 lim lim lim 0 0 ooo xxxxxx f x f xg x g x 为了得到其中这类型未定式的值 本文试图 用泰勒中值定理来予以解决 并从理论上回答上述问题 1 1 预备知识预备知识 0 f xxa b引理1 泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到 nxa b 阶的有界导数 则对于有 1 0 0000 n n n x fx f xf xfxxxxxR n 1 1 000 1 n nn f Rn xxxoxxxx n 其中 0 f xxx 称 1 为按的幂展开的阶泰勒公式 00 limlim oo tttt h txttf xf xh xt 由于总能通过变量代换化为 其中 0 x 为了方便 我们只考虑的情形 0 0 1 i i fx ain i 令 则 1 变成 2 01 nn n f xaa xa xo x 000 limlimlim0 xxx f x f xg x g x 0 对于本文所讨论的 其中 这类型未定式 当 0 011f xg xxnm 和在点的某个开区间内分别具有直到和阶的有界导数时 00 10000afbg 由引理显然可得 和以及 knn kn f xa xa xo x 00 0 1 0 1 ij ij fg ainbjm ij 其中 2 2 泰勒中值定理在极限计算中应用的几个结果泰勒中值定理在极限计算中应用的几个结果 0 i f xa 定理1 设在点的某个开区间内具有阶的有界导数 当 1 0 k aik kna 且时 一定有 n f xaxaxo x xa b 0 0 1 i i fx ain i 其中 0 10 i f xxa bna 定理2 设在点的某个开区间内具有直到阶有界导数 若 0 0 1 i aik kn 3 0 0 lim 0 1 0 i m i m x km f xf akm ain xi km 0 11f xg xxa bnm 定理3 设和在点的某个开区间内分别具有直到阶和阶 0 0 1 00 0 1 0 ikjl aik knabjl lnb 的有界导数 若且以及且 则有 4 0 lim 0 k x k kl f xa kl g xb kl 0 0 0 1 0 1 ij ij fxg ainbjm ij 其中 2 2 4 0 cos lim x x xe x 例61 解 时 0 x 2 2 2 2422 44 11 cos11 2 4 1 22 2 xxxxx xo xeo x 由和 2 2 44 1 cos 12 x f xxexo x 可知 于是有 2 2 444 444 000 11 cos1 1212 limlimlim 12 x xxx xo xx xe xxx 2 2 0 cos lim 1 cos x x xe x 例6 2 解 时 0 x 2 2 2 2422 44 11 cos11 2 4 1 22 2 xxxxx xo xeo x 由和 2 2 2 442 1 cos1 cos 122 xx f xxexo xg xxo x 可知 于是有 2 2 444 22 00 2 11 cos 1212 limlim0 1 cos 22 x xx xo xx xe xxx o x 第七章第七章 综合方法求极限综合方法求极限 前面介绍了求解极限的基本方法 然而 每一道题目并非只有一种方法 因此在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧 思维能够发散起来 使得计 算大为化简 下面我们来具体看几个例子 体会一下各种方法的融会贯通 sin 7 1lim sin xx x ee I xx 例 求极限 解 此极限为 型 直接用罗必达则须连续三次而且计算较繁 若先变形 0 0 sinsin 1 1 limlim sinsin xx xx x xx eee I xxxx lim1 x x e 这里先确定 sin limsin00 sin xx x ee xxtxt xx 对于极限作变量替换 令则有时 1 limlim1 1 tt tt ee II t 由罗必达法则 得 由此例不难看初 引入新变量后只须一次罗必达法则 极大地简化了计算 可见 对较繁琐的极限作适当的替换 可转换成另一较简单的极限 极大地降 低了计算难度 从而实现了由难而易的转化 使问题得到较好解决 111 7 2lim 12 n nnnn 例 求极限 解 将和式变形 12 2 1111111 12111 n nn nnnnn 1 11 1 n i i n n 1 0 10 1 1 f xn x 上式可看作是函数在的一个积分和 将等份 取每一小 1 1 n ii nn i ff n 区间右端点函数值作积分和 1 11111 limlim 121 n i nn i n nnnnn 1 1 0 0 1 ln 1 ln2 1 dxx x 1 n i i 某些连乘积的极限 可通过取对数使其成为项和数列形式进而转化成定积 分实现计算 12 lim n n nnnn n 例7 3 求 解 改通项为 121212 111 n n n nnnnnnnn n nnnnn 12 lim n n nnnn n 取对数有 12 limln ln 1ln 1ln 1 n n nnn 1 0 1 1 limln 1ln 1 n n i i x dx nn 1 1 0 0 ln 1 1 x xxdx x 2ln2 1 2ln2 11 12 lim4 n n nnnn ee n 用过定积分求极限深刻体现 解释了两者之间的内在联系 充分展示了数 学概论的内在统一性 协调性 数学的优美和谐令人叹为观止 2 22 0 1 cos lim sin x x xx 例7 4 求 222 22222222 000 1 cos2 sinsin limlimlim sin2cos2 sincossin xxx xxxx xxx xxxxxxx 解法1 2 2 2 0 2 2 sin 1 lim sin2 cos x x x x x x 注 此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法 222 2 2222222 000 2 2sinsinsin 1 cos11 222 limlimlim sinsinsin2 2 22 xxx xxx x xxxxxxx x 解法2 注 此解法利用三角和差化积法 配合使用两个重要极限法 2222 222232 0000 1 cos1 cos2 sin2sin1 limlimlimlim sin442 xxxx xxxxxx xxxxxxx 解法3 注 此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则 2 2 2222 224242 000 1 cos1 cos1 2 limlimlim sinsinsin2 xxx x xxxx xxxxxx 解法4 注 此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法 2 2 2 24 2 2222224 0000 1 2 2sin 21 cos1 22 limlimlimlim sinsin 2 xxxx x x x x xxxxxxx 解法5 注 此解法利用三角和差化积法配合使用无穷小代换法 2 2