高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示课件.ppt

第五章平面向量与解三角形 5 1平面向量的概念及线性运算 平面向量基本定理及坐标表示 高考数学 浙江专用 考点一平面向量的线性运算及几何意义1 2017课标全国 文 4 5分 设非零向量a b满足 a b a b 则 a a bb a b c a bd a b 五年高考 答案a本题考查向量的有关概念 由 a b a b 的几何意义知 以向量a b为邻边的平行四边形为矩形 所以a b 故选a 一题多解将 a b a b 两边分别平方得 a 2 2a b b 2 a 2 2a b b 2 即a b 0 故a b 故选a 2 2017北京理 6 5分 设m n为非零向量 则 存在负数 使得m n 是 m n 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案a由存在负数 使得m n 可得m n共线且反向 夹角为180 则m n m n 0 故充分性成立 由m n 0 可得m n的夹角为钝角或180 故必要性不成立 故选a 3 2015课标 7 5分 设d为 abc所在平面内一点 3 则 a b c d 答案a 故选a 4 2015陕西 7 5分 对任意向量a b 下列关系式中的是 a a b a b b a b a b c a b 2 a b 2d a b a b a2 b2 答案b a b a b cos a b 故a正确 由向量的运算法则知c d也正确 当b a 0时 a b a b b错误 故选b 评析本题考查向量的运算法则等知识 考查逻辑推理能力 5 2015四川 7 5分 设四边形abcd为平行四边形 6 4 若点m n满足 3 2 则 a 20b 15c 9d 6 答案c依题意有 所以 9 故选c 6 2014福建 8 5分 在下列向量组中 可以把向量a 3 2 表示出来的是 a e1 0 0 e2 1 2 b e1 1 2 e2 5 2 c e1 3 5 e2 6 10 d e1 2 3 e2 2 3 答案b设a k1e1 k2e2 a项 3 2 k2 2k2 无解 b项 3 2 k1 5k2 2k1 2k2 解之得故b中的e1 e2可把a表示出来 同理 c d项同a项 无解 7 2013辽宁 3 5分 已知点a 1 3 b 4 1 则与向量同方向的单位向量为 a b c d 答案a 3 4 5 与同方向的单位向量为 故选a 8 2017天津文 14 5分 在 abc中 a 60 ab 3 ac 2 若 2 r 且 4 则 的值为 答案 解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算 由 2得 所以 又 3 2 cos60 3 9 4 所以 3 2 5 4 解得 思路分析根据 2得 利用 4以及向量的数量积建立关于 的方程 从而求得 的值 一题多解以a为原点 ab所在的直线为x轴建立平面直角坐标系 如图 因为ab 3 ac 2 a 60 所以b 3 0 c 1 又 2 所以d 所以 而 1 3 0 3 因此 3 5 4 解得 9 2013四川 12 5分 在平行四边形abcd中 对角线ac与bd交于点o 则 答案2 解析由平行四边形法则 得 2 故 2 答案90 解析由 可知o为bc的中点 即bc为圆o的直径 又因为直径所对的圆周角为直角 所以 bac 90 所以与的夹角为90 11 2013江苏 10 5分 设d e分别是 abc的边ab bc上的点 ad ab be bc 若 1 2 1 2为实数 则 1 2的值为 答案 解析 1 2 1 2 故 1 2 考点二平面向量的基本定理及坐标表示1 2017课标全国 理 12 5分 在矩形abcd中 ab 1 ad 2 动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上 若 则 的最大值为 a 3b 2c d 2 答案a本题考查向量的运算 分别以cb cd所在的直线为x轴 y轴建立直角坐标系 则a 2 1 b 2 0 d 0 1 点p在以c为圆心且与bd相切的圆上 可设p 则 0 1 2 0 又 sin 1 cos 1 2 sin cos 2 sin 其中tan max 3 2 2017山东文 11 5分 已知向量a 2 6 b 1 若a b 则 答案 3 解析本题考查向量平行的条件 a 2 6 b 1 a b 2 6 1 0 3 