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斐波那契数列 实验二 1 斐波那契 意大利数学家列昂纳多 斐波那契 LeonardoFibonacci 1170 1240 籍贯大概是比萨 他被人称作 比萨的列昂纳多 1202年 他撰写了 珠算原理 LiberAbacci 一书 他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人 他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事 派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区 列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学 他还曾在埃及 叙利亚 希腊 西西里和普罗旺斯研究数学 2 一 实验目的 认识Fibonacci数列 体验发现其通项公式的过程 了解matlab软件中 进行数据显示与数据拟合的方式 提高对数据进行分析与处理的能力 3 二 问题描述 意大利斐波那契 Fibonacci 1202年 一般而言 兔子在出生两个月后 就有繁殖能力 一对兔子每个月能生出一对小兔子来 如果所有兔都不死 那么一年以后可以繁殖多少对兔子 4 三 问题分析 称为Fibonacci数列 递推公式 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 兔子对的数目依次如下 所求答案 Fibonacci数列的第12项 Fibonacci数列的一般规律是什么 5 四 背景知识 1 最小二乘和数据拟合 6 7 多项式拟合 当数据点互异时 8 plot x y s 将所给的点列连接成一条折线 x 点列的横坐标 y 点列的竖坐标s 图形的格式字符串 例 给定数据 x1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 y1 10 5 4 2 1 1 2 3 4 描绘其图形 代码 x1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 y1 10 5 4 2 1 1 2 3 4 plot x1 y1 2 画图和多项式拟合命令 9 10 p polyfit x y n 用n次多项式拟合数据列返回多项式的系数 次序是由高阶到低阶 例 x 1 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 5 4 2 1 1 2 3 4 拟合 p polyfit x y 2 结果 0 2676 3 605313 4597 数值 f polyval p x 结果 f 10 12195 05193 31962 12241 46041 33351 74172 68514 1636 即2次多项式为p1 0 2676x2 3 6053x 13 4597 11 拟合效果展示 代码 x 1 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 5 4 2 1 1 2 3 4 p polyfit x y 2 plot x y ro x polyval p x b legend 数据点 拟合曲线 12 13 五 实验过程 1 观察数据间的大概函数关系 2 进一步验证上一步得到的结论 3 获得数据的近似函数关系式 4 观察拟合数据与原始数据的吻合程度 5 猜测Fibonacci数列的通项公式 6 证明Fibonacci数列的通项公式 14 1 观察数据间的大概函数关系 将以下点列显示在平面坐标系中 观察其中蕴涵的函数关系 结论 曲线的形状象指数函数的曲线 查看代码 15 2 进一步验证上一步得到的结论 再将以下点列显示在平面坐标系中 观察其中蕴涵的函数关系 结论 曲线的形状确实象一条直线 查看代码 16 3 获得数据的近似函数关系式 Fibonacci数列的数据关系是指数函数 取对数后是线性函数 即一阶多项式 用一阶多项式拟合出取对数后的函数关系式 得到Fibonacci数列通项公式的近似表达式 查看代码 17 4 观察拟合数据与原始数据的吻合程度 紅点 蓝线 查看代码 查看代码 18 5 猜测Fibonacci数列的通项公式 将上式代入递推公式中得 考虑到该数列趋向无穷 故通项公式取为 然而 上式并不满足 19 进一步修正 这样 得到Fibonacci数列通项的新猜测 20 这样 得到Fibonacci数列通项 称为比内公式 Binet 法国 1843年发现 21 6 推导Fibonacci数列的通项公式 Fibonacci数列具有如下递推关系 这是一个二阶常系数线性齐次差分方程 仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解 特征方程 两个特征根 22 差分方程的通解 取n 1和n 2代入上面的公式中 解得 从而得到 23 六 化学反应中生成物的浓度问题 24 1 描绘生成物浓度的散点图代码 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y 4 00 6 40 8 00 8 80 9 22 9 50 9 70 9 86 y y 10 00 10 20 10 32 10 42 10 50 10 55 10 58 10 60 plot t y r xlabel 时间 ylabel 浓度 legend 生成物浓度散点图 从图形看 显然是非线性关系 数据点列呈现单调上升趋势 开始上升较快随后逐渐变慢 故宜采用多项式 双曲型函数 指数型函数或对数型函数做拟合等 25 2 采用2 4和6阶多项式进行拟合代码 p2 polyfit t y 2 p4 polyfit t y 4 p6 polyfit t y 6 R1 dot y polyval p6 t y polyval p6 t 计算拟合残差plot t y r t polyval p2 t t polyval p4 t t polyval p6 t legend 测量数据 2阶拟合 4阶拟合 6阶拟合 6阶多项式拟合效果较好 26 3 采用双曲函数进行拟合 代码 p1 polyfit 1 t 1 y 1 plot t y r t 1 polyval p1 1 t R2 dot y 1 polyval p1 1 t y 1 polyval p1 1 t legend 测量数据 双曲型拟合 27 28 七 结论与应用 1 Fibonacci数列的阶 29 2 Fibonacci数列与黄金分割数的关系 可以验证 30 3 Fibonacci数列通项公式的其它形式 31 4 自然界中的Fibonacci数列 花瓣的数量 一般都是Fibonacci数 32 斐波那契螺旋 如果顺时针与逆时针螺旋的数目 是斐波那契数列中相邻的2项 可称其为斐波那契螺旋 也被称作黄金螺旋 33 计算机绘制的斐波那契螺旋 34 斐波那契螺旋与黄金矩型 35 5 应用 Fibonacci数列在纯粹数学 运筹优化 计算机科学等领域具有重大的应用价值 本实验所采用的方法 可以用来进行一般的数据处理与分析 36 显示Fibonacci数列前n项 functionplotfibo n 显示Fibonacci数列前n项fn 1 1 将数列的前两项放到数组fn中fori 3 n fn的第3项到第n项fn fn fn i 2 fn i 1 将第i项添加到数组fn中end 循环结束plot fn 将装有数列前n项的数组显示出来 返回 37 显示取对数后的前n项 functionplotlnfibo n 显示取对数后的前n项fn 1 1 将数列的前两项放到数组fn中fori 3 n fn的第3项到第n项fn fn fn i 2 fn i 1 将第i项添加到数组fn中end 循环结束fn log fn 将原来的数据取对数plot fn 将装有数列前n项的数组显示出来 返回 38 根据取对数后的数据 拟合出线性表达式 functionfitlnfibo n 先取对数 再拟合fn 1 1 将数列的前两项放到数组fn中fori 3 n fn的第3项到第n项fn fn fn i 2 fn i 1 将第i项添加到数组fn中end 循环结束xn 1 n 定义横坐标fn log fn 将原来的数据取对数polyfit xn fn 1 拟合装有数列前n项的数组 返回 39 显示拟合数据与原始数据的前n项 functionplotfibo2 n 显示拟合数据与原始数据的前n项fn1 装拟合数据的数组fori 1 n fn1的第1项到第n项fn1 fn1 0 4476 1 618 i 将第i项添加到数组fn1中endfn2 1 1 装原始数据的数组 前两项放到数组fn2中fori 3 n fn2的第3项到第n项fn2 fn2 fn2 i 2 fn2 i 1 将第i项添加到数组fn2中endx 1 n plot x fn1 x fn2 r 显示 fn1 兰线 fn2 红星 返回 40 显示取对数后的拟合数据与原始数据 functionplotfibo3 n 显示拟合数据与原始数据的前n项fn1 装拟合数据的数组fori 1 n fn1的第1项到第n项fn1 fn1 0 8039 0 4812 i 将第i项添加到数组fn1中endfn2 1 1 装原