斜面约束下斜抛运动的分析方法——以一道卓越联盟自主招生考试题为例.pdf

3 7卷第 1期 2 0 1 5年 1月 物理教学 PH YS I CS TEACHI NG V0 1 3 6 NO 1 1 NO V 2 01 4 斜 面约束下斜抛运动的分析方法 以一道 卓越联盟 自主招 生考试题 为例 陈玉奇 江苏省姜堰中等专业学校江苏2 2 5 5 0 0 摘要斜抛 运动在 中学物理 竞赛和高校 自主招生考试 中是一个比较重要且 常考的知识 点 本文通过 对一道 自主招生 考试题 的深入剖析 给 出了斜面约束下斜抛运动的几种分析 方法 并对如何求解此 类运动 中的 几个最值 问题进 行 了详 细的研 究 旨在拓 宽学生的知识 面 提 高学生对斜抛运动的理解和分析能 力 关键词斜抛运 动斜 面约束 自主招生 文章编 号 1 0 0 2 0 7 4 8 2 0 1 5 1 0 0 7 1 中图分类号G6 3 3 7 文献标识码B 斜抛运动主要涉及的知识点是运动的合成和分 解 一般 的参 考 资料对 抛 出点 和落地 点位 于 同一 水 平面 的情况研究较多 而对于斜面上的斜抛涉及较 少 现以 2 0 1 4年卓越联盟 自主招生物理的第 6题 为例 通过对该题 的多角度剖析和拓展 使学生对抛 体运动尤其是斜面上 的抛体 运动有更为完 整的认 识 进一步理解运动的独立性 运动的合成与分解及 掌握数学方法的综合应用 灵活掌握此类 问题的研 究方 法 一 题 目 如 图 1 滑雪 运动 员从 初 始 光 滑 滑 道 上下 降 4 5 m 后 起 跳 4 起跳 角 度 与水 平 面 夹 角为 3 0 且 起 跳 后 不 损失 动 能 降落 滑 道 可 看 作 一 个 倾 角 为 3 O 的斜 面 求 运 动 员 在空 中飞 行 的 时 间 以 图 1 及落 地后 的速 度与 斜面 的夹 角 二 几种 典 型的分 析方 法 运动员从最高点下滑至转折处 的过程中机械能 1 守恒 有 m g h 舢 可 得 运 动 员 的起 跳 速 度 7 3 o 厶 一 2 一3 0 m s 忽略空气阻力 将运动员看成质 点 则运动员 由转折处起跳后做斜抛运动 1 正交 分解 法 1 将 斜抛 运动 分解 为水 平方 向的 匀速 直 线运 动 和竖直 方 向 的匀 变 速直线 运动 如 图 2 沿 水 平 和竖 直 方 向 建 立 直 角 坐 标 系 x O y 原点在运动员 的起跳 点 则运 动员 在水 平方 向上 做匀速直线运动 竖直方向 上做 竖 直上 抛运 动 设 运动 员 的起 跳方 向 与 水 平 方 向 成 角 则其运动规律为 力 j 惠度 u I 口 一 一 g 0 j 图 2 速 度 U x 一 o C O S I 一V o s i n 0一 g t f z 7 9 o C O S 0 t 位 移 1 一 口 in 一 z 将本题 中的 3 0 m s 0 3 0 代入位移表 达式 并结合几何关 系 一y t a n 3 O 解得 一6 s C O S 3 0 1 5 3 m s 7 0 s i n 3 0 一g t 一 一 4 5 m s 负号表 示 速度方 向 向下 从而 t a n 一 l 一 所 以速度方向与水平 方 向的夹角为 6 0 即落到斜面上时速度方向与斜面 的夹 角为 3 O 拓展 由位移表达式消去参量 t 可得斜抛物体 运动的轨迹方程为 一一 g z t a n 0 这是 一 个 开 口向下 的抛 物线 方程 在抛 出点 和落 地 点 在 同一 水 平 面 的 情 况 下 不 3 7 卷第 1 期 物理教学 难得 出 最 大 高度 H 一 飞行 时 间 一 昌 2 V o s i n 0 2 水 平 射 程 z v 2 o s in 2 0 运 动 具 g V g g 有 对 称 性 上 升 时 间和 下 降 时 间相 等 而 且 从 某 一 高度上升到最高点的时间和从最高点下 降到同一 高度 的时 间 相 等 上 升 和 下 降 经 过 同一 高 度 时 的 速 度 大 小相 等 速 度 方 向 与 水 平 方 向 的 夹 角 大 小 也 相 等 在抛出点和落地点不在 同一水平 面的情况下 如运动员投掷铅球时 运动在一定范 围内仍具有对 称 性 但 相关 的时间和 射程应 视具 体情 况而 定 不 可 照搬 以上 几 式 尤 其 是 当 斜 抛 遇 到 