3 2015课标 13 5分 设向量a b不平行 向量 a b与a 2b平行 则实数 答案 解析由于a b不平行 所以可以以a b作为一组基底 于是 a b与a 2b平行等价于 即 4 2015北京 13 5分 在 abc中 点m n满足 2 若 x y 则x y 答案 解析由 2知m为ac上靠近c的三等分点 由 知n为bc的中点 作出草图如下 则有 所以 又因为 x y 所以x y 5 2015江苏 6 5分 已知向量a 2 1 b 1 2 若ma nb 9 8 m n r 则m n的值为 答案 3 解析由a 2 1 b 1 2 可得ma nb 2m m n 2n 2m n m 2n 由已知可得解得从而m n 3 6 2014北京 10 5分 已知向量a b满足 a 1 b 2 1 且 a b 0 r 则 答案 解析 a b 0 即 a b a b a 1 b 7 2014陕西 13 5分 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 答案 解析 a b sin2 1 cos2 0 2sin cos cos2 0 00 2sin cos tan 8 2014湖南 16 5分 在平面直角坐标系中 o为原点 a 1 0 b 0 c 3 0 动点d满足 1 则 的最大值是 答案 1 解析解法一 设d x y 则由 1 得 x 3 2 y2 1 从而可设x 3 cos y sin r 而 x 1 y 则 其中sin cos 显然当sin 1时 有最大值 1 解法二 设a 2 则 a 从而 a 则 a a 1 当a与同向时 有最大值 1 9 2013北京 13 5分 向量a b c在正方形网格中的位置如图所示 若c a b r 则 答案4 解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系 令每个小正方形的边长为1个单位 则a 1 1 b 6 2 c 5 1 所以a 1 1 b 6 2 c 1 3 由c a b可得解得所以 4 评析本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算 考查学生的运算求解能力和解析法在向量中的应用 构建关于 和 的方程组是求解本题的关键 1 2017浙江镇海中学模拟练习 二 9 在 cab中 4 2 记h 则 h 的最大值 a 1b c d 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案b将 2的两边平方后 整理得 0 即 abc为直角三角形 h 设d为bc的中点 则h 1 易知 h 为直角三角形cad的斜边ad上的高 记为h 设 b a 则a2 b2 4 由面积相等知 h 因为 a2 b2 5 4 所以h 故选b 2 2017浙江杭州质检 7 设o是 abc的内心 ab c ac b 若 1 2 则 a b c d 答案a设 1 2 因为o是 abc的内心 所以ao平分 bac 所以平行四边形amon为菱形 且 1 0 2 0 由 得 1 2 即 1c 2b 亦即 故选a 3 2016浙江高考模拟冲刺 三 8 对于两个不共线的单位向量a b 结出下列四个命题 a b a b 2 a b a b 2 a与b在a b方向上的投影相等 记a在a b方向上的投影为m a在a b方向上的投影为n 则m2 n2 1 其中真命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案d设 a b a b 则四边形abcd是边长为1的菱形 设其对角线ac bd交于点o 由ac bd 得 a b a b 故 正确 由 1 得 1 即 a b a b 2 又由 得 a b a b 2 故 正确 a与b在a b方向上的投影都为 故 正确 m n 由 2 1 得m2 n2 1 故 正确 故选d 4 2017浙江台州质量评估 16 已知不共线的平面向量a b满足 a 3 b 2 若向量c a b r 且 1 则 二 填空题 答案 解析如图 设 a b c 因为向量c a b r 且 1 所以a b c三点共线 由 知 c cos c cos 所以oc为 aob的平分线 因为c a b a 1 b 所以c b a b 即 所以 易知 所以 5 2017浙江名校 衢州二中 交流卷五 16 在平面内 已知向量a 1 3 b 4 3 c 6 5 若非负实数x y z满足x y z 1 则向量p xa yb