无理数的近似值.doc

无理数的近似值薛金声 虽然发现“是无理数”应该归功于“万物皆数”的毕达哥拉斯（Pythagoras 约580-500 BC）及其学派成员，但是关于的近似值，历史上不同时期有不同的计算方法。1古巴比伦人的贡献1.1 计数的进位制公元前二千多年的古巴比伦王国时代，人们计数采用的是60进制。而当时的美索不达米亚人就有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。当方根是整数时，给出的是准确值，对于其他的方根，相应的60进制数值只是近似的。1.2 使用的公式古巴比伦人在计算高为h宽为w的矩形对角线d时出现了平方根。他们使用的公式是。曾有一个问题是求给定宽和高的一扇门的对角线，他们当时给出的解答并未说明公式的来历，只是使用了这个近似公式。这个公式在hw时是求d的很好的近似值。1.3 的近似值耶鲁大学收藏了一块当时的古巴比伦人的泥板，上面是标有数字的正方形，其中数30表示正方形的边长，而对角线上的两个数字分别表示对角线长和的近似值，在这里是准确到60进制的三位小数，即，这是有关的最早的结果。 另外，大约在公元前六世纪，印度的婆罗门教的经典吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量部分绳经法（sulvasutrus）中关于正方形祭坛的对角线计算公式中取，这里所有的分数都是单位分数。2 渐近分数法欧几里得原本中的发现柏拉图(Plato 400 BC)指出，在毕达哥拉斯学派成员之前就有对正方形边和对角线方面的研究，但是作为理论最早出现在欧几里得原本中。在正方形ABCD对角线AC的延长线上截取与边长相等的线段CE，然后以AE为边长做正方形AEFG，再在AF的延长线上截取FH=AE，再以AH为边做正方形AHIJ如此下去我们得到如下的费波那契数列，并令(1)(2)经计算得出下面表格：K1111. 223 1.5 357 1.4 41217 1.4167 529411.4138 67099 1.4142 由表格中得知：的值好像被人为地分为两个部分：当为奇数时数值比的实际值小,当为偶数时数值比值大,但均集中于两侧，并且随k值增大而越来越接近的真实值. 由（1）、（2）两式我们得出，再把此式变形并求平方根得：，因此。此处使用的是极限的思想。3连分式法Rafael Bombelli在1572年给出，当我们令a=b=1时，它就是。如果现在我们来计算上面表格中连续小数的收敛性就会发现，分开的两组小数部分均可以用下面的连续分数式表示，而且它已经得到了人们的认可。 对于“无理数的发现史及古希腊数学家的科学精神”的介绍，树立“崇尚科学、追求真理的信念，增强理性思考的意识”是上海市中小学数学课程标准（初中阶段）拓展的内容，也是全日制普通高中数学课程选修3-1数学史选讲的一部分。从上面的讨论可以看出，该部分知识内容十分丰富，学生从中不仅能了解古希腊的数学知识，而且还能学会如何从“图形”中探求“数”的规律（数形结合思想）,并体会其中的丰富思想内涵。随着数学学科本身的发展，“是无理数”还可能会产生更多更新的证明和计算方法，但是以上所有的发现、证明、计算均向人们展示了数学的无穷魅力，相信所有学生在老师的引导下，通过自己的不断探索与追求，一定会对“无理数”有进一步的认识，对数学自身的魅力、数的美以及丰富的数学思想方法会有更深刻的体会。参考文献：1 von Frits, K. The Discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum. Annals of Mathematics, 1945, 46 (2): 242-264 2 Jones, P. Irrationals or incommensurables (I-V). Mathematics Teacher, 1956, 69: 123-127; 187-191; 282-285; 469-471; 541-5433 梁宗巨著。世界数学通史。辽宁：辽宁教育出版社。19954 欧几里得