斜 面 或 其 他 曲 面时 2 将斜抛运动分解为沿斜面方 向和垂直于斜 面方 向上 的匀变 速直 线运 动 如 图 3 沿 斜 面 方 向 和垂 直 于 斜 面方 向建 立 直 角坐标 系 x O y 将 和重力 加速 度 g分 解 到 z和 Y 方 向 则运 动 员在 和 Y方 向上 均做 匀 变速 直 线 运 动 其 运动 规律 为 图 3 加 速 度 a x一 一g sin 3 03 a g C O S l 一 U 速度 f 一 o n 一 0 c o s 0 3 0 gs i n 3 0 t I 一 o a y t o s i n 0 3 0 一g c o s 3 0 t 位移 f 一 1 2 一 c s 0 3 0 专 g s in 3 o 2 I 3 一 丢 口 2 sin 0 30 一 1 g c s 3 Oo 产 本题中 Y方 向上相 当于一个上抛 运动 落到斜 面 上时 一一 将 v o一 3 0 m s 0 3 0 代入可得 一 二 一 一 6 s n 3 l g 此 时速 度 的 X分量 和 Y分量分 别 为 f 一 o a t一 4 5 m s l 一 一w o 一一1 5 3 m s 负号表示方向与V o 相反 从 而 t a n 一 一 一 3 0 即落 到斜 面上 时 速度方 向与斜面 的夹 角为 3 0 2 斜 交分解 法 斜 交 分 解法 就 是 把 斜 抛 运 动 沿 初 速 度 方 向 和 竖直方向进行分解 在初 速度方 向上 物体做匀速 直线运动 在 竖直方 向上 物体 做 自由落 体 运动 分 速 度 与合 速 度 矢 量 分 位 移 与 合 位 移 矢 量 构 成 斜 三 角 形 通 过 解 三 角 形 来 分 析 斜 抛 运 动 直 观 简 便 运 动员 从起 跳 到 落 到斜 面 的 过 程 中 其 位 移 矢 量和速度矢量关 系分别如 图 4 a 和 b 所示 其 中 图 4 b 中的 a角 为末速 度与水 平 方 向的夹 角 由几何 关 系易 知 位 移矢 量 关 系为 一 等 边 三 角 形 故 有 V o 一 f 一 一Z V o 6 s 在 b t a n a 一 一 一 3 a一 6 0 所以落到斜面上时速度与斜面的夹角 为 3 O D 图 4 D 三 斜 抛 运 动 中 的 几 个 最 值 问 题 1 运动 员距 离其 起 跳 位 置 上 升 的 最 大 高度 是 多 少 这是斜抛运动 中的射高问题 可采取 以下几个 分析 方法 方法 1 坐标 法 用第 1种正交分解法研究斜抛 运动 将 一 3 0 m s 0 3 0 代 人 一一 g s X x t a n 0中 可 得运 动员 的轨迹 方程 为 一一 顶 点坐 标 为 堑 萼 所 以 运 动 员 距 离 其 起 跳 位 置 上 升 3 7卷第 1期 物理教学 的 最大 高度 是竽m 方法 2 运动 分析 法 仍用第 1种正交分解法 当运动员到达最高点 时 有 一 V o s i n 0 1 5 s 故上 升 的最大 高度 H g s i n 0 45 一 方法 3 矢量 图法 Vo zs i n 0 而 cE 一 s i n0一 v o2 s i n2 0 所 以上 升 的最 大 g g 高 度为 D E C E C D 一 v 2o s i n z 0一 4 5 m o 厶g 相对 于 以上 两种 解 法 在 用 方 法 3求 射 高 时 并 不显得简便 但矢量 图在解决抛体运动的问题时是 一 种非 常重 要且 非 常 有 效 的 一种 方 法 学 生 应 做 到 熟 练掌 握和 灵活 应用 当然 在 解决 具体 问题 时 也应 根据 实际 情况 选 择合适的分析方法 2 何 时与斜 面相距 最远 最远 距 离为 多少 方法 1 解 析几 何法 用 第 1种 正 交 分 解 法研究 斜抛 运动 在 图 6 中 设 经过 时 间 t 小球 到 达 B点时距斜面最远 过 B点 作 运 动 员 运 动 轨 迹 的切线 B C 易知 B C的斜 率 k一一 t a n 3 0 一一 J D 3 d 图 6 设 切线 的解 析式 为 一一 z b 因 抛 物 线 和B C 相 切 于 点B 故 方 程一 惫 一一 b N t 一解 整 理后令 A一 0 可 求得 b一 4 5 且切点坐标 B 4 5 0 将切 点坐 标 代 入 到 水 平 方 向 