zc的模的取值范围是 答案 6 2016浙江镇海中学测试 六 14 在 abc中 点d满足 4 若对任意t r 均有 t 则cosa的最小值是 答案 解析因为对任意t r 均有 t 所以cd cb 即有 所以 4 0 即 5 4 0 所以 4 5 故cosa 当且仅当 2 时取等号 所以cosa的最小值是 7 2016浙江温州一模 14 已知 abc中 1 2 点p为线段bc上的动点 动点q满足 则 的最小值等于 答案 解析因为 cos abc cos abc 2 所以点a在直线bc上的投影d在线段bc的延长线上 且 bc cd 如图 2 1 3 2 3 3 所以当 即p为bc的中点时 最小 最小值为 1 2017浙江镇海中学模拟卷二 7 已知 abc的外心为o 且满足 bac 60 x y 其中x 1 则x 4y的最大值为 a 2b c d 5 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案a设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 将 x y两边分别同时点乘和 则解得所以x 4y 4 2 故选a 2 2016浙江五校第一次联考 7 设数列 xn 的各项都为正数且x1 1 如图 abc所在平面上的点pn n n 均满足 pnab与 pnac的面积比为3 1 若 2xn 1 xn 1 则x5的值为 a 31b 33c 61d 63 答案a如图所示 设 2xn 1 xn 1 因为 2xn 1 xn 1 所以 0 所以pn为 ab1c1的重心 所以 xn 1 又 所以 xn 1 即xn 1 2xn 1 所以xn 1 1 2 xn 1 又x1 1 所以xn 1 2n 故xn 2n 1 n n 所以x5 31 故选a 3 2015浙江名校 杭州二中 交流卷六 6 已知矩形abcd的面积为2 m n分别是ad bc的中点 点p为线段mn上的动点 则 的最小值是 a 2b c 1d 2 答案b分别以ab ad所在直线为x y轴建立直角坐标系 a为坐标原点 设b m 0 m 0 n p x n m 0 n 0 则mn 1 x n m x n x2 mx n2 m2 n2 m2 n2 m2 而n2 m2 mn 故当x 且n m 即当m n x 时 取最小值 4 2017浙江镇海中学模拟卷 六 16 已知向量a b a 2 b 1 向量c xa 2 1 x b x r 若 c 取最小值时 向量m满足 a m c m 0 则 m 的取值范围是 二 填空题 答案 解析解法一 构造如图所示的图形 设 a b 2b 则c xa 2 1 x b x a 2b 2b x x 当oc ad时 c 取得最小值 此时 oad为边长为2的正三角形 c为ad的中点 构造 m 则 c m a m 由 a m c m 0知 向量m的终点在以ac的中点e为圆心 以ac为直径的圆上运动 因为oe 所以 m max m min 所以 m 的取值范围是 解法二 设向量a b的夹角为 c 2 xa 2 1 x b 2 8 1 cos 所以当x 时 c 2取得最小值3 此时cos 所以 所以a c 2 cos 3 a c 2 a 2 2a c c 2 13 所以 a c 由 a m c m 0得 m 2 a c m a c 0 设 则 m 2 cos m 3 0 m 显然cos 1时 m 取得最值 所以 m 的取值范围是 5 2017浙江镇海中学模拟卷五 16 在 abc中 acb为钝角 ca cb 1 当t r时 t 有最小值为 若 x 1 x x r 则 的最小值为 答案 解析由向量模的几何意义知 acb 120 易知a b p三点共线 所以 的最小值为ab边上的高 此时 的最小值为 6 2017浙江杭州二模 4月 15 设p为 abc所在平面上一点 且满足3 4 m m 0 若 abp的面积为8 则 abc的面积为 答案14 解析以 作为一组基底 则3 4 m可以化简为 3 4 m 所以 因为m 0 所以点p在 abc外 易知 abp的高是 abc高的 又两三角形同底 所以 abc的面积为8 14 7 2017浙江金华十校调研 16 设单位向量a b的夹角为 且 若对任意的 x y x y xa yb 1 x y 0 都有 x 2y 成立 则a b的最小值为 答案 解析 xa yb 2 x2 y2 2xycos 1 设t x 2y 即x t 2y 代入x2 y2 2xycos 1得 5 4cos y2 2cos 4 ty