洛仑兹规范的电磁场和光子.doc

洛仑兹规范的电磁场和光子1.经典场。电磁场的拉格朗日密度为：在洛仑兹规范下。则L可以变成：（1）正则坐标为，正则动量为：（2）则场的能量与动量为：（3）（4）2.量子化将和作为正则共轭算符，且满足正则对易关系：或：，（5）则完成了正则量子化。其运动方程为：，（6）将（3）式代入得：亦即：（7）这就是四维失势，现在是算符的波动方程。3.一般解。（7）式所示的波动方程有平面波解，如1.5，（32）式。诸平面波的叠加，就构成它的一般解为：（8）或：（8）其中：为平面波因子（=1，2，3，4）是四个极化矢量，其定义如1.5中（26）式示。（9）它们是正交，归一，完备的，即：（10）（11），=1，2，（12）用右乘（8），并利用正交关系：得：再利用乘上式，并利用（10）式得：（13）同样的方法可得：（14）4.动量极化函数算符以上论述表明：电磁场可以用时空函数算符，描述，也可以用动量，极化函数算符，表征，它们之间由（8），（13）及（14）式相联系。变号（13）式的得：对上式求厄米共轭得：（注：，由于光子为一中性粒子）亦即（14）由于故（比较（14）与（14）（15）（16）动量，极化函数算符的对易关系由（5）式可推知为：，（17）例如：将（8）式代入（3）式的H中得：若则故亦即（18）与P89同样的理由，上式中包含与对求和项无贡献，故上式亦即（19）5.三种光子在场的能量、动量表示（18）与（19）中，有算符（20）由对易关系（17）可以证明，（21）如：=，=1，2，3，4。而这样，在N的对角化表象中，若则（22）即而表明，是光子的产生算符，消灭算符及光子数算符。光子的能量为，动量为，极化为=1，2，3，4。=1，2的光子叫做横光子，=3的光子叫做纵光子，=4的光子叫做标量光子6.存在的问题洛仑兹规范显然是相对论的，可是有严重缺陷，首先对易关系与洛仑兹条件是矛盾，实际上对上式求导得。矛盾！其次，态失的模可能是负的。能量也可能是负的因为若用表示一个标量光子的状态，则由（15），（16），（17）得：则即态失的模是负的，不可思议！而=1所以当标量光子数=偶数时，态失的模是正的，反之当标量光子数=奇数时，态失的模是负的。另外：由于，而可正可负，这样粒子数算符在态失中的平均值也可正可负，这故得由（18）式表示的能量算符在粒子态间的平均值也可能是负的。而这是物理上不允许的。7.量子场论中的洛仑兹条件当我们把洛仑兹条件写成：（23）时，它与对易关系是矛盾的。在经典电磁场的情况下，洛仑兹条件就是（23）式。但是，量子化以后，场量是算符，洛仑兹条件就不应是（23）式的形式。实际上，在量子理论中，算符（如A）与态失（如）都没有直接的物理意义，有直接物理意义的，是算符在态失中的平均值（如，和态的模（如）或标积（如）。它们和经典理论中的量相对应，因此，量子场论中的洛仑兹条件，不应以算符的形式出现，而应以算符在态失间的平均值的形式出现，令为物理上允许的状态，则（23）式表示的经典场论的洛仑兹条件应变写成：（24）这样，它和对易关系（5）就不矛盾了。下面我们继续改写（24）式。由（8）式知，算符可分为成正数部分和负数部分，即：其中由于所以这样（24）式可以变写成：或：这样如果（25）（24）式自然成立，故可将上式看成是量子场论中的洛仑兹条件。将的平面波展开式（8）代入上式得：对于确定的，上式变为：由1.5节（29）式知：，（=1，2）故上式成为：将代入上式得：对于光子，故上式变成：亦即：对于任意的k，上式都成立，故上式表明（26）这就是以消灭，产生算符表示的洛仑兹条件，是纵光子的消灭算符和产生算符，是标量光子的消灭算符和产生算符。它们的能量动量是相同，但都是任意的。只有满足（26）式的状态，才是物理上允许的。8.负模与负能困难的消除用（24），（25）或（26）表示的量子场论中的洛仑兹条件，不仅和对易关系不矛盾，还解决了标量光子带来的态失的负模及负能量的问题。