的运 动 方 程 z 一 C O S 3 O t 中 求 得 t 3 S 此 时距 离斜 面 最远 为 B E一半m o 方法 1 虽 然稍 显繁琐 但 数学 思想 较浓 可 培养 学 生运用 数学 工具 分析 和处 理物 理 问题 的能力 方法 2 运 动分析 法 用第 1 种 正交分 解 法研究 斜抛 运动 在 图 2 中 当运 动员距 离斜 面 最远 时 其 实际 速度方 向与斜 面平 行 g t n 一 一 从 而 求得 时间 以及 此 时的坐 标 再求 出最远 距离 用第 2种 正交 分解 法研究 斜抛 运动 在 图 3 中 当运动员距 离斜面最远 时 在垂 直于斜 面方 向上 运动员不 再 上 升 此 时 的 U y一 0 有 f 一 a 等 篓 一 3 s 代 人 V o s in 6 0 t 1 g c s 3 z 求得 最远 距 离为 一 4 5 3 m 方法 3 矢 量 图法 用斜 交分 解法 研究 斜抛 运 动 由前 面的分 析 可 知 当运 动 员 距 离 斜 面 最 远 时 速 度 方 向与 斜 面 平 行 作 出对 应 的 速 度 矢 量 图 和 位 移 矢 量 图 如 图 7 a 和 b 在 图 7 a 中 易 知此 时 的 速度 矢 量 三角 形 为 等 边 三角形 故 有 一 g t t 一 U 0 3 s 而在 图 7 b g 的位移矢 量 三角 形 中 已求 得 总 时 间 为 6 S 所 以 C 为O A的中点 且c D一 A B 可证得运动员的实际 位移 O D 恰好沿水平方 向 D点 即为距离斜面的最 远 点 且 O D O Cc o s 3 0 一 0 t C O S 3 0 4 5 m 过 D点作 DE垂直 于 O B 则 D E O Ds i n 3 0 一 4 5 3 m 3 如 运动 员的起 跳 方 向可调 当运 动 员 的起 跳 速 度 与水平 面成 多 大 角度 时 运 动 员在 斜 面上 能 落 3 7卷第 1 期 物理教学 0 图 7 到 最远 处 最远 距 离为 多少 方法 1 三 角 函数 法 用第 2种正交 分解法研究 斜抛运 动 在 图 3 中 当运动员落到斜面上时 有 一塾 gCOS 0u 此时落点位置z一 0 c o s O 3 0 t 去g s i n 3 0 t 将 时间 t 的表 达式 代人 z 并令 一 0 3 0 有 c s i n 2 a c os 3 0 2s i n 2 as i n 3 一 s i n 2 a C O S 3 0 gc o s 3 0 一 2 s i n 2 a一3 0 gc os 3 0 当 a 一 6 0 时 即起 跳 方 向 与水平面成 3 0 时 运动员会落 到斜 面 上 最 远 处 且 最 远 距 离 为 1 8 0 m 方法 2 矢量 图法 用斜 交分 解 法 研 究斜 抛运 动 作 出 位 移 矢 量 图 如 图 8 图8 所示 在 AB 中应 用 正 弦 定 理可 得 1 g 口0 t s s i n 0 3 0 s i n 6 0 s i n 9 0 一 由上述 第一个 等式 可得 一 2 V o s i n 0 3 0 一 4 s i n 3 0 gs i n 6 0 再 将其 代入 第二 个等式 可得 一 2 4 0 s i n 3 0 s i n 9 0 一 Sl n bU 用 积化 和差 公式 可进 一 步求得 S l 2 O c o s 2 0 6 0 一 C O S 1 2 0 当 0 3 0 时 S 有 最大值 1 8 0 m 方 法 3 导 数法 用 第 1种 正 交 分 解 法 研 究 斜 抛 运 动 在 图 2 中 因运动 员落 到 斜 面 上 时 受 斜 面 的制 约 有 S一 故 只需求出运动员在水平方向的最大位移 C OS U 即可 运 动员 运动 的 抛 物线 方 程 为 一一 x t a n 0 斜 面 的直线方 程为 y一一 x t a n 3 0 联立 两 式 有 一 2 v o2 c o d0 t a n t a n 3 0 r f a n H十 T a n I g 一呈 s i n c s t a n 3 0 c s z g 当 d x 一 0时 z有 最大 值 对 求 导 有 d x 一 警 cs in 0 co s 0 ta n 3 0 co s20 即 C O S 2 一 s i n2 0 t