实际上，在能量，动量表达式式（18）与（19）两式中出现的纵光子与标量光子数算符之和为由于洛仑兹条件(26)式，它们在物理态中的平均值为零，即因此，场的能量、动量为：这表明：在物理上允许的态中，纵光子和标量光子对场的能量、动量没有贡献，且场的能量是正定的。令（27）（28）可以证明：它们是相互对易的。如再令（29）（30）其中，都是任意的函数，显然，它们的及它们的厄米共轭，之间都是相互对易的，即：用表示只有横光子，没有纵光子和标量光子的状态，显然它满足洛仑兹条件所以是物理上允许的状态。用与作用在上得，则与将为已包含有横光子，又包含有纵光子与标量光子的状态。且满足洛仑兹条件其标积为：这表明，纵光子和标量光子对态失的标积也是没有贡献的。态失的标积和模，不管态中是否有纵，标光子，都只由态中的横光子确定。而横光子的模是正定的。这就排除了态失负模的困难。综合以上所述，由于采用了洛仑兹条件（24），（25）或（26），故纵光子和标量光子既对算符在物理态中的平均值无贡献，又对物理态的标积和模不起作用，因而它们是无法测量的。这样就消除了纵光子和标量光子引起的麻烦。从现在的物理观点来看，纵光子和标量光子可以以虚粒子的形式出现。3.7 连续对称变换下的生成元和守恒量在2.2节我们介绍了Noether定理，在那里我们知道，理论的对称性或不变性与守恒量或守恒定理相对应。在那里讨论的是经典场，所以上述结论是对经典场而言的。量子化后，经典场量将被视为算符，所以对称性与守恒定律的关系应考虑到算符的特点。这一节我们就是要讨论量子场论中Noether定理的形式。1.连续变换下的生成元。在连续变换下，算符（经典场论中的场量）的本征变换可用一个幺正算符u来实现（1）其中，即G是一厄米算符称为幺正变换的生成元。同样与相应的正则动量的本征变换也具有相同的形式，即：（2）而对于作为正则变量，的任意函数在上述变换下的本征变换亦为（3）如哈米顿算符（4）对于无穷小变换，G是一小量。所以（5）这样所以（6）同样（7）（8）（9）2.守恒量量子化后的正则变量，满足如下的对易关系与运动方程。（10），而正则变量的函数F，其运动方程为：（11）若F不仅是正则变量，的函数，还是时间t的函数，则其运动方程应变写为：（12）取上式中的任意函数F为生成元G，则（13）显然，若，则由（9）式知：，即生成元G为一守恒量。所以我们将满足（14）的变换叫做对称变换，而称满足上述条件的生成元G为对称变换生成元。此时它为一守恒量，由此我们得量子场论的Noether：对称变换的生成元是守恒量，或守恒量是对称变换的生成元。3.时空平移变换在2.3节，我们曾讨论过时空平移变换，我们知道，时空平移变换是一种对称变换，相应的守恒量是能量、动量，（15）它们不显含时间，按照上述定理，它们是对称变换的生成元。可以直接证明，它们确实是时空平移变换的生成元。在时空平移变换下，由2.3节P40,41，（1），（3），（4）知，（16）取幺正算符，（17）其中是四维动量矩，则（17）（18）在时间平移变换下，由（16）式知：而由（18）式得：由此得：此即为（10）式所示正则坐标的运动方程，这就证明了，哈米顿算符H是时间平移的生成元。在空间平移下，由（16）式得：而由（18）式得：这就证明了是空间平移的生成元。上述的是无穷小量，在有限大小的平移变换下，场量的本征变换按照（16）式应为：（19）而按照（17）与（17）两式（20）这样：（21）或：（22）这是文献中常常采用的时空平移变换公式。4.时空转动变换由2.4节的讨论知，时空转动，亦即洛仑兹变换，也是一种对称变换，相应的守恒量为：则按照上述定理，它们是洛仑对称变换的生成元亦即，（23）下面我们来证明，上式的G亦即确实是洛仑兹对称变换的生成元。在洛仑兹变换下，（24）四维动量矢量作变换（25）所以（26）在空间转动变换下，（27）而相应的生成元为：由于，同理故（28）而不显含时间t，所以，因此G，亦即是洛仑兹对称变换的生成元。在狭义的洛仑兹变换下（空间坐标保持不变），（29）相应的生成元（30）而（31）同理（32），故（33）而（34）则故G，亦即是狭义洛仑兹对称变换的生